Całki nieoznaczone.pdf

(82 KB) Pobierz
5334098 UNPDF
Całkinieoznaczone
Definicja1.Funkcj¡pierwotn¡ funkcjif :[ a,b ] ! R wprzedzialea<x<bnazywamy
ka»d¡funkcj¦F :[ a,b ] ! R tak¡,»eF 0 ( x )= f ( x ) dlaka»degoxzprzedziałua<x<b.
Dwiefunkcjemaj¡cewdanymprzedzialesko«czon¡pochodn¡mog¡ró»ni¢si¦ostał¡.Dlate-
gote»ka»dejfunkcji f okre±lonejpowy»ejmo»naprzyporz¡dkowa¢niesko«czeniewieleró»nych
funkcjipierwotnychró»ni¡cychsi¦odsiebieostał¡.
Definicja2.Całk¡nieoznaczon¡ funkcjif,oznaczan¡symbolem
Z
f ( x ) dx,
nazywamywyra»enieF ( x )+ C,gdzieFjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif,aCoznaczadowoln¡
stał¡.Mamywi¦c Z
f ( x ) dx = F ( x )+ C () F 0 ( x )= f ( x ) .
Podstawowewzoryrachunkucałkowego:
+1 + C , 6 = − 1,kilkaszczególnychprzypadkówtegowzoru,to:
• dla =0: R dx = x + C ;
• dla = − 1 2 : R dx p x =2 p x + C , x> 0;
• dla = − 2: R dx x 2 = − 1 x + C , x 6 =0;
(2) R dx x =ln | x | + C , x 6 =0;
(3) R e x dx = e x + C ;
ln a + C , a> 0 ,a 6 =1;
(5) R cos xdx =sin x + C ;
(6) R sin xdx = − cos x + C ;
cos 2 x =tg x + C ,cos x 6 =0;
(8) R dx
sin 2 x = − ctg x + C ,sin x 6 =0;
(9) R dx
p 1 − x 2 =arcsin x + C = − arccos x + C 1 , − 1 <x< 1;
(10) R dx
1+ x 2 =arctg x + C = − arcctg x + C 1 .
1
(1) R x dx = x +1
(4) R a x dx = a x
(7) R dx
5334098.001.png 5334098.002.png
Własno±cicałeknieoznaczonych:
(1)Całkasumyrównasi¦sumiecałek(addytywno±¢całkiwzgl¦demsumypodcałkowej)tzn.
Z
Z
Z
( f ( x )+ g ( x )) dx =
f ( x ) dx +
g ( x ) dx.
(2)Stałyczynnikmo»nawynie±¢przedznakcałki,tzn.
Z
Z
kf ( x ) dx = k ·
f ( x ) dx,k 2 R ,k 6 =0 .
(3) Całkowanieprzezcz¦±ci: Je»eli u,v s¡funkcjamizmiennej x maj¡cymici¡gł¡pochodn¡,
to
Z
Z
u ( x ) v 0 ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) −
u 0 ( x ) v ( x ) dx.
(4) Całkowanieprzezpodstawienie: Je»elidla a ¬ x ¬ b , g ( x )= u jestfunkcj¡maj¡c¡
ci¡gł¡pochodn¡oraz A ¬ g ( x ) ¬ B ,afunkcja f = f ( u )jestci¡głanaprzedziale[ A,B ],
to
Z
Z
f ( g ( x )) g 0 ( x ) dx =
f ( u ) du,
przyczymposcałkowaniuprawejstronynale»ywotrzymanymwynikupodstawi¢: u =
g ( x ).
Przykład1. Korzystaj¡czwł.1-2ipowy»ejwprowadzonychwzorówmamy:
R
dx =5 R x 2 dx − 6 R xdx +3 R dx − 2 R dx x +5 R dx x 2 = 5 3 x 3 − 3 x 2 +3 x −
2ln | x |− 5 x + C
Przykład2. Korzystaj¡czewzorunacałkowanieprzezcz¦±ciobliczamy:
R xe x dx =
= xe x − R 1 · e x dx = xe x − e x + C.
Przykład3. Korzystaj¡czewzorunacałkowanieprzezpodstawienieobliczamy:
R sin 5 x cos xdx =
sin x = t
cos xdx = dt
= R t 5 dt = t 6
6 + C =
t =sin x
= 1 6 sin 6 x + C.
Wi¦cejprzykładówzrozwi¡zaniamiw:
W.Krysicki,L.Włodarski:„AnalizaMatematycznawZadaniach.Cz¦±¢I”.
2
5 x 2 − 6 x +3 − 2 x + 5 x 2
u = x v 0 = e x
u 0 =1 v = e x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin