8.Przekształcenia liniowe.pdf

(88 KB) Pobierz
116013995 UNPDF
Rozdzial 8
Przeksztalcenia liniowe
8.1 Podstawowe poj ecia i wlasnosci
NiechX jK
iY jK
b ed a dwiema przestrzeniami liniowymi nad tym samym
cialem K.
Denicja 8.1 Przeksztalcenie f :X!Ynazywamy przeksztalceniem linio-
wymXwYjesli8x;y2X8;2K zachodzi rownosc
f(x + y) = f(x) + f(y):
8.1.1 Obraz, j adro i rz ad przeksztalcenia
DlaX 1 X, zbior
f(X 1 ) :=ff(x) : x2X 1 g
nazywamy obrazem zbioruX 1 .
JesliX 1 jest podprzestrzeni aXto f(X 1 ) jest podprzestrzeni aY. Rze-
czywiscie, jesli y 1 ;y 2 2f(X 1 ) to dla pewnych x 1 ;x 2 2X 1 mamy y 1 = f(x 1 ) i
y 2 = f(x 2 ). St ad dla dowolnych 1 ; 2 2K mamy
y 1 1 + y 2 2 = f(x 1 ) 1 + f(x 2 ) 2 = f(x 1 1 + x 2 2 )2f(X 1 ):
W szczegolnosci, f(X) oraz f(f0g) =f0gs a podprzestrzeniami.
Latwo r"wniez sprawdzic, ze obrazem warstwy W(x 0 ;X 1 ))Xjest war-
stwa W(f(x 0 );f(X 1 ))Y. A wi ec bycie podprzestrzeni a, elementem zero-
wym albo warstw a s a niezmiennikami przeksztalcen liniowych.
73
74
ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE
Podobnie jak dla macierzy deniujemy obraz przeksztalcenia liniowego f
im(f) := f(X) =ff(x) : x2XgY;
jego j adro
ker(f) :=fx2X: f(x) = 0gX;
oraz rz ad
rank(f) := dim(im(f)):
Oczywiscie, j adro jest tez podprzestrzeni a.
Twierdzenie 8.1 Dla dowolnego przeksztalcenai liniowego f mamy
dim (X) = dim (im(f)) + dim (ker(f)) :
Dowod. NiechX 1 b edzie tak zdeniowane, ze
X=X 1 ker(f):
Wtedy dim(X) = dim(X 1 ) + dim(ker(f)). Pokazemy, ze dim(im(f)) =
dim(X 1 ). W tym celu zauwazmy, ze kazdy x2Xmozna jednoznacznie
przedstawic jako x = x 1 + x 0 , gdzie x 1 2X 1 i x 0 2ker(f). St ad
im(f) =ff(x 1 + x 0 ) : x 1 2X 1 ;x 0 2ker(f)g=ff(x 1 ) : x 1 2X 1 g:
Teraz wystarczy pokazac, ze dim(X 1 ) = dim(f(X 1 )). Rzeczywiscie, niech
A = [x 1 ;:::;x s ]2X 1;s
b edzie baz aX 1 (s = dim(X 1 )) oraz
B = [f(x 1 );:::;f(x s )]2Y 1;s :
Wtedy f(X 1 ) = span(f(x 1 );:::;f(x s )) oraz ukladff(x j )g j=1 jest liniowo
niezalezny. Jesli bowiem
B
~ = 0 to rowniez f(A
~ ) = 0. Poniewaz
~ = 0 i z liniowej niezaleznoscifx j g j=1 dostajemy
~ = 0. Otrzymalismy, ze B jest baz a f(X 1 ) i dim(f(X 1 )) = s = dim(X 1 ).
~ =2ker(f)nf0gto A
A
8.1. PODSTAWOWE POJ ECIA I WLASNOSCI
75
8.1.2 Przyklady
Kazda macierz A2K m;n moze byc identykowana z przeksztalceniem
liniowym f : K n !K m danym wzorem
f(x) = Ax; x2K n :
Wtedy im(f) =R(A), ker(f) =N(A) oraz rank(f) = rz(A). Twier-
dzenie 8.1 sprowadza si e w tym przypadku do wniosku 5.1.
W szczegolnosci, funkcjonaly liniowe s a przeksztalceniami liniowymi.
Wtedy A2K 1;n orazY= K.
Niech f :P 10
jR
!P 10
jR , f(p) = p 00 (druga pochodna). Wtedy ker(f) =
P 2 jR
i im(f) =P 8 jR .
Jesli zas w poprzednim przykladzie f(p) = p 0 p to im(f) =P 10
jR
oraz
ker(f) =P 0 jR =f0g.
8.1.3 Roznowartosciowosc
Twierdzenie 8.2 Na to, aby przeksztalcenie liniowe f :X!Ybylo rozno-
wartosciowe potrzeba i wystarcza, ze ker(f) =f0g.
Dowod. Jesli f jest roznowartosciowe to tylko dla x = 0 mamy f(x) = 0,
czyli ker(f) =f0g. Z drugiej strony, jesli ker(f) =f0gi f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0
to f(x 1 x 2 ) = 0, a st ad x 1 x 2 = 0 i x 1 = x 2 , co konczy dowod.
Z ostatniego twierdzenia wynika, ze jesli ker(f) =f0gto istnieje prze-
ksztalcenie \odwrotne" f 1 : im(f)!Xtakie, ze8x2Xf 1 (f(x)) = x
oraz8y2im(f) f(f 1 (y)) = y. Ponadto f 1 jest liniowe, bo jesli y 1 ;y 2 2
im(f) to deniuj ac x 1 = f 1 (y 1 ) i f 1 (y 2 ) mamy
f 1 (y 1 1 + y 2 2 ) = f 1 (f(x 1 ) 1 + f(x 2 ) 2 )
= f 1 (f(x 1 1 + x 2 2 ))
= x 1 1 + x 2 2
= f 1 (y 1 ) 1 + f 1 (y 2 ) 2 :
Mowi ac inaczej, kazde roznowartosciowe przeksztalcenie liniowe f :X!Y
ustala izomorzm pomi edzyXi swoim obrazem im(f)Y.
76
ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE
8.1.4 Przestrzen przeksztalcen liniowych
Zbior wszystkich przeksztalcen liniowych zXwYtworzy przestrzen liniow a
nad K, jesli dzialania dodawania przeksztalcen i mnozenia przez skalar zde-
niowane s a w naturalny sposob jako:
(f)(x) = f(x); (f + g)(x) = f(x) + g(x):
Przestrzen t a oznaczamy (X!Y) jK alboLin(X;Y). Oczywiscie, elementem
neutralnym (zerowym) tej przestrzeni jest przeksztalcenie zerowe, a przeciw-
nym do f jest (f).
Podobnie jak dla funkcjonalow, dla wygody b edziemy cz esto stosowac
zapis
fx := f(x); 8f2Lin(X;Y)8x2X:
Uwaga. Zauwazmy, ze wobec rownosci
(f + g)x = (fx) + (gx)
kazdy wektor x2Xmoze byc traktowany jako element przestrzeni
Lin (Lin(X;Y);Y) :
Jednak w ogolnosci nie mamy rownosci pomi edzyLin (Lin(X;Y);Y) iX.
8.2 Macierz przeksztalcenia liniowego
8.2.1 Denicja
Niech dim(X) = n, dim(Y) = m. Niech
A = [x 1 ;:::;x n ]2X 1;n ;
B = [y 1 ;:::;y m ]2Y 1;m
b ed a odpowiednio bazamiXiY. Wtedy
X=f
A
a : a2K n g; Y=f
B
b : b2K m g:
Przypomnijmy, ze B 1
jest wektorem funkcjonalow,
2
4 r 1
3
B 1
=
.
r m
5
2(Y ) m;1 ;
8.2. MACIERZ PRZEKSZTALCENIA LINIOWEGO
77
gdzie r j 2Y , 1jm, tworz a baz eY sprz ezon a do B.
Niech f :X!Yb edzie przeksztalceniem liniowym i y = fx. Przyj-
muj ac x = A
b mamy
b =
B 1 y =
B 1 (fx)
=
B 1 (f(A
a)) =
B 1 f
A
a
= Fa;
gdzie F2K m;n ,
A;
jest macierz a o wyrazach f i;j = r i (f(x j )), tzn. w j-tej kolumnie macierzy F
stoj a wspolczynniki rozwini ecia wektora f(x j ) w bazie [y 1 ;:::;y m ].
F =
B 1 f
Denicja 8.2 Macierz liczbow a F =
B 1 f
A
nazywamy macierz a prze-
ksztalcenia f :X!Yw bazach
A i B odpowiednio przestrzeniXiY.
8.2.2 IzomorzmLin(X;Y) i K m;n
Niech :Lin(X;Y)!K m;n ,
(f) = B
f
A; 8f2Lin(X;Y):
Odwzorowanie przyporz adkowuj ace przeksztalceniu liniowemu jego ma-
cierz jest liniowe (zachowuje kombinacje liniowe). Jesli bowiem (f) = F i
(g) = G to
(f + g) =
B 1 (f + g)
A
= (B 1 f
A) + (B 1 g
A)
= (f) + (g):
Ponadto, latwo sprawdzic, ze jest wzajemnie jednoznaczne i odwzorowanie
odwrotne : K m;n !Lin(X;Y) wyraza si e jest wzorem
1 (F) =
B
F
A 1 ; 8F2K m;n :
St ad jest izomorzmem a przestrzenieLin(X;Y) i K m;n s a izomorczne.
Poniewaz dla przestrzeni macierzy mamy dim(K m;n ) = mn, otrzymu-
jemy w szczegolnosci wniosek, ze
dim (Lin(X;Y)) = dim(X)dim(Y):
a i y = B

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin