Twierdzenie Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy
.
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A jest macierzą nieosobliwą.
Tw. 4.2.2 (wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiąznie. Rozwiązanie to jest określone wzorem
,
gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast Aj, dla 1 £ j £ n, oznacza macierz A, w której j–tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B, tzn.
Uwaga. Równość określającą rozwiązanie układu równań liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równość ta po rozpisaniu przyjmuje postać:
, , …, ,
zwaną wzorami Cramera.
Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej)
Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem: .
Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.
Operator rzutowania ortogonalnego wektora v na wektor u definiujemy jako:
Wówczas dla układu k wektorów{v1, …, vk} proces przebiega następująco:
Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji
Otrzymany zbiór {u1, …, uk} jest zbiorem wektorów ortogonalnych.
Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:
Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.
Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni unitarnej. Jej istnienie można wykazać na bazie lematu Kuratowskiego-Zorna.
(iloczyn skalarny)
Niech będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów i określamy wzorem:
gdzie j jest miarą kąta między wektorami i
Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi i wyraża się wzorem:
Rzut prostopadły wektora na wektor wyraża się wzorem:
Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)
Niech oraz będą wektorami w R3. Wtedy
Fakt 5.2.3 (własności iloczynu skalarnego)
Niech będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech a Î R. Wtedy
wektory i są prostopadłe Û .
Uwaga. Równość podana w punkcie 3 jest prawdziwa także dla dowolnej liczby wektorów składników. Równość w nierówności 5 jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory i są równoległe.
MarekMaly