John L. Casti(Jak przekroczyc logiczne ograniczenia nauki).pdf

Jak przekroczy

logiczne ograniczenia nauki

Modele matematyczne stosowane obecnie w wielu dziedzinach nauki

niezbyt dobrze opisuj rzeczywistoæ. By moýe jednak

znajd si« sposoby obejæcia tego problemu

John L. Casti

umys¸ ludzki jest nieograniczo-

ny w udzielaniu odpowiedzi na

wszelkie pytania, musz mocno niepo-

koi wnioski wyp¸ywajce z przegldu

XX-wiecznej matematyki. W 1931 roku

Kurt Gdel wykaza¸ twierdzenie o nie-

zupe¸noæci, ktre stanowi, ýe ýaden sys-

tem dedukcyjny nie jest w stanie dostar-

czy odpowiedzi na wszystkie pytania

dotyczce systemw liczbowych. Kilka

lat pniej Alan M. Turing poda¸ rw-

nowaýne twierdzenie o programach

komputerowych, ktre orzeka, iý nie ist-

nieje algorytm pozwalajcy stwierdzi,

czy program przetwarzajcy pewien

konkretny zestaw danych kiedykolwiek

zakoÄczy sw prac«. Ca¸kiem niedaw-

no Gregory J. Chaitin z IBM znalaz¸ takie

stwierdzenia arytmetyczne, ktrych

prawdziwoæci nie da si« nigdy wypro-

wadzi w sposb czysto dedukcyjny.

Te odkrycia kwestionuj nasze moýli-

woæci naukowego poznania w dziedzi-

nie matematyki i logiki. Czy istniej po-

dobne ograniczenia w rozwizywaniu

problemw spo¸ecznych lub przyrodni-

czych? Pierwszym i zapewne najbardziej

dyskusyjnym punktem jest rozstrzygni«-

cie, co w¸aæciwie mamy na myæli, m-

wic o ãnaukowym poznaniuÓ. Aby

przeci ten filozoficzny w«ze¸ gordyj-

ski, przyjmijmy umiarkowanie kontro-

wersyjny pogld, ýe istot metody na-

ukowego rozwizywania problemw

jest moýliwoæ uj«cia jej w postaci zbio-

ru regu¸ post«powania, na podobieÄ-

stwo programu komputerowego. Po

prostu wprowadzamy dane pocztko-

we problemu do zbioru regu¸, kr«cimy

korbk dedukcji logicznej i czekamy na

ukazanie si« odpowiedzi.

Przekonanie, ýe metod« naukow

moýna przyrwna do dzia¸ania progra-

mu komputerowego, wprowadza do

rozwaýaÄ poj«cie z¸oýonoæci obliczenio-

wej. StopieÄ trudnoæci rozwizania zna-

nego problemu podrýujcego komiwo-

jaýera, polegajcy na wyznaczeniu

najkrtszej drogi ¸czcej duý liczb«

miast, roænie Ð jak si« uwaýa Ð wyk¸ad-

niczo ze wzrostem liczby punktw prze-

znaczenia. Na przyk¸ad wytyczenie naj-

lepszej marszruty dla komiwojaýera

odwiedzajcego 100 miast wymaga¸oby

zbadania 100 x 99 x 98 x 97 x...x 1 moý-

liwoæci. Jest to zadanie, ktre nawet naj-

szybszemu komputerowi zaj«¸oby mi-

liardy lat.

Jednakýe przeprowadzenie takich ob-

liczeÄ jest moýliwe, przynajmniej teore-

tycznie. Skoncentrujmy uwag« na pro-

blemach, dla ktrych nie istnieje ýaden

program umoýliwiajcy otrzymanie od-

powiedzi. Jak wyglda¸by æwiat, gdyby

przejawia¸o si« w nim zjawisko braku

logicznych odpowiedzi, ktre obserwu-

jemy w matematyce? Twierdz«, ýe ww-

czas przyroda musia¸aby by wewn«trz-

nie sprzeczna (niekonsystentna) lub

niepe¸na w nast«pujcym znaczeniu tych

s¸w. Brak sprzecznoæci w przyrodzie

oznacza, iý nie wyst«puj w niej praw-

PODRîûUJCY KOMIWOJAûER potrze-

bowa¸by miliardw lat pracy najszybszego

kumputera æwiata, by obliczy najkrtsz

drog« mi«dzy 100 punktami przeznaczenia.

Naukowcy prbuj obecnie znale sposoby

obejæcia tego zniech«cajcego problemu.

38 å WIAT N AUKI GrudzieÄ 1996

K aýdego, kto jest przekonany, ýe

dziwe paradoksy. Zazwyczaj gdy napo-

tykamy efekty æwiadczce o podobnych

paradoksach Ð takie jak strugi gazu wy-

rzucane z kwazarw z pr«dkoæci po-

zornie wi«ksz od pr«dkoæci æwiat¸a Ð

dalsze badania przynosz rozwizanie.

(Te ãnadæwietlneÓ strugi okaza¸y si« z¸u-

dzeniem wynikajcym z efektw relaty-

wistycznych.)

Zupe¸noæ przyrody oznacza, ýe ýa-

den stan fizyczny nie moýe powsta bez

powodu, czyli Ð mwic krtko Ð kaý-

de zjawisko ma jakæ przyczyn«. Nie-

ktrzy badacze mogliby ripostowa:

mechanika kwantowa przeczy temu, ýe

przyroda jest konsystentna i zupe¸na.

Jednak rwnanie opisujce funkcj« falo-

w zjawiska kwantowego daje przyczy-

now interpretacj« kaýdej obserwacji

(zupe¸noæ) i jest dobrze okreælone w

kaýdej chwili (konsystencja). Powszech-

nie znane ãparadoksyÓ mechaniki kwan-

towej powstaj wtedy, gdy usi¸ujemy

traktowa obiekty kwantowe tak, jakby

by¸y klasyczne.

si« znale odpowied, dotyczy tego,

czy dwa cia¸a lub wi«cej zderz si«, czy

teý ktreæ z nich osignie dowolnie du-

ý pr«dkoæ w skoÄczonym czasie. W ro-

ku 1988 Zhihong (Jeff) Xia z Northwe-

stern University wykaza¸, w jaki sposb

pojedyncze cia¸o poruszajce si« tam

i z powrotem pomi«dzy dwoma po-

dwjnymi uk¸adami (ca¸y uk¸ad sk¸ada

si« z pi«ciu mas punktowych) moýe osi-

gn dowolnie duý pr«dkoæ i w rezul-

tacie wyrwa si« z uk¸adu. Ten wynik,

ktry wyprowadzony zosta¸ z uwzgl«d-

nieniem specyficznej geometrycznej kon-

figuracji cia¸, nie daje ýadnej informacji

o szczeglnym przypadku Uk¸adu S¸o-

necznego, ale sugeruje, ýe nasz Uk¸ad

S¸oneczny wcale nie musi by trwa¸y.

Co wi«cej, odkrycie to moýe zaowo-

cowa nowymi metodami badawczy-

mi pomocnymi w rozwizaniu tego

problemu.

¥ Zwijanie si« bia¸ek. Bia¸ka, b«dce

podstawowymi sk¸adnikami wszystkich

organizmw ýywych, tworz si« z wiel-

kiej liczby sk¸adnikw, czyli ¸aÄcuchw

aminokwasw przypominajcych kora-

liki na sznurku. Kiedy koraliki zostan

u¸oýone we w¸aæciwym porzdku, cz-

steczka bia¸ka gwa¸townie zwija si«

w wysoce specyficzn trjwymiarow

struktur«, ktra okreæla jej funkcj« w or-

ZWIJANIE BIAüEK to problem, w ktrym

rozwaýa si«, w jaki sposb ¸aÄcuch amino-

kwasw (z lewej) przechodzi niemal natych-

miast w nies¸ychanie skomplikowan trj-

wymiarow struktur« bia¸ka (z prawej) .

Obecnie biolodzy usi¸uj rozszyfrowa te

zawi¸e biochemiczne regu¸y.

ganizmie. Oszacowano, ýe superkom-

puter, stosujcy w obliczeniach przy-

puszczalne regu¸y zwijania si« bia¸ek,

potrzebowa¸by aý 10 127 lat, by wyzna-

czy ostateczny kszta¸t nawet stosunko-

wo krtkiego ¸aÄcucha zawierajcego

zaledwie 100 aminokwasw. I rzeczy-

wiæcie, w 1993 roku Aviezri S. Fraenkel

z University of Pennsylvania wykaza¸,

ýe matematyczne rozwizanie proble-

mu zwijania si« bia¸ek jest obliczeniowo

rwnie ãtrudneÓ jak problem podrýu-

jcego komiwojaýera. W jaki sposb ra-

dzi sobie z tym natura?

¥ Efektywnoæ rynku. Jeden z filarw,

na ktrych wspiera si« klasyczna teoria

finansw, to przekonanie, ýe rynek jest

ãefektywnyÓ. Oznacza to, ýe przetwa-

rza on niezw¸ocznie wszelkie informa-

cje wp¸ywajce na cen« akcji i towarw

i uwzgl«dnia je w bieýcej cenie gie¸do-

wej. W konsekwencji ceny powinny

zmienia si« w zasadniczo nieprzewidy-

walny, przypadkowy sposb, pomijajc

Trzy zagadki

W moim przekonaniu przyroda jest

zarwno zupe¸na, jak i niesprzeczna.

Z drugiej jednak strony, zaleýnoæ na-

uki od matematyki ogranicza nasze moý-

liwoæci opisu zjawisk æwiata przyrody.

Ilustracj niech b«d trzy dobrze znane

problemy z dziedziny fizyki, biologii

i gospodarki.

¥ Stabilnoæ Uk¸adu S¸onecznego. Naj-

bardziej znanym problemem mechani-

ki klasycznej jest problem n -cia¸. Mwic

najoglniej, chodzi w nim o opis zacho-

wania pewnej liczby n punktw mate-

rialnych, ktrych ruch podlega newto-

nowskiemu prawu powszechnego ci-

ýenia. Jedno z pytaÄ, na ktre staramy

å WIAT N AUKI GrudzieÄ 1996 39

efekty inflacji. To z kolei oznacza, ýe

strategie handlowe oparte na dost«p-

nych publicznie informacjach, takich jak

zmiany cen, powinny by bezuýytecz-

ne; nie moýe istnie ýadna strategia, kt-

ra dzia¸a¸aby lepiej niý rynek w d¸uý-

szym czasie. Jednakýe rzeczywiste rynki

zdaj si« nie mie nic wsplnego z aka-

demick teori. Literatura ekonomiczna

jest pe¸na opisw takich rynkowych

ãanomaliiÓ jak efekt niskiego wsp¸-

czynnika cenaÐzysk, ktry pokazuje, ýe

niskie ceny akcji firm w stosunku do ich

zyskw systematycznie przewyýszaj

æredni rynkow.

tworz skoÄczony zbir liczb. Co wi«-

cej, tego rodzaju pomiary zazwyczaj s

niedok¸adne.

Z kolei w æwiecie matematyki te re-

alnie obserwowane wielkoæci s repre-

zentowane symbolicznie i cz«sto przy-

jmuje si«, ýe ich wartoæci naleý do

kontinuum przestrzennego i czasowe-

go. Symbole matematyczne reprezentu-

jce takie atrybuty, jak po¸oýenie czy

pr«dkoæ, zwykle wyraýa si« liczbami

naturalnymi, rzeczywistymi lub zespo-

lonymi pochodzcymi ze zbiorw nie-

skoÄczonych. W¸aæciwym poj«ciem ma-

tematycznym charakteryzujcym nie-

pewnoæ jest losowoæ.

I wreszcie jest teý æwiat ãobliczeÄÓ,

ktry zajmuje nienaturaln pozycj«,

tkwic cz«æciowo w rzeczywistym æwie-

cie przyrzdw fizycznych, a cz«æcio-

wo w abstrakcyjnym æwiecie obiektw

matematycznych. Gdy myælimy o obli-

czeniach jako o wykonywaniu cigu po-

leceÄ, czyli algorytmu, mamy wwczas

do czynienia z procesem czysto mate-

matycznym i naleýcym do æwiata

obiektw symbolicznych. Gdy nato-

miast patrzymy na obliczenia jako na

proces polegajcy na kolejnym w¸cza-

niu i wy¸czaniu prze¸cznikw w pa-

mi«ci realnej maszyny liczcej, to wtedy

jest on mocno zakotwiczony w æwiecie

obserwacji fizycznych.

Jednym ze sposobw wykazania, ýe

na dane pytanie nie moýna da logicznej

naukowej odpowiedzi, jest ogranicze-

nie dyskusji i argumentw wy¸cznie

do æwiata zjawisk przyrodniczych. Gdy-

byæmy wybrali t« drog«, to nie wolno

by¸oby przek¸ada pytania: ãCzy Uk¸ad

S¸oneczny jest stabilny?Ó, na j«zyk ma-

tematyki i tym samym oczekiwa od-

powiedzi, ktra da¸aby si« wyprowa-

dzi z logicznych schematw mate-

matyki. Musielibyæmy bowiem w real-

nym æwiecie znale substytut dowodu

matematycznego.

Dobrym kandydatem jest poj«cie

przyczynowoæci. Moýna by w zasadzie

uzna, ýe problem jest naukowo rozwi-

zywalny, gdyby da¸o si« skonstruowa

cig argumentw przyczynowych, kt-

rego ostatnim ogniwem by¸oby rozwi-

zanie postawionego problemu. Argu-

mentacja przyczynowa nie musi by

wyraýona w j«zyku matematyki. Stan-

dardowy przyk¸ad argumentu deduk-

cyjnego: ãWszyscy ludzie s æmiertelni;

Sokrates jest cz¸owiekiem, a zatem So-

krates jest æmiertelnyÓ, jest takim w¸a-

ænie ¸aÄcuchem przyczynowym. Nie za-

wiera on ýadnej matematyki, jedynie

prosty wywd logiczny. Z drugiej stro-

ny, konstrukcja przekonujcego argu-

mentu przyczynowego bez uciekania

si« do matematyki moýe okaza si«

Nierzeczywistoæ matematyki

Analiza powyýszych trzech proble-

mw zdaje si« prowadzi do nast«pu-

jcych wnioskw: Uk¸ad S¸oneczny jest

by moýe niestabilny, zwijanie si« bia-

¸ek to problem obliczeniowo z¸oýony,

a rynki finansowe prawdopodobnie nie

s ca¸kowicie efektywne. Wsplnym

wyznacznikiem tych domniemanych

odpowiedzi jest zagadnienie matema-

tycznej przedstawialnoæci rzeczywiste-

go æwiata, a nie sama jego istota. Na

przyk¸ad podane przez Xia rozwiza-

nie problemu n -cia¸ nie t¸umaczy, w ja-

ki sposb rzeczywiste cia¸a uk¸adu pla-

netarnego poruszaj si« pod wp¸ywem

si¸ grawitacyjnych. Podobnie wniosek

Fraenkla, ýe zwijanie si« bia¸ek jest ob-

liczeniowo z¸oýone, nie wyjaænia, w ja-

ki sposb bia¸ka wykonuj swoje zada-

nia w cigu sekund raczej niý eonw.

No, a obrotni maklerzy z Wall Street od

dziesitkw lat mieli w nosie hipotez«

o efektywnoæci rynku. Zanim jednak

wysnujemy wnioski o niezdolnoæci na-

uki do wyjaænienia takich problemw,

trzeba albo wykaza, ýe model matema-

tyczny jest wiernym odbiciem rzeczy-

wistoæci, albo teý odrzuci go ca¸kowicie.

Rozwaýmy oba te warianty.

Podane przyk¸ady æwiadcz, ýe jeæli

chcemy szuka nierozwizywalnych

problemw rzeczywistego æwiata, mu-

simy wprowadzi staranne rozrýnie-

nie pomi«dzy rzeczywistoæci przyrod-

niczych i spo¸ecznych zjawisk z jednej

strony, a ich matematycznymi i oblicze-

niowymi modelami z drugiej. W zakres

obserwowalnych obiektw æwiata fi-

zycznego wchodz zazwyczaj bezpo-

ærednio mierzalne wielkoæci, jak czas lub

po¸oýenie, albo wielkoæci takie jak ener-

gia, ktre daj si« z nich wyprowadzi.

W ten sposb obiektem naszych rozwa-

ýaÄ s parametry takie jak wyznaczone

po¸oýenia planet lub rzeczywiæcie ob-

serwowane konfiguracje bia¸ek. Te ob-

serwowalne wielkoæci stanowi zazwy-

czaj dyskretny zbir, a ich wartoæci

przedsi«wzi«ciem zniech«cajcym.

W przypadku stabilnoæci Uk¸adu S¸o-

necznego naleýa¸oby znale przekonu-

jce niematematyczne definicje grawita-

cji i planet.

W obliczu tych trudnoæci rozsdne

wydaje si« zastosowanie metody ¸cz-

cej æwiat matematyki ze æwiatem real-

nym. Gdy chcemy odwo¸a si« do do-

wodowej maszynerii matematyki w celu

rozstrzygni«cia jakiejæ kwestii dotycz-

cej æwiata rzeczywistego, musimy naj-

pierw ãzakodowaÓ problem w postaci

formu¸y z jakiegoæ dzia¸u matematyki,

na przyk¸ad rwnania rýniczkowego,

wykresu czy gry z n -uczestnikami. Roz-

wizujemy matematyczn wersj« zagad-

nienia za pomoc techniki w¸aæciwej te-

mu obszarowi æwiata matematycznego

i ewentualnie moýemy ãrozkodowaÓ

odpowied (jeæli taka istnieje) z powro-

tem na j«zyk æwiata rzeczywistego. Cie-

kawe przy tym by¸oby wykazanie, ýe

matematyczna wersja problemu wiernie

obrazuje sytuacj« wyst«pujc w real-

nym æwiecie. Skd wiadomo, ýe model

matematyczny uk¸adu fizycznego i sam

uk¸ad maj ze sob cokolwiek wsplne-

go? To odwieczne pytanie filozofii da¸o

impuls do powstania teorii modeli usi¸u-

jcej udzieli na nie odpowiedzi. Co wi«-

cej, argumenty matematyczne mog

podlega ograniczeniom odkrytym

przez Gdla, Turinga i Chaitina, a do-

tychczas nie wiadomo, czy podobnym

podlega æwiat realny.

Umys¸ nie obliczajcy

By moýe istniej sposoby obejæcia

tych k¸opotw. Problemy odkryte przez

Gdla i innych pojawiaj si« w przy-

padku systemw liczbowych o nieskoÄ-

czonej iloæci elementw, takich jak zbir

liczb ca¸kowitych. Lecz w wielu rzeczy-

wistych problemach, choby podrýu-

jcego komiwojaýera, uýywa si« jedynie

skoÄczonej liczby parametrw, ktre ma-

40 å WIAT N AUKI GrudzieÄ 1996

Mars

We nus

UKüAD N -CIAü, sk¸adajcy si« z punktu

materialnego oscylujcego mi«dzy dwoma

uk¸adami podwjnymi (z lewej) , zgodnie

z twierdzeniem wykazanym przez Zhihong

Xia z Northwestern University jest niestabil-

ny. Ten wynik moýe doprowadzi do wnio-

sku, ýe Uk¸ad S¸oneczny wyrzuci kiedyæ jed-

n ze swych planet w przestrzeÄ kosmiczn.

j tylko skoÄczon liczb« dopuszczal-

nych wartoæci.

Podobnie niededukcyjne sposoby ro-

zumowania Ð na przyk¸ad indukcja, kt-

ra pozwala wyprowadzi oglny wnio-

sek na podstawie skoÄczonej liczby

specyficznych obserwacji Ð mog nas za-

prowadzi poza obszar logicznej nieroz-

strzygalnoæci. Jeæli wi«c zdo¸amy ogra-

niczy formalizm matematyczny,

uýywajc skoÄczonych uk¸adw liczb

czy niededukcyjnej logiki bd teý obu

naraz, na kaýde pytanie matematyczne

powinna istnie odpowied; moýna wi«c

oczekiwa, ýe otrzymany po rozkodo-

waniu takiego pytania jego odpowied-

nik w realnym æwiecie teý nie pozostanie

bez odpowiedzi.

Badania ludzkiego umys¸u mog do-

prowadzi do odkrycia innych drg ob-

chodzenia tych trudnoæci. Niektrzy

zwolennicy sztucznej inteligencji sugero-

wali, ýe nasze mzgi s niezwykle skom-

plikowanymi komputerami, ktre wy-

konuj obliczenia w taki sam algoryt-

miczny sposb, jak to robi konwencjo-

nalne maszyny (czy nawet procesory

rwnoleg¸e lub sieci neuronowe). Jed-

nak wielu teoretykw, a zw¸aszcza fizyk

teoretyk Roger Penrose z University of

Oxford, argumentuje, ýe ludzka aktyw-

noæ poznawcza nie jest oparta na ýad-

nych znanych regu¸ach dedukcyjnych,

a wi«c nie podlega teý ograniczeniom

gdlowskim.

Ostatnio ten punkt widzenia nieocze-

kiwanie wspar¸y moje badania pod egid

Institute for Future Studies w Sztokhol-

mie prowadzone wesp¸ z psychologiem

Margaret A. Boden z University of Sus-

sex, matematykiem Donaldem G. Saarim

z Northwestern University, ekonomist

ke E. Anderssonem (dyrektorem insty-

tutu) i innymi. åwiadcz one przekony-

wajco, ýe zarwno w dziedzinie sztuk

pi«knych, jak i nauk przyrodniczych czy

nawet matematyki twrcze moýliwoæci

ludzkie nie s kr«powane ýadnymi wi«-

zami, tak jak algorytmy komputerowe.

Penrose i inni teoretycy wysun«li przy-

puszczenie, ýe zdolnoæci twrcze cz¸o-

wieka opieraj si« na jakimæ dotychczas

nie znanym mechanizmie lub regu¸ach,

by moýe powizanych z mechanik

kwantow. Odkrywajc te mechanizmy

i w¸czajc je do arsena¸u metod nauko-

wych, badacze b«d mogli rozwizywa

problemy dziæ nie do przezwyci«ýenia.

Oczywiæcie moýliwoæci nauki w zg¸«-

bianiu tajemnic natury s ograniczone

wieloma praktycznymi czynnikami Ð ta-

kimi jak b¸d pomiaru, d¸ugoæ czasu

obliczeÄ, fizyczne i finansowe zasoby,

decyzje polityczne czy wartoæci kultu-

rowe. Jednak ýaden z nich nie ma zwiz-

ku z istnieniem logicznych barier w na-

szych moýliwoæciach otrzymania od-

powiedzi na pewne pytania dotyczce

æwiata przyrody. W moim przekonaniu

nie ma takich barier. A zatem wnioski

wyp¸ywajce z przegldu XX-wiecz-

nej matematyki wcale nie s aý takie

zniech«cajce.

T¸umaczy¸

Aleksander Strasburger

Informacje o autorze

JOHN L. CASTI jest profesorem na Politechnice w Wiedniu i w Santa Fe Insti-

tute (casti@santafe.edu). Pomoc w sformu¸owaniu problemw poruszonych

w tym artykule s¸uýyli Joseph F. Traub, Piet Hut, James B. Hartle i ke E. An-

dersson, a takýe Institute for Future Studies w Sztokholmie, cz«æciowo finan-

sujcy te badania, za co autor wyraýa wszystkim podzi«kowanie.

Literatura uzupe¸niajca

SEARCHING FOR CERTAINTY. John L. Casti; William Morrow, 1991.

RANDOMNESS AND UNDECIDABILITY IN PHYSICS. K. Svozil; World

Scientific, Singapore, 1944.

BOUNDARIES AND BARRIERS. Red. John L. Casti i A. Karlqvist;

Addison-Wesley, 1996.

å WIAT N AUKI GrudzieÄ 1996 41

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: