Analiza - Wykład 1 (07.10.10) ogarnijtemat.com.pdf

(98 KB) Pobierz
706240219 UNPDF
SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 1, 2010-10-07
Zbiory - oznaczenia, operacje
q : p,q 2 Z ,q 6 = 0 } - zbiór liczb wymiernych
R- zbiór liczb rzeczywistych
< a,b > , ( a,b > , ( −1 ,b > , ( a, 1 ) i.t.p. - przedziały
Działania na zbiorach:
A [ B - suma zbiorów
A \ B - iloczyn zbiorów (przeci¦cie)
A \ B - ró»nica zbiorów
A × B = { ( a,b ) : a 2 A,b 2 B } - iloczyn kartezja«ski zbiorów
A 2 = A × A
Funkcje
Funkcj¡ nazywamy trójk¦ ( X,Y,W ) , gdzie X,Y s¡ zbiorami, a W X × Y jest podzbiorem
iloczynu kartezja«skiego maj¡cym własno±¢:
Dla ka»dego x 2 X istnieje dokładnie jeden element y 2 Y taki, »e ( x,y ) 2 W
Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji, Y przeciwdziedzin¡ funkcji, a W wykresem funkcji.
Stosujemy te» oznaczenie: y = f ( x ) zamiast ( x,y ) 2 W , oraz f : X ! Y
Element x nazywamy argumentem funkcji, a y = f ( x ) obrazem lub warto±ci¡ funkcji.
Je±li A X jest podzbiorem X to zbiór f ( A ) = { y 2 Y : ( 9 x 2 X ) y = f ( x ) } nazywamy
obrazem zbioru A .
Obraz dziedziny f ( X ) nazywamy zbiorem warto±ci funkcji.
Je±li B Y jest podzbiorem Y to zbiór f − 1 ( B ) = { x 2 X : ( 9 y 2 B ) y = f ( x ) } nazywamy
przeciwobrazem zbioru B .
Funkcja jest ’na’ wtedy i tylko wtedy, gdy f ( X ) = Y - zbiór warto±ci jest równy przeciw-
dziedzinie. Inaczej mo»na to sformułowa¢: przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty.
Funkcja jest ró»nowarto±ciowa wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz zbioru jednoelemen-
towego jest zbiorem jednoelementowym lub pustym: ( 8 x 1 ,x 2 2 X ) x 1 6 = x 2 = ) f ( x 1 ) 6 =
f ( x 2 )
Je»eli funkcja jest ró»nowarto±ciowa i ’na’ to istnieje funcja odwrotna f − 1 : Y ! X zdefi-
niowana nast¦puj¡co:
( 8 x 2 X,y 2 Y ) x = f − 1 ( y ) , y = f ( x )
Uwaga: Zmiast funkcja u»ywa si¦ te» sformułowa«: przekształcenie, odwzorowanie, trans-
formacja, operator, działanie.
Elementy logiki
1
Oznaczenia zbiorów:
N= { 1 , 2 , 3 .... } - zbiór liczb naturalnych
Z= { 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 .... } - zbiór liczb całkowitych
Q= { p
p - zdanie. Mo»e by¢ prawdziwe albo fałszywe
p ( x ) , p ( x,y ) i.t.p - funkcja zdaniowa jednej lub wielu zmiennych. Dla pewnych warto±ci
zmiennych mo»e by¢ prawdziwa, dla innych fałszywa.
Uwaga: W poni»szych przykładach zmienne x,y 2 R.
Przykład:
Funkcja zdaniowa p ( x ) : x > 1 jest prawdziwa dla x = 2 , a fałszywa dla x = 0
Funkcja zdaniowa p ( x ) :
x 2 = x jest prawdziwa dla x ­ 0 , a fałszywa dla x < 0
Negacja
Stosowane oznaczenia:
p
¬ p
Czytamy: nie p ; nieprawda, »e p
Warto±¢ logiczna: Negacja p jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Koniunkcja
Oznaczenia: p ^ q
Czytamy: p i q
Warto±¢ logiczna: Koniunkcja p ^ q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jednocze±nie p
i q s¡ prawdziwe.
Alternatywa
Oznaczenia: p _ q
Czytamy : p lub q
Warto±¢ logiczna: Alternatywa p _ q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe
lub q jest prawdziwe.
Implikacja
Oznaczenia: p ) q
Czytamy: Je±li p to q ; z p wynika q ; q wtedy, gdy p ; p jest warunkiem dostatecznym dla q
; q jest warunkiem koniecznym dla p
Warto±¢ logiczna: Implikacja p _ q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest fałszywe
lub p i q s¡ prawdziwe.
Równowa»no±¢
Oznaczenia: p , q
Czytamy: q jest równowa»ne q ; q wtedy i tylko wtedy, gdy p ; p jest warunkiem koniecznym
i dostatecznym dla q
Warto±¢ logiczna: Równowa»no±¢ p , q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p i q s¡
prawdziwe lub p i q s¡ fałszywe.
Kwantyfikatory
Kwantyfikator ogólny:
Dla ka»dego x , dla wszystkich x
Oznaczenia:
8 ^
x
Kwantyfikator szczegółowy:
Istnieje x
9 x
2
p
_
Uwaga: Niech p ( x ) b¦dzie funkcj¡ zdaniow¡. Wtedy 9 x p ( x ) jest zdaniem, a nie funkcj¡
zdaniow¡ zmiennej x . Mówimy, »e x jest zmienn¡ zwi¡zan¡. Np. zdanie 9 x ( x > 1) jest
prawdziwe, a zdanie ( x > 1) prawdziwe dla x = 2, fałszywe dla x = 0 .
Pewne prawa logiczne:
( p _ q ) ( p ) ^ ( q )
( p ^ q ) ( p ) _ ( q )
p ) q ( q ) ) ( p ) - dowód nie wprost
( p ) q ) p ^ ( q )
p ) q ( p ^ ( q ) ) Fałsz) - dowód przez doprowadzenie do sprzeczno±ci
Kresy
Niech A Rb¦dzie dowolnym zbiorem liczb rzeczywistych. Wtedy
Definicja: M jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbiotu A Rwtedy i tylko wtedy, gdy:
Definicja: Zbiór A Rjest ograniczony od góry (od dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
ograniczenie górne (dolne). Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony
zarówno od góry jak i od dołu.
Definicja: Elementem najwi¦kszym (maksimum) zbioru A Rnazywamy element y 2 A
b¦d¡cy ograniczeniem górnym zbioru A . Oznaczamy:
y = max A
Definicja: Elementem najmniejszym (minimum) zbioru A Rnazywamy element y 2 A
b¦d¡cy ograniczeniem dolnym zbioru A . Oznaczamy:
y = min A
Pzrykład:
min < 0 , 1 > = 0
min (0 , 1 > nie istnieje
min ( −1 , 1 > nie istnieje
Uwaga: W przykładzie 2 zbiór jest ograniczony od dołu, ale nie ma elementu najmniejszaego.
Definicja: Kresem górnym (supremum) zbioru A Rnazywamy najwi¦kszy element zbioru
ogranicze« dolnych zbioru A . Oznaczamy:
y = sup A
Definicja: Kresem dolnym (infimum) zbioru A Rnazywamy najmniejszy element zbioru
ogranicze« górnych zbioru A . Oznaczamy:
y = inf A
Przykład:
inf < 0 , 1 > = max ( −1 , 0 > = 0
inf (0 , 1 > = max ( −1 , 0 > = 0
inf ( −1 , 1 > = max ; nie istnieje
Uwaga:
3
x
8 x 2 A x ¬ M ( x ­ M )
Liczb¦ M nazywamy ograniczeniem górnym ciagu.
Je»eli nie istnieje kres górny zbioru A Rto stosuje si¦ te» oznaczenie:
sup A = 1
Je»eli nie istnieje kres dolny zbioru A Rto stosuje si¦ te» oznaczenie:
inf A = −1
Aksjomat ci¡gło±ci: Ka»dy niepusty, ograniczony od góry podzbiór zbiou liczb rzeczywi-
stych ma kres górny.
Uwaga 1: Wynika st¡d, »e ka»dy niepusty, ograniczony od dołu podzbiór zbiou liczb rze-
czywistych ma kres dolny.
Uwaga 2: Jest to bardzo wa»na własno±¢ zbioru liczb rzeczywistych. Własno±ci tej nie ma
zbiór liczb wymiernych.
Ci¡gi
4 ,... )
a n = n 2 = (1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,... )
a n = ( − 1) n n = ( − 1 , 2 , − 3 , 4 , − 5 ,... )
Definicja ci¡gu monotonicznego: Ci¡g ( a n ) n =1 nazywamy rosn¡cym (niemalej¡cym, ma-
lej¡cym, nierosn¡cym) wtedy i tytlko wtedy, gdy
8 n,m 2 N m > n = ) a m > a n ( a m ­ a n , a m < a n , a m ¬ a n )
Uwaga: Ci¡gi rosn¡ce i malej¡ce nazywamy ci¡gami monotonicznymi. Ci¡gi niemalej¡ce i
nierosn¡ce ci¡gami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: Ci¡g ( a n ) n =1 jest rosn¡cy wtedy i tylko wtedy, gdy 8 n 2 N a n +1 > a n
Uwaga: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ci¡gów: niemalej¡cych, malej¡cych i nierosn¡-
cych.
Przykład 1: Pokaza¢ , ze ci¡g a n = n
2 , 1
3 , 1
n + 2 jest rosn¡cy.
Mamy pokaza¢, ze nierówno±¢ a n +1 > a n zachodzi dla wszystkich n 2 N
n + 1
n + 2 - mno»ymy obie strony przez ( n + 2)( n + 3) > 0
( n + 1)( n + 2) > n ( n + 3)
n 2 + 3 n + 2 > n 2 + 3 n
2 > 0 - nierówno±¢ prawdziwa dla wszystkich n , wi¦c ci¡g jest rosn¡cy.
Przykład 2: Pokaza¢ , ze ci¡g a n = ( − 1) n nie jest monotoniczny
a 1 = − 1 , . a 2 = 1 , a 3 = − 1
Wida¢, »e a 2 > a 1 oraz a 3 < a 2
Z tych nierówno±ci wynika, »e ci¡g nie jest monotoniczny.
Definicja ci¡gu ograniczonego: Ci¡g ( a n ) n =1 jest ograniczony (ograniczony od góry ,
ograniczony od dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy ograniczony (od góry, od dołu) jest zbiór jego
elementów.
Przykład 1: Pokaza¢ , ze ci¡g a n = ( − 1) n jest ograniczony
( − 1) n ¬ 1 nierówno±¢ prawdziwa dla ka»dego n 2 N
( − 1) n ­− 1 nierówno±¢ prawdziwa dla ka»dego n 2 N
4
n = (1 , 1
1
Definicja ci¡gu Ci¡giem liczb rzeczywistych ( a n ) n =1 nazywamy funkcj¦ a :N ! R. War-
to±ci funkcji a oznaczamy a n .
Przykłady:
a n =
n + 3 > n
706240219.001.png
Przykład 2: Pokaza¢ , ze ci¡g a n = n nie jest ograniczony od góry
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczno±ci:
Przypu±¢my, »e ci¡g jest ograniczony od góry.
Wtedy istnieje M 2 Rtakie, »e nierówno±¢
n ¬ M zachodzi dla wszystkich n 2 N
W szczególno±ci postawiaj¡c n = 1 mamy M ­ 1
Liczba n = [ M ] + 1 ­ 2 jest liczb¡ naturaln¡. ([ M ] oznacza cz¦±¢ całkowit¡ liczby M )
A nierówno±¢ :
n ¬ M () [ M ] + 1 ¬ M jest fałszywa.
Definicja granicy ci¡gu
Mówimy, »e ci¡g ( a n ) n 2 N ma granic¦ g 2 Rwtedy i tylko wtedy, gdy:
( 8 > 0)( 9 n 0 )( 8 n ­ n 0 ) | a n − g |¬
Stosujemy oznaczenie:
lim
Pzykład: Pokaza¢, »e lim
n !1
n
n + 2
= 1
We»my dowolne > 0
Rozwi¡zujemy nierówno±¢:
| a n − g |¬
n
n + 2 − 1
¬
2
n + 2 ¬
n ­ 2
− 2
Je»eli przyjmiemy n 0 = 2
− 2 to dla n ­ n 0 zachodzi | a n − g |¬
Granica ci¡gu stałego: lim
n !1 a = a
Przykład: Pokaza¢, »e lim
n !1
n p n = 1
Musimy pokaza¢, »e : ( 8 > 0)( 9 n 0 )( 8 n ­ n 0 ) | n p n − 1 |¬
W e¹ my dowolne > 0. Chcemy, aby zachodziła nierówno±¢:
| n p n − 1 | ¬
− ¬ n p n − 1 ¬
le wa nierówno±¢ jest oczywista. Przekształcamy praw¡ nierówno±¢:
n p n ¬ 1 +
n ¬ (1 + ) n
n
1
!
+
n
2
!
n
n
!
n ¬ 1 +
2 + ··· +
n
Powy»sza nierówno±¢ b¦dzie spłeniona je±li zachodzi¢ b¦dzie:
n
2
!
n ¬
2 (zakładamy, »e n ­ 2)
n ¬ n ( n − 1)
2
2
n ­ 1 + 2
2
Wida¢, »e je±li we¹miemy n 0 = max(2 , 1 +
2 ) to dla n ­ n 0 zachodzi n p n − 1 ¬
To ko«czy dowód.
5
n !1 a n = g
Uwaga: Zamiast mówi¢, »e ci¡g ma granic¦ g mówimy te», »e ci¡g jest zbie»ny do granicy
g .
2
706240219.002.png 706240219.003.png 706240219.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin