Wyboczenie.pdf

VI. WYBOCZENIE

1. CELE ĆWICZENIA

1) Doświadczalne wyznaczenie zależności strzałki ugięcia pręta wyboczonego od wielkości

przyłożonej siły P;

2) Przedstawienie tej zależności – dla prętów wykonanych z różnych materiałów – na wykre-

sie;

3) Wyznaczenie wartości siły krytycznej P k d dla danego pręta korzystając z danych doświad-

czalnych;

4) Obliczenie modułu Younga E w oparciu o wyniki doświadczalne i porównanie tej wartości

z danymi z tablic materiałowych;

5) Obliczenie siły krytycznej P kr ze wzoru Eulera;

6) Obliczenie błędu względnego pomiaru.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Równowagaciał może być stateczna, niestateczna lub obojętna.

Równowagą stateczną nazywamy taką formę równowagi, w której ciało wychylone z położe-

nia pierwotnego z powrotem do niego powraca.

O równowadze niestatecznej mówimy wtedy, gdy ciało wychylone z położenia pierwotnego

nie powraca do tego położenia, ale przechodzi do innego.

Jeśli ciało wychylone z położenia pierwotnego pozostaje w równowadze w nowym położeniu,

to mamy do czynienia z równowagą obojętną .

- 1 -

Ilustrację powyższych sformułowań stanowią rysunki 2.1 a, b, c.

Rys. 2.1. Rodzaje równowagi ciała: a) stateczna, b) niestateczna, c) obojętna

Żadne ciało nie może pozostawać w położeniu równowagi niestatecznej; przechodzi do in-

nego możliwego położenia, które może charakteryzować się dużymi przemieszczeniami, po-

wstaniem plastycznych odkształceń, zniszczeniem układu itp. Taką formę przejścia

z jednego położenia równowagi do drugiego nazywamy utratą stateczności .

Stateczność układu może zależeć nie tylko od jego geometrycznej postaci, ale i od wielko-

ści działających sił. Jeśli np. siła obciążająca układ będzie mniejsza od pewnej charakte-

rystycznej wartości, to stateczność będzie zachowana; przy sile większej układ znajdzie się

w położeniu równowagi niestatecznej. Przejście siły przez tą szczególną wartość powoduje

zmianę równowagi układu ze statecznej na niestateczną. Tę charakterystyczną wartość siły

obciążającej określamy mianem siły krytycznej .

Obecnie w wielu konstrukcjach zasadniczymi elementami decydującymi o ich wytrzy-

małości są pręty ściskane siłami osiowymi, dlatego też zagadnienie wyboczenia pręta stanowi

ważną część obliczeń inżynierskich. Wyboczenie niekoniecznie musi prowadzić do zniszcze-

nia pręta, ale utrata stateczności najczęściej prowadzi do utraty nośności całej konstrukcji. Za-

gadnienie to jest o tyle istotne i ważne, że utrata stateczności następuje nagle, bez widocznych

objawów poprzedzających „niebezpieczny” stan konstrukcji. Dlatego przedstawienie ekspery-

mentalnego sposobu określenia siły krytycznej przy wyboczeniu sprężystym i porównanie z

wynikiem uzyskanym na drodze analitycznej (wzór Eulera) pozwala na szersze rozeznanie w

zagadnieniach stateczności prętów ściskanych.

Do badań na wyboczenie prętów prostych o stałym przekroju zastosowano metodę, której teo-

retyczne podstawy przedstawiono w punkcie 3.

- 2 -

Statyka konstrukcji jest zjawiskiem badanym od czasu poznania jej znaczenia w aspekcie

wytrzymałości i nośności konstrukcji. W analizie wytrzymałościowej konstrukcji należy

uwzględnić zagadnienie stateczności. Dotyczy to szczególnie ustrojów prętowych, dla których

w większości przypadków o nośności konstrukcji decyduje wyboczenie prętów.

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1. Jednostki i wielkości fizyczne

P Kr - siła krytyczna; [N]

Kr - naprężenie krytyczne; [MPa]

- smukłość pręta;

gr - smukłość graniczna;

i - promień bezwładności; [m]

l r - długość pręta razy

; [m]

- współczynnik zależny od sposobu podparcia (dla podparcia obustronnie przegubowego

= 1);

f 0 - strzałka ugięcia; [m]

E - współczynnik sprężystości podłużnej (moduł Younga); [MPa]

R e - granica plastyczności; [MPa]

R H - granica proporcjonalności; [MPa]

EJ - sztywność na zginanie; [Nm 2 ]

P - aktualnie działająca siła osiowa na brzegach pręta; [N]

P E - siła krytyczna dla pręta zamocowanego obustronnie przegubowo; [N]

P d Kr - siła krytyczna danego pręta; [N]

Mg - moment gnący. [Nm]

3.2. Wyboczenie prętów prostych

Wyboczeniempręta nazywamy nagłą utratę stateczności pod wpływem działania osiowych

sił ściskających. Wyboczeniem sprężystym nazywać będziemy taki przypadek utraty statecz-

ności, w którym siła krytyczna spowoduje powstanie naprężeń normalnych mniejszych od

granicy sprężystości R spr .

- 3 -

Podstawy teoretyczne sprężystego wyboczenia prętów prostych dał Euler wyprowadzając

wzór na siłę krytyczną (wyboczeniową) przy ściskaniu pręta prostego podpartego przegubowo

jak na rys. 3.2.

Rys. 3.2 Wyboczenie pręta prostego

Podstawowe równanie osi ugiętej ma postać:

E J y

⋅⋅=−

Mg x

( )

(1)

gdzie:

M() = () ()

Stąd po przekształceniach możemy zapisać:

E J

⋅ ⋅=

0 ()

Oznaczając k

E J

otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych

⋅

współczynnikach

yk y

+⋅ =

0 ()

dla którego rozwiązania poszukujemy w postaci:

yA xB x

=⋅ +⋅

cos

sin ()

Uwzględniając warunki brzegowe w postaci:

oraz

x l

(6)

otrzymujemy:

()

sin

skąd kolejno:

- 4 -

=±

dla n = 1

= =

EJ l

()

⋅

⋅⋅

()

Zależność (9) znana jest pod nazwą wzoru Eulera na siłę krytyczną .

W ogólnym przypadku podaje się zależność uwzględniającą różne sposoby podparcia:

⋅

⋅ ⋅

E J

min

()

gdzie: l l

=⋅α

n = 1, 2, 3,... – decyduje o postaci wyboczenia. Najważniejsza i najczęstsza postać jest

uzyskiwana dla n = 1.

Jeżeli chcemy wyznaczyć naprężenia krytyczne, to siłę krytyczną należy podzielić przez

przekrój. Uzyskuje się wtedy zależność:

⋅⋅

⋅

⋅⋅

min

()

skąd ostatecznie:

⋅

2 ()

gdzie:

λ =

. ()

Graficzną interpretacją wzoru (12) jest hiperbola Eulera przedstawiona na rys. 3.3.

Na rys. 3.3 przedstawiono również zakres stosowalności wzoru Eulera. Wzór ten można sto-

sować tylko w zakresie sprężystym (dla

σσ

≤

) czemu odpowiadają wartości smukłości

λλ

gr . Wartość graniczną smukłości wyznaczamy z zależności:

λπ σ

=⋅

()

W zakresie sprężysto – plastycznym (posprężystym) stosuje się przeważnie jedną z dwóch

aproksymacji:

1) prostą Tetmajera – Jasińskiego:

- 5 -

≥

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: