MAX: Funkcja f(x) posiada w punkcie xo maximum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu xo takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≤f(xo).
MIN: Funkcja f(x) posiada w punkcie xo minimum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu xo takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≥f(xo).
Min i Max właściwe: wystarczy powyższe nierówności nieostre zastąpić nierównościami ostrymi.
Twierdzenie o warunku koniecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w punkcie xo i posiada w tym punkcie ekstremum to posiada w xo pochodną, która przyjmuje w nim wartości „0” lub nie posiada w xo pochodnej.
Twierdzenie o warunku dostatecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w xo i posiada w jego sąsiedztwie pochodną i pochodna ta w sąsiedztwie xo zmienia znak to w punkcie xo posiada ekstremum: +/- max; -/+ min
Wypukłość: Funkcja f(x) ma w pewnym przedziale wykres wypukły <=> w każdym punkcie tego przedziału styczna poprowadzona do wykresu nie leży powyżej wykresu. Jeżeli dla każdego x€ X f’(x)<0 to funkcja jest wypukła.
Wklęsłość: Funkcja f(x) ma w pewnym przedziale wykres wklęsły <=> w każdym punkcie tego przedziału styczna poprowadzona do wykresu nie leży poniżej wykresu. Jeżeli dla każdego x€ X f’(x)>0 to funkcja jest wklęsła.
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: Jeżeli funkcja jest ciągła w xo i posiada w nim punkt przegięcia to posiada w xo f’’, która przyjmuje wartość równą „0” lub funkcja w xo nie posiada.
Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia: Jeżeli funkcja jest ciągła w xo i posiada w jego sąsiedztwie f’’, która zmienia w tym sąsiedztwie swój znak to w xo posiada punkt przegięcia.
Całkowanie przez części- Jeżeli funkcja U(x) oraz V(x) mają ciągłe pochodne to prawdziwy jest wzór nazywany wzorem na całkowanie przez części
∫U(x)*V’(x)dx = U(x)∙V(x)-∫V(x)∙U’(x)dx
Całkowanie przez podstawianie- Jeżeli funkcja g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale x i przekształca ten przedział na t, na którym określona jest ciągła funkcja f(t) to stosujemy wzór na całkowanie przez podstawianie ∫f(g(x))∙ g’(x)dx = ∫f(t)dt t=g(x)
Różniczka funkcji- jest to iloczyn pochodnej funkcji i przyrostu jej argumentu (dx)
Całka oznaczona- Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> odpowiadający mu ciąg sum całkowych Riemanna dąży do tej samej granicy niezależnie od sposobów wyborów punktów to tą granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem a∫bf(x)dx a-dolna granica, b-górna granica
Ciąg podziału przedziału- ciąg podziału <a,b> nazywamy ciągiem normalnym podziału <=> odpowiadający mu ciąg średnic dąży do „0”
Macierz- macierzą o -m- wierszach i -n- kolumnach nazywamy funkcję -a-, która przyporządkowuje każdej parze licz (i;j) gdzie i€ {1,2,…,m}, j€ {1,2,…,n}
Układ Cramera- Metoda I- układ równań liniowych Ax = b nazywamy układem Cramera <=> 1° ilość równań w układzie jest równa ilości niewiadomych; 2° wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera x = A-1∙b; Metoda II- jeżeli układ równań liniowych jest układem Cramera to posiada rozwiązanie wyznaczone wzorami nazywanym wzorami Cramera
detAj jest to wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie j- tej kolumny wektorem -b-.
Funkcje dwóch zmiennych- jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną cząstkową funkcji f względem argumentu x w punkcie Po.
Twierdzenie Schwarza- jeżeli funkcja f(x,y) posiada w otoczeniu punktu Po pochodne cząstkowe rzędu drugiego i pochodne cząstkowe rzędu drugiego są funkcjami ciągłymi w punkcie Po to są równe.
Twierdzenie o warunku koniecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w Po ekstremum i posiada w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego to przyjmują one wartości równe zero.
Twierdzenie o warunku dostatecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w otoczeniu punktu stacjonarnego Po ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego to: 1° posiada w Po ekstremum, gdy W(Po) > 0
2° nie posiada w Po ekstremum, gdy W(Po) < 0
3° przypadek, gdy W(Po) = 0 jest przypadkiem nierozstrzygniętym.
Twierdzenie o warunku koniecznym ekstremum warunkowego- warunkiem koniecznym na to by w Po = (xo,yo) funkcja f(x,y) posiadała ekstremum warunkowe przy warunku g(x,y)=0 jest spełnienie następującego układu równań.
Twierdzenie o warunku dostatecznym ekstremum warunkowego- jeżeli w Po funkcja f(x,y) posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu II włącznie, a funkcja g(x,y) pochodną rzędu I to w Po funkcja posiada max warunkowe gdy wyznacznik >0, a min, gdy <0
zoozool