Fizyka - Vademecum Licealisty.pdf - nauka11

1.1. Kinematyka punktu materialnego

1.1. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Podstawowe poj´cia opisujàce ruch

Ruch to zmiana po∏o˝enia cia∏a

wzgl´dem innego cia∏a, zwanego uk∏a-

dem odniesienia. Uk∏ad odniesienia

mo˝na dobraç dowolnie, opis ruchu

natomiast mo˝e zale˝eç od wyboru te-

go uk∏adu. W tej samej chwili cia∏o

wzgl´dem jednego uk∏adu odniesienia

mo˝e byç w spoczynku, wzgl´dem in-

nego byç w ruchu. Wyst´powanie ró˝-

nic w opisie ruchu tego samego cia∏a

w ró˝nych uk∏adach odniesienia

nazywa si´ wzgl´dnoÊcià ruchu . Ró˝-

nice w opisach dotyczyç mogà nie tyl-

ko pr´dkoÊci chwilowej, ale tak˝e

przyspieszenia, kszta∏tu toru, a wi´c

i drogi.

Punkt materialny to obiekt obda-

rzony masà, którego rozmiary mo˝na

zaniedbaç.

Najogólniej wszelkie ruchy cia∏ dzieli-

my na post´powe i obrotowe. W ruchu

post´powym wszystkie punkty cia∏a po-

ruszajà si´ po torach o identycznym

kszta∏cie i d∏ugoÊci. Ruch post´powy

cia∏a mo˝na zatem sprowadziç do ru-

chu punktu materialnego.

W ruchu obrotowym poszczególne

punkty cia∏a zakreÊlajà okr´gi lub ∏uki

okr´gów o Êrodkach le˝àcych na jednej

prostej zwanej osià obrotu. Uproszcze-

nie jakim jest punkt materialny, mo˝na

stosowaç, gdy rozwa˝any ruch jest po-

st´powy, natomiast do opisu ruchu ob-

rotowego wprowadza si´ poj´cie bry∏y

sztywnej.

Bry∏a sztywna to cia∏o, w którym od-

leg∏oÊci mi´dzy poszczególnymi jego

punktami nie zmieniajà si´ w czasie

ruchu pomimo dzia∏ajàcych na nie si∏.

Zbiór wszystkich kolejnych po∏o˝eƒ

punktu materialnego w trakcie ruchu

to tor ruchu . Mo˝e on byç linià prostà

lub krzywà, w szczególnoÊci okr´giem.

W zale˝noÊci od kszta∏tu toru jest to

ruch prostoliniowy albo krzywoliniowy.

Droga to d∏ugoÊç toru zakreÊlonego

podczas ruchu. Droga ma jedynie war-

toÊç, czyli jest wielkoÊcià skalarnà.

Aby opisaç ruch cia∏a wzgl´dem jakiegoÊ punktu (obserwatora),

wygodnie jest obraç uk∏ad wspó∏rz´dnych , którego poczàtek jest

zwiàzany z tym obserwatorem.

Ruch odbywajàcy si´ po linii prostej, np. z punktu A do punktu

B , mo˝na opisywaç w uk∏adzie wspó∏rz´dnych, którym jest oÊ x

równoleg∏a do kierunku ruchu.

x A

x B

Ruch, który nie odbywa si´ po jednej prostej, opisujemy w dwu-

wymiarowym kartezjaƒskim uk∏adzie wspó∏rz´dnych.

y A

y B

x B

x A

Ruch odbywajàcy si´ w przestrzeni opisujemy natomiast w trój-

wymiarowym kartezjaƒskim uk∏adzie wspó∏rz´dnych x , y , z .

z A

z B

x A

y B

y A

x B

Przemieszczenie ( wektor przemieszczenia ) to skierowany

odcinek. Aby okreÊliç po∏o˝enie danego punktu materialnego,

mo˝emy si´ pos∏u˝yç wektorem zwanym wektorem wodzàcym ,

którego poczàtek znajduje si´ w poczàtku uk∏adu wspó∏rz´dnych,

a koniec wskazuje badany punkt w danej chwili. Po∏o˝enie poczàt-

kowe przedstawia wektor r " , koƒcowe wektor r " . Zmian´ po∏o˝e-

nia opisuje wektor Δ rr BA

" = jest równa drodze przebytej przez to cia∏o. Jedynie w ru-

chu prostoliniowym przebyta droga jest równa przemieszczeniu.

r "

" ""

=- zwany wektorem przemieszczenia

(krócej przemieszczeniem). Je˝eli cia∏o przemieszcza si´ z punktu

A do B po linii prostej, to wartoÊç wektora przemieszczenia

ΔΔ

1. Mechanika

WielkoÊci fizyczne opisujàce ruch punktu materialnego

Ârednia szybkoÊç przebywania drogi to iloraz dro-

gi i czasu, w ciàgu którego zosta∏a ona przebyta:

Kierunek i zwrot przyspieszenia jest taki sam, jak

kierunek i zwrot wektora przyrostu pr´dkoÊci Δ " :

v Êr = .

SzybkoÊç chwilowa to iloraz drogi i czasu bliskiego

zeru:

Δ t

v 1

v 2

c m

Pr´dkoÊç Êrednia jest to stosunek wektora prze-

mieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie

nastàpi∏o:

Δ t

v 1

v 2

"""

=-ma zwrot zgodny z wektorem

pr´dkoÊci wtedy, gdy wartoÊç pr´dkoÊci wzrasta. Je-

˝eli zaÊ wartoÊç pr´dkoÊci maleje, przyrost pr´dkoÊci

ma zwrot przeciwny do wektora pr´dkoÊci. Kierunek

i zwrot przyspieszenia jest zawsze taki sam, jak kieru-

nek i zwrot przyrostu pr´dkoÊci Δ " .

Przyspieszenie doÊrodkowe (normalne lub radial-

ne) a " majà cia∏a b´dàce w ruchu krzywoliniowym,

w którym zmienia si´ wektor pr´dkoÊci, tzn. zmienia

si´ kierunek lub kierunek i wartoÊç pr´dkoÊci. Przy-

k∏adem ruchu krzywoli-

niowego jest ruch po

okr´gu:

v Ê " = .

Pr´dkoÊç chwilowa to stosunek wektora prze-

mieszczenia do czasu, który zmierza do zera:

Wektor pr´dkoÊci chwilowej w ka˝dym punkcie

jest styczny do toru ruchu.

Gdy zak∏adamy, ˝e Δ t " , to d∏ugoÊç odcinka to-

ru Δ s zbli˝a si´ do wartoÊci wektora Δ " . Zatem

chwilowa szybkoÊç przebywania drogi jest równa

wartoÊci pr´dkoÊci chwilowej:

| |

Δ t

v "

a "

v "

Δ 0

W ruchu prostoliniowym d∏ugoÊç wektora prze-

mieszczenia jest równa przebytej przez cia∏o drodze

ΔΔ

a "

" = . Zatem szybkoÊç Êrednia jest równa warto-

Êci pr´dkoÊci Êredniej. W ruchu krzywoliniowym

ΔΔ

a "

r " i szybkoÊç Êrednia ró˝ni si´ od wartoÊci

pr´dkoÊci Êredniej.

Ze wzgl´du na równoÊç wartoÊci przy Δ t " oraz

na to˝samoÊç poj´ç „pr´dkoÊç” i „szybkoÊç” w j´zy-

ku potocznym, j´zyku podr´czników i zbiorów za-

daƒ, obydwie wielkoÊci sà najcz´Êciej nazywane

pr´dkoÊcià. Z kontekstu ∏atwo mo˝na si´ domyÊliç,

czy problem dotyczy pr´dkoÊci jako wielkoÊci wekto-

rowej czy jej wartoÊci (szybkoÊci przebywania drogi).

JeÊli pr´dkoÊç cia∏a ulega zmianie (zmienia si´ jej

wartoÊç lub kierunek), to ruch tego cia∏a opisuje

przyspieszenie .

Przyspieszenie Êrednie jest to stosunek przyrostu

pr´dkoÊci do czasu, w którym ten przyrost nastàpi∏:

W ka˝dym ruchu krzywoliniowym mo˝na wyzna-

czyç wektorowà zmian´ pr´dkoÊci, a zatem i przy-

spieszenia. W ruchu po okr´gu nast´puje zmiana

wektora pr´dkoÊci, gdy˝ zmienia si´ jego kierunek.

WartoÊç przyspieszenia doÊrodkowego mo˝na ob-

liczyç ze wzorów:

= , a

= ~ , a

, a

2 2

= r ,

R f

= .

Wektor przyspieszenia doÊrodkowego cia∏a a " ma

kierunek promienia okr´gu, zwrot do Êrodka okr´-

gu i w ka˝dej chwili jest prostopad∏y do wektora

pr´dkoÊci.

Gdy wartoÊç pr´dkoÊci

gdy˝

v = ~ ,

~r , f

" =

WartoÊç przyspieszenia Êredniego informuje, jaka

zmiana pr´dkoÊci nastàpi∏a w jednostkowym czasie.

Przyspieszenie chwilowe to stosunek przyrostu

pr´dkoÊci do czasu, w którym ten przyrost nastàpi∏,

jeÊli ten czas zmierza do zera:

const

, równie˝ wartoÊç

Êr

a " = .

JeÊli w ruchu po krzywej wartoÊç pr´dkoÊci zmie-

nia si´, to oprócz przyspieszenia normalnego istnie-

je przyspieszenie styczne . Ca∏kowite przyspieszenie

jest sumà wektorowà przyspieszeƒ radialnego a "

i stycznego a " , aa a

przyspieszenia

const

"""

=+, a jego wartoÊç jest równa

2 2

=+.

aaa

Δ t

W ruchu zmiennym po prostej, tzn. takim, w którym

nast´puje jedynie zmiana wartoÊci pr´dkoÊci, przyrost

pr´dkoÊci Δ vv v

1.1. Kinematyka punktu materialnego

Klasyfikacja ruchów

Ruch prostoliniowy

Kierunek pr´dkoÊci " jest sta∏y.

Ruch krzywoliniowy

Kierunek v " ulega zmianie,

istnieje " o kierunku innym ni˝ kierunek v " .

Ruch jednostajny

prostoliniowy

const

" =

a 0

" =

Δ v 0

Ruch zmienny

prostoliniowy

WartoÊç v " ulega zmianie,

const

Ruch jednostajny

po krzywej

const

v =

a 0

Ruch zmienny

po krzywej

(przyspieszony

lub opóêniony)

const

v ! ,

istnieje " o kierunku

takim jak v " .

S =

const

v ! ,

a s ! ,

const

" =

a R =

a R ! , aaa

const

2 2

Ruch przyspieszony

Ruch opóêniony

Ruch jednostajnie

przyspieszony

" wzrasta o jednako-

we wartoÊci w równych

odst´pach czasu,

const

Ruch niejednostajnie

przyspieszony

" wzrasta o niejed-

nakowe wartoÊci w rów-

nych odst´pach czasu,

const

Δ v ! ,

const

Ruch jednostajnie

opóêniony

" maleje o jednako-

we wartoÊci w równych

odst´pach czasu,

const

Δ v = ,

czyli przyspieszenie

ujemne (opóênienie)

jest sta∏e const

Ruch niejednostajnie

opóêniony

" maleje o niejedna-

kowe wartoÊci w rów-

nych odst´pach czasu,

const

a ! .

a =

a ! .

const

PRZYK¸ADOWE ZADANIA

Zadanie

Rozwiàzanie

400 . Ja-

cek wykona∏ dwa okrà˝enia w czasie min

Droga przebyta przez biegacza nie pokrywa si´ z d∏u-

goÊcià wektora przemieszczenia. D∏ugoÊç wektora

przemieszczenia jest równa zeru.

40 . Z jakà Êrednià szybkoÊcià porusza∏ si´

Jacek? Ile wynosi∏a jego pr´dkoÊç Êrednia?

= , zatem wartoÊç pr´d-

Poniewa˝ Δ r 0

= , Δ

v Êr

" = .

Biegacz przebywa od startu do mety drog´

koÊci Êredniej v 0

Êr

Δ s 800

w czasie

Δ t 100

SzybkoÊç Êrednia wynosi

v Êr =

Pr´dkoÊç Êrednia biegacza jest równa zeru, natomiast

szybkoÊç Êrednia wynosi

800

8 10

3600

28 8

Êr

100

28 8

2. Motocyklista startuje w wyÊcigu rozgrywa-

nym na torze ko∏owym o promieniu

t = ,

1 = ,

Δ v 80

a S

= ,

t v

a R

10 wartoÊç

jego pr´dkoÊci wzrasta jednostajnie od v 0

. W ciàgu pierwszych s

1 =

17 6

2 = . Jaka by∏a wartoÊç i kierunek

przyspieszenia motocykla w chwili

v 80

= ,

v = ,

v 17 6

516

t = ?

aaa 562 2

2 2

=+= ,

2 345

, 66 5 cc

Δ v ! ,

czyli przyspieszenie

ujemne (opóênienie)

nie jest sta∏e

Δ v = ,

czyli przyspieszenie

jest sta∏e const

1. D∏ugoÊç bie˝ni stadionu wynosi

i s

t 10

R 60

1. Mechanika

Ruch po prostej (I)

Ruch

Pr´dkoÊç

Przyspieszenie

Droga

v =

WartoÊç i kierunek pr´dkoÊci

jest sta∏y.

Wykresem pr´dkoÊci t

v =

const

Wykresem przyspieszenia jest

odcinek le˝àcy na osi czasu.

a 0

Droga

jest rosnàcà funkcjà czasu.

v ^h

jest linia prosta równoleg∏a

do osi czasu.

s 0

Pole figury

zawartej mi´dzy wykresem

pr´dkoÊci a osià czasu

jest liczbowo równe drodze

przebytej przez to cia∏o.

Δ – droga przebyta przez cia∏o

w czasie t

v !

const

a !

Przyspieszenie ma kierunek

pr´dkoÊci.

Droga liczbowo równa si´ polu

figury zawartej mi´dzy wykresem

pr´dkoÊci a osià czasu.

Kierunek i zwrot wektora

pr´dkoÊci jest sta∏y.

WartoÊç pr´dkoÊci roÊnie

proporcjonalnie do czasu

zgodnie z równaniem

a = .

Zwrot wektora przyspieszenia

jest zgodny

ze zwrotem pr´dkoÊci.

Droga w ruchu jednostajnie

przyspieszonym

jest kwadratowà funkcjà czasu.

Jej wykresem jest cz´Êç jednej

ga∏´zi paraboli, liczbowo równa

jest polu figury

(prostokàt + trójkàt) zawartej

mi´dzy wykresem pr´dkoÊci

a osià czasu.

vv =+

v "

Wykresem a ^h jest linia prosta

równoleg∏a do osi czasu.

v 0

a 0

Kierunek, zwrot wektora

przyspieszenia i jego wartoÊç

sà sta∏e const

Fizyka - Vademecum Licealisty.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: