17_PROC_NIEL.pdf

(116 KB) Pobierz
E:\Tomek_P\Archiwum\skrypt_cd\17_PROC_NIEL.WPD
PROCESY NIELINIOWE
Wprowadzenie
Biologia jako nauka ścisła w coraz szerszym zakresie posługuje się matematyką w celu
opisania i wyjaśnienia szeregu zjawisk przyrodniczych. Zjawiska, z którymi mamy do czynienia w
biologi,i przeważnie charakteryzują się dużą liczbą zmiennych i opisywane są przez nieliniowe,
niecałkowalne równania różniczkowe. Nieliniowość równań różniczkowych prowadzi do szeregu
ciekawych zjawisk: równania te często generują rozwiązania chaotyczne a obecność pętli sprzężenia
zwrotnego może prowadzić do powstawania różnego typu oscylacji. Zjawiska te są uniwersalne,
spotykamy je na rożnych poziomach organizacji materii ożywionej: od reakcji biochemicznych na
poziomie cząsteczkowym, po funkcjonowanie całych ekosystemów.
Generowanie chaosu w modelach matematycznych opisujących zjawiska przyrodnicze
zostało stwierdzone już w latach sześćdziesiątych. Pierwsze doniesienia dotyczyły modeli
stosowanych w prognozowaniu pogody - Lorentz stwierdził, że niewielka zmiana parametrów
początkowych może prowadzić do dużych zmian w końcowych wynikach (efekt motyla). Wkrótce
podobne zjawisko stwierdzono w modelach ekologicznych opisujących rozwój populacji. Obecność
chaosu wykryto w bardzo wielu procesach fizjologicznych, takich jak np. praca serca lub
funkcjonowanie układu immunologicznego. Chaotyczność stwierdzono również w układzie
słonecznym – przy dokładności dokonywanych obecnie pomiarów nie można przewidzieć
trajektorii pewnych komet dalej niż na kilka najbliższych lat.
Warunkiem występowania oscylacji jest obecność w układzie pętli sprzężenia zwrotnego.
Reakcje oscylacyjne w chemii nieorganicznej są stosunkowo rzadkie (np. reakcja Biełousowa-
Żabotyńskiego), natomiast w układach biologicznych oscylacje są powszechne. Pętle
autokatalityczne są normą w licznych szlakach metabolicznych takich jak glikoliza czy cykl Krebsa.
Również w kaskadach reakcji związanych z przekazywaniem sygnału w komórkach występują
sprzężenia zwrotne odpowiedzialne między innymi za powstawanie oscylacji stężenia jonów
wapnia. Oscylacje występują także na poziomie organizmów (oscylacje w szeregu parametrów
fizjologicznych) oraz na poziomie ekosystemów.
Struktury biologiczne cechują się wysoką złożonością, stąd ich opis za pomocą prostych
pojęć geometrycznych nie jest możliwy. Znacznie lepiej do opisu skomplikowanych struktur nadają
się fraktale – geometryczne zbiory punktów charakteryzujące się samopodobieństwem w różnych
skalach wielkości oraz ułamkowym wymiarem. Z samopodobieństwem spotykamy się między
innymi w układzie krwionośnym i nerwowym, gdzie mniejsze fragmenty bardzo przypominają
cało ść . Teoria fraktali znalazła zastosowanie do analizy złożonych sygnałów biologicznych takich
jak EEG lub rytm serca. Mogą być one również wykorzystywane do diagnostyki różnych chorób
np. schizofrenii lub depresji.
Zagadnienia do opracowania.
Przygotowując seminarium należy zwrócić uwagę na następujące zagadnienia:
a.
generowanie chaosu w równaniach różniczkowych
b.
determinizm i indeterminizm
c.
matematyczny opis procesów chaotycznych
d.
przykładowe procesy chaotyczne obserwowane w przyrodzie i w fizjologii człowieka
e.
warunki występowania oscylacji chemicznych – model Lotki, Brukselator i inne modele
kinetyczne generujące oscylacje
f.
zjawiska oscylacyjne w biologii: proces grupowania się ameb, komórkowe oscylacje
wapnia – źródło i znaczenie fizjologiczne
g.
teoria sprzężonych oscylatorów, ich znaczenie biologiczne
h.
fraktale – definicja fraktala, wymiar fraktalny, przykładowe fraktale matematyczne:
krzywa Kocha, zbiory Julia i Mandelbrota; struktury fraktalne w organizmie, ich
znaczenie ewolucyjne
Podane zagadnienia nie zawsze pokrywają się z konkretnym artykułem i mogą się
przewijać przy okazji innych omawianych tematów. Wymienione punkty mogą być
równocześnie pytaniami na kolokwium kończącym zajęcia, jak i kolokwium zaliczeniowym.
Przygotowując się do seminarium należy przypomnieć sobie z poprzednich zajęć pojęcia:
przestrzeń fazowa, atraktor, struktura dyssypatywna.
Przy przygotowywaniu seminarium ważne jest opracowanie tematu poprzez wybranie
zagadnień istotnych i ciekawych tak, by całość wystąpienia nie przekraczała 20 minut. Nie jest
wskazane przedstawianie dowodów matematycznych (Literatura – B3).
Literatura
Pozycje literaturowe pogrupowano według tematów
A. Chaos
1.
J. Gleick "Chaos"
2.
L. Goldberger, D. R. Rignej B. J. West "Chaos and fractals in human physiology",
Scientific American 2, 1990
3.
A. Górski "Indeterminizm, chaos i zjawiska nieliniowe", Problemy 8, 1985
B. Oscylacje
1.
Hess B. "Periodic patterns in biochemical reactions", Q. Rev . 30, 1997, str. 121-176
2.
S. Z. Strogatz, I. Stewart "Sprzężone oscylatory biologiczne", Świat nauki 2/1994
3.
J. Szamosi S. Kristyan "Experimntal mathematic. Computational study on the limit cycle
behavior of two dimensional chemical osciator". J. Comp. Chem . 5, str. 186-189, 1984
C. Fraktale
1.
Jaśkowski P. "Zastosowanie metody dynamiki nieliniowej do analizy sygnału EEG u
człowieka" Current Topics in Biophysics , 19 (suppl.), 1995, str. 3-30
2.
Peitgen H. O. H. Jurgens D. Saupe "Granice chaosu"
3.
I. Stewart "Czy Bóg gra w kości"
4.
Szczerba D. "Fraktalne oblicze natury" Wiedza i Życie 10, 1996

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin