I. Podstawy matematyki finansowej.
1. Rachunek procentowy.
jeden procent : 1% =
Wskaźnik procentowy (r%) jest ilorazem wartości bezwzględnych dwu wielkości
(A,B) pomnożonych przez 100:
r% =
gdzie:
A - suma procentowa (część całości),
O - całość (zasada, podstawa) procentowa.
____________________________________________________________________
Zadania.
1.1. Towar zakupiony w hurtowni kosztował 30000. Marża hurtownika wynosi 8%.
Podaj kwotową marżę hurtownika oraz cenę zakupu towaru przez hurtownika (P).
8% = P = = 27777.78
marża hurtownika: O = 30000-P = 2222.22
................................................................................................................................
1.2. Producent kupuje surowiec za 1000 zł. Koszt własny wynosi 40% ceny surowca.
Podatek akcyzowy wynosi 40% ceny sprzedaży, podatek VAT jest równy 22%
tejże ceny. Producent chce osiągnąć zysk w wysokości 15% kosztu własnego.
Oblicz cenę sprzedaży (K) produktu.
K = 1000+0.4×1000+0.4×K+0.22×K+0.15×0.4×1000
0.38K = 1460
K = 3842.11
1.3. Towar kupiono za 15 zł. Przy zakupie udzielono 20% rabatu. Jaka jest jego cena
katalogowa (K) ?
20% = K = = 18.75 zł.
1.4. Cena towaru (P) w kolejnych miesiącach zmieniała się następująco:
w pierwszym miesiącu zdrożał o 15% i cena była równa K1,
w drugim miesiącu zdrożał o 10% i cena była równa K2,
w trzecim miesiącu staniał o 25% i cena była równa K3.
O ile procent zmieniła się cena towaru w trzecim miesiącu (K3) w porównaniu
z ceną początkową (P) ?
15% = K1 = 1.15×P
10% = K2 = 1.15×K1 = 1.265×P
25% = K3 = 0.75×K2 = 0.94875×P
r = = 0.05125 = 5.125%
lub:
K3 = (1+0.15)×(1+0.1)×(1-0.25)×P = 0.94875×P
Towar staniał (K3<P) o 5.125%.
1.5. Cena towaru z marżą 20% - ową jest równa 18000 zł. Jaka jest cena towaru
(Cs) bez marży.
Cs = 15000 zł.
1.6. Jaka powinna być cena sprzedaży towaru, którego koszt własny produkcji
wynosi 500 zł., aby udzielając 5% rabatu i 2.5% upustu gatunkowego osiągnąć
10% zysku w stosunku do kosztu własnego.
Cs = 593.79 zł.
___________________________________________________________________
2. Obecna i przyszła ilość pieniądza.
2.1. Rachunek odsetek prostych.
0 t T
P - ilość obecna (w chwili obecnej) pieniądza,
K - ilość przyszła pieniądza (końcowa), po upływie czasu t=T,
Kt - ilość przyszła pieniądza, po upływie czasu równym t,
O - odsetki (przrost ilości kapitału) naliczane po upływie czasu t=T.
Ot - odsetki naliczane po upływie czasu t,
r = =
r - stopa procentowa (rentowność) dla okresu czasu t=T
(stopa procentowa dostosowana).
O = P×r
K = P×(1+r) = P+O
P = K×
- współczynnik dyskontujący.
Dla okresu czasu 0 £ t £ T jest:
O = P×r×
P = K = P+Ot = P×(1+r)
Dla okresu czasu t = n×T jest:
O = P×n×r
K = P×(1+n×r) = P+O
Przyjmując T=360 dni kwotę odsetek można zapisać następująco:
O =
L% - liczby procentowe: L% =
2.1.1. Średnia stopa procentowa.
Niech ni oznacza liczbę okresów czasu w których obowiązuje stopa procentowa
ri (i=1êl).
Średnia (przeciętna) stopa procentowa (rs) w okresie czasu N = :
rs =
Średnia stopa procentowa (rw) przy uwzględnieniu kwot kapitału Ai :
rw =
2.2. Oprocentowanie nominalne.
Stopę procentową którą stosuje się do wyznaczenia odsetek przy wykorzystaniu
rachunku odsetek prostych nazywać będziemy dalej nominalną stopą procentową
(nominalnym oprocentowaniem).
Oprocentowanie nominalne określone jest na ogół dla jednego roku.
Wzory wiążące wartość obecną (P), wartość końcową (K) oraz stopę procentową r
podano w I.2.1.
Dla okresu czasu t = stopa procentowa (rm) jest równa: rm =
rm - zgodna (dostosowana) stopa procentowa dla okresu czasu t, przy
stopie oprocentowania nominalnego r (dla okresu czasu = T).
O = P× rm = P
K = P(1+ rm) = P(1+) = P+O
P = =
2.1.1. Ulokowano 1000 na trzy miesiące przy stopie procentowej 17% w skali roku.
Jaka kwota będzie do dyspozycji po powyższym okresie utrzymywania lokaty?
Kt = 1000(1+0.17) = 1042.50
2.1.2. Zaciągnięto pożyczki w czterech bankach:
- w banku A 2000 na 3 miesiące, oprocentowanie (stopa procentowa) 17%
(w skali roku),
- w banku B 4000 na 4 miesiące, stopa procentowa: 16%,
- w banku C 3000 na 6 miesiące, stopa procentowa: 18%,
- w banku D 1000 na 1 miesiące, stopa procentowa: 19%.Wyznacz średnie oprocentowanie.
rs = = 17.29%
rw = = 17.10%
Kwota odsetek od zaciągniętych pożyczek:
O = 2000×0.17+4000×0.16+3000×0.18+1000×0.19 = 584.14
2.1.3. Po uwzględnieniu skonta (zmniejszenie należności z tytułu wcześniejszej niż usta-
lono realizacji zapłaty) zwrócono 300 zł. za zrealizowanie zapłaty o 7 dni wcześniej.
Skonto obliczono według stopy procentowej 12% w skali roku.
Jaka była uzgodniona kwota zapłaty (P)?
Stopa procentowa dostosowana (dla siedmiu dni) r : r = = 0.2(3)%
Skonto (s): s = = 0.23279%
s×K = 300
K = 128871.43
2.1.4. Obroty na rachunku bankowym przedstawiały się jak poniżej:
daty
wpłaty
wypłaty
saldo
dni
kalend.
1.I
...
hwz1954