3.Normy wektorów i macierzy.pdf

Rozdzial 3

Normy wektorow i macierzy

W tym rozdziale zakladamy, ze

KC:

3.1 Ogolna denicja normy

Niech : K m;n ![0; +1) b edzie przeksztalceniem spelniaj acym warunki:

(i)8A2K m;n

(ii)8A2K m;n 8u2K (uA) =juj (A),

(iii)8A;B2K m;n (A + B) (A) + (B)

(nierownosc trojk ata albo subaddytywnosc).

Kazde takie przeksztalcenie nazywamy norm a w K m;n i oznaczamy

(A) =kAk:

Norma jest miar a \wielkosci" macierzy. Dlatego

kABk

uznajemy za miar e odleglosci mi edzy macierzami A i B.

Powiemy, ze norma jest monotoniczna gdy warunekjAjjBj(tzn. gdy

ja i;j jjb i;j j8i;j) implikujekAkkBk. Jesli norma w K n;n spelnia

kABkkAkkBk; 8A;B2K n;n ;

to mowimy, ze norma jest submultiplikatywna.

(A) = 0()A = 0,

ROZDZIAL 3. NORMY WEKTOR OW I MACIERZY

3.2 Normy wektorow

3.2.1 Normy p-te

Wektory w K n s a szczegolnymi macierzami. W tym przypadku, waznymi

przykladami norm s a normy Schura, zdeniowane dla danej p, 1p1,

jako

1=p

kxk p =

jx i j p

dla 1p <1;

i=1

kxk 1 = max

1in

jx i j:

Nietrudno zauwazyc, zekxk 1 = lim p!1 kxk p ,8x2K n .

Warunki (i) i (ii) normy s a trywialnie spelnione przez normy Schura.

Warunek (iii) latwo sprawdzic dla p = 1;1. Dla p = 1 mamy bowiem

jx i + y i j n

kx + yk 1 =

jx i j+

jy i j=kxk 1 +kyk 1 ;

i=1

a dla p =1

kx + yk 1 = max

1in

jx i + y i jmax

1in

jx i j+ max

1in

jy i j=kxk 1 +kyk 1 :

(W obu przypadkach zastosowalismy nierownosc trojk ataju + vjjuj+jvj

dla liczb zespolonych u i v.) Dla innych wartosci p warunek (iii) jest duzo

trudniej pokazac. Dlatego ograniczymy si e tu jedynie do przypadku p = 2.

Lemat 3.1 (Nierownosc Schwarza)

Dla dowolnych u;v2K n mamy

ju H vjkuk 2 kvk 2 :

Dowod. Dla t2K mamy

0ku + vtk 2 = (u + vt) H (u + vt)

= u H u + ttv H v + u H vt + v H ut

=kuk 2 +jtj 2 kvk 2 +jtjju H vj

! ('+ ) + ! ('+ )

;

gdzie t =jtj! , u H v =ju H vj! ' , ! = cos 1 + {sin 1.

3.2. NORMY WEKTOR OW

Bior ac teraz =' mamy

0kuk 2 + 2jtjju H vj+jtj 2 kvk 2 ;

a bior ac = ' mamy

0kuk 2 2jtjju H vj+jtj 2 kvk 2 :

St ad dla dowolnej 2R otrzymujemy

0kuk 2 + 2ju H vj+ 2 kvk 2 :

Poniewaz prawa strona ostatniej nierownosci jest, jako funkcja , trojmianem

kwadratowym o wartosciach nieujemnych, to

0 = 4

juvj 2 kuk 2 kvk 2

;

co implikujeju H vjkuk 2 kvk 2 i konczy dowod.

Na podstawie nierownosci Schwarza mamy teraz

ku + vk 2 =kuk 2 +kvk 2 + u H v + v H u

=kuk 2 +kvk 2 + 2<(u H v)

kuk 2 +kvk 2 + 2ju H vj

kuk 2 +kvk 2 + 2kuk 2 kvk 2

= (kuk 2 +kvk 2 ) 2 ;

czyli nierownosc trojk ata dlakk 2 .

3.2.2 Pozyteczne (nie)rownosci

Nietrudno pokazac nast epuj ace nierownosci l acz ace normy p-te Schura dla

p = 1; 2;1. Mianowicie, dla kazdego u2K n mamy

kuk 1 kuk 1 nkuk 1 ;

kuk 1 kuk 2 p

nkuk 1 ;

nkuk 2 ;

kuk 2 kuk 1 p

ROZDZIAL 3. NORMY WEKTOR OW I MACIERZY

przy czym ostatnia z tych nierownosci jest konsekwencj a nierownosci Schwa-

rza,

1=2

kuk 1 =

ju i j=

ju i jj1j

ju i j 2

1 2

nkuk 2 :

i=1

nk1k 2 = nk1k 1 .

Kul a jednostkow a w K n (ze wzgl edu na norm ekk) nazywamy zbior

wektorow

K =fu2K n :kuk1g:

Z podanych powyzej nierownosci wynika w szczegolnosci, ze

K 1 K 2 K 1 ;

gdzie K p jest kul a jednostkow a w normie p-tej Schura.

Zauwazmy jeszcze, ze normy p-te s a monotoniczne oraz, ze dla dowolnej

macierzy permutacji P2K n;n i wektora x2K n

kPxk p =kxk p ;

tzn. norma p-ta wektora jest niezmiennicza ze wzgl edu na przestawienia

kolejnosci jego wspolrz ednych.

3.3 Normy macierzy

3.3.1 Normy p-te

Normy p-te macierzy s a deniowane (indukowane) przez normy p-te wek-

torow w nast epuj acy sposob:

kAk p = sup

06=x2K n

kAxk p

kxk p

= supfkAxk p : x2K n ;kxk p = 1g:

Zauwazmy, ze uzywamy tego samego oznaczenia dla norm wektora jak i ma-

cierzy. Jest to uzasadnione, gdyz norma p-ta macierzy jest uogolnieniem

Dodatkowo zauwazamy, ze nierownosci tych nie mozna poprawic. Na przy-

klad, dla pierwszego wersora e 1 mamyke 1 k p = 18p, a dla 1 = [1; 1;:::; 1]2

K n mamyk1k 1 =

3.3. NORMY MACIERZY

normy p-tej wektora. Dla A = [u 1 ;:::;u m ] T 2K m;1

i=1

= K m mamy bowiem

ju i j p ) 1=p . (Tutaj t2K!)

Wprost z denicji wynika, ze normy indukowane macierzy spelniaj a wa-

runek zgodnosci (z norm a wektorow a), tzn.

kAk p = sup jtj=1 kAtk p = (

8A2K m;n 8x2K n kAxk p kAk p kxk p :

Normy te s a rowniez submultiplikatywne,

8A2K m;l 8B2K l;n kABk p kAk p kBk p :

Rzeczywiscie, dla x2K l mamy

k(AB)xk p =kA(Bx)k p kAk p kBxk p

kAk p kBk p kxk p ;

sk ad

k(AB)xk p

kxk p

sup

x6=0

kAk p kBk p :

Dla macierzy permutacji P2K m;m i Q2K n;n mamy

kPAQ T k p =kAk p ;

co oznacza, ze przestawienie kolumn i wierszy macierzy nie zmienia jej p-

tej normy. Rzeczywiscie, poniewaz przestawienie wspolrz ednych nie zmienia

normy p-tej wektora, mamy

sup

x6=0

kPAQ T xk p

kxk p

= sup

x6=0

kAQ T xk p

kQ T xk p

kAyk p

kyk p

y6=0

3.3.2 Pozyteczne (nie)rownosci

Dla niektorych p, norm e mozna wyrazic w sposob pozwalaj acy j a latwo ob-

liczyc.

Lemat 3.2 Dla dowolnej macierzy A = (a i;j )2K m;n

(a) kAk 1 = max 1im

j=1

ja i;j j,

(b) kAk 1 = max 1jn

i=1

ja i;j j.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: