11.Przestrzenie euklidesowe.pdf

Rozdzial 11

Przestrzenie Euklidesowe

11.1 Denicja, iloczyn skalarny i norma

Denicja 11.1 Przestrzeni a Euklidesow a nazywamy par e

X jK ;'

;

gdzieX jK jest przestrzeni a liniow a nad K, a ' form a dwuliniow a (hermi-

towsk a) dodatnio okreslon a naX jK , zwan a iloczynem skalarnym.

Dla uproszczenia, b edziemy dalej pisac (x;y) zamiast '(x;y) oraz (A; B)

zamiast '(A; B).

Wlasnosci formy implikuj a nast epuj ace wlasnosci iloczynu skalarnego:

(1) (x;y 1 1 + y 2 2 ) = (x;y 1 ) 1 + (x;y 2 ) 2 8x;y 1 ;y 2 2X

8 1 ; 2 2K,

(2) (x;y) = (y;x), 8x;y2X

(3) (x;x)08x2X, oraz (x;a) = 0()x = 0.

Zdeniujmy (x) = (x;x) 1=2 , x2X. Wtedy funkcja ma nast epuj ace

wlasnosci:

(i) (x)08x2X, oraz (x) = 0()x = 0.

(ii) (x) = (x)jj8x2X82K,

(iii) (x + y)(x) + (y) 8x;y2X.

100

ROZDZIAL 11. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE

Wlasnosci (i) oraz (ii) s a oczywiste. Aby pokazac (iii) zauwazmy, ze

(x + y) 2

= (x + y;x + y) = (x;x) + (y;x) + (x;y) + (y;y)

= (x;x) + 2<(x;y) + (y;y)

oraz

((x) + (y)) 2

= ((x;x) 1=2 + (y;y) 1=2 ) 2

= (x;x) + 2(x;x) 1=2 (y;y) 1=2 + (y;y):

Wlasnosc (iii) wynika teraz z nierownosci

<(x;y)j<(x;y)jj(x;y)j(x;x) 1=2 (y;y) 1=2 ;

przy czym ostatnia z nich to nierownosc Schwarza, ktor a znamy juz z lematu

3.1. (Co prawda, wtedy rozpatrywany byl szczegolny przypadekX jK = K K

i (x;y) = y H x, ale w ogolnym przypadku dowod jest niemal identyczny.)

Wlasnosci (i)-(iii) s a ogolnymi warunkami normy w przestrzeni liniowej.

(Wczesniej, w rozdziale 3.1 podalismy te warunki dla szczegolnego przypadku

X= K m;n .) St ad kxk:= (x;x) 1=2

deniuje norm e wX jK (generowan a przez iloczyn skalarny (;)). Przypo-

mnijmy jeszcze raz nierownosc Schwarza (w przestrzeni Euklidesowej):

j(x;y)jkxkkyk 8x;y2X:

Dokladniejsze przesledzenie dowodu tej nierownosci (patrz znow dowod le-

matu 3.1) pokazuje, ze powyzej rownosc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x

i y s a liniowo zalezne.

11.2 Rzut prostopadly

11.2.1 Zadanie aproksymacji

Nast epuj ace twierdzenie rozwi azuje zadanie aproksymacji (przyblizania) ele-

mentow przestrzeniXelementami jej podprzestrzeni.

Twierdzenie 11.1 NiechYXb edzie podprzestrzeni a. Wtedy dla kazdego

x2Xistnieje dokladnie jeden x Y 2Ytaki, ze dla wszystkich y2Y

y 6= x Y =)kxx Y k<kxyk:

11.2. RZUT PROSTOPADLY

101

Dowod. Niech s = dim(Y) i

2X 1;s b edzie baz aY. Pokazemy, ze x Y

wyraza si e wzorem

x Y = Y

a ; gdzie a := (Y; Y) 1 (Y;x)2K s : (11.1)

Rzeczywiscie, jesli y2Yi y 6= x Y to y = Y

a dla pewnego a 6= a . Wtedy

kxyk 2

= (xy;xy) = ((xx Y ) + (x Y y); (xx Y ) + (x Y y))

=kxx Y k 2 + 2<(x Y y;xx Y ) +kx Y yk 2 :

Wobec tego, ze

(Y;x Y ) = (Y; Y

a ) = (Y; Y)a = (Y;x);

mamy

(x Y y;xx Y ) = (Y

(a a);xx Y ) = (a a) H (Y;xx Y ) = 0:

St ad kxyk 2

=kxx Y k 2 +kx Y yk 2 >kxx Y k 2 : (11.2)

Uwaga. Z jednoznacznosci najlepszej aproksymacji wynika, ze x Y we wzo-

rze (11.1) nie zalezy od wyboru bazy Y. Mozna to rowniez latwo sprawdzic

bezposrednio. Jesli bowiem wezmiemy inn a baz e, powiedzmy

Z, podprze-

strzeniYto Y = Z

C dla pewnej nieosobliwej macierzy C, a st ad

(Z; Z) 1 (Z;x) =

C(Y

C; Y

C) 1 (Y

C;x)

C(C H (Y; Y)C) 1 C H (Y;x)

(Y; Y) 1 (Y;x):

11.2.2 Twierdzenie o rzucie prostopadlym

Denicja 11.2 Powiemy, ze dwa elementy x i y danej przestrzeni Euklide-

sowejX jK z iloczynem skalarnym (;) s a prostopadle (albo ortogonalne), co

zapisujemy x?y, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, tzn.

x?y()(x;y) = 0:

102

ROZDZIAL 11. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE

Klad ac y = 0 w (11.2) dostajemy rownosc

kxk 2

=kx Y k 2 +kxx Y k 2 ;

ktor a odczytujemy jako (znane ze szkoly w szczegolnym przypadku) twier-

dzenie Pitagorasa.

Najlepsza aproksymacja w podprzestrzeniYma ogolniejsz a wlasnosc

zwi azan a z prostopadlosci a niz ta wynikaj aca z twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie 11.2 (o rzucie prostopadlym)

Niech x Y b edzie najlepsz a aproksymacj a elementu x2Xw podprzestrzeni

YX. Wtedy

(y;xx Y ) = 0 8y2Y (11.3)

tzn. xx Y jest prostopadly do podprzestrzeniY.

Ponadto, x Y jest jedynym elementem wYspelniaj acym (11.3).

Dowod. Wykorzystuj ac notacj e z dowodu twierdzenia 11.1, dla dowolnego

y2Ymamy

(y;xx Y ) = a H (Y;xx Y ) = a H 0 = 0:

Jesli zas y 0 =

a 0 i dla kazdego a mamy (Y

a;x

a 0 ) = 0, to

(Y;x

a 0 ) = 0, a st ad

a 0 = (Y; Y) 1 (Y;x) = a

i y 0 = x Y .

Ze wzgl edu na twierdzenie 11.2, element x Y najlepszej aproksymacji nazy-

wany jest rowniez rzutem prostopadlym (ortogonalnym) elementu x na pod-

przestrzenY.

11.3 Uklady ortogonalne

11.3.1 Macierz Grama

Denicja 11.3 Niech A = [y 1 ;y 2 ;:::;y s ]2X 1;s . Macierz

(A; A)2Herm n;n

nazywamy macierz a Grama ukladufy i g i=1 .

11.3. UKLADY ORTOGONALNE

103

Wobec rownosci

a H (A; A)a = (A

a; A

a) =k

ak 2 0

mamy natychmiast, ze macierz Grama jest zawsze nieujemnie okreslona. Po-

nadto, jest ona dodatnio okreslona wtedy i tylko wtedy gdy ukladfy i g i=1

jest liniowo niezalezny.

Jesli (A; A) = diag( 1 ;:::; s ), przy czym i = (y i ;y i ) > 08i to uklad

fy i g i=1 nazywamy ortogonalnym. Jesli ponadto (y i ;y i ) = 18i, czyli gdy

(A; A) = I s , to uklad ten nazywamy ortonormalnym.

Zalozmy teraz, ze uklad Y = [y 1 ;:::;y s ] jest liniowo niezalezny, oraz niech

Y= span(y 1 ;y 2 ;:::;y s ):

Wtedy, jak wiemy z twierdzenia 11.1, rzut prostopadly x2Xna podprze-

strzenYwyraza si e wzorem

x Y =

(Y; Y) 1 (Y;x):

Wzor ten ma szczegolnie prost a postac gdy baza Y tworzy uklad ortogonalny.

Wtedy

y i (y i ;x)

(y i ;y i ) :

Jesli zas baza tworzy uklad ortonormalny to

x Y =

i=1

x Y =

y i (y i ;x):

i=1

Z tych wzgl edow poz adane jest posiadanie baz ortogonalnych podprzestrzeni.

11.3.2 Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Okazuje si e, ze dowoln a baz e podprzestrzeni mozna stosunkowo latwo prze-

ksztalcic w baz e ortogonaln a. Sluzy temu proces zwany ortogonalizacj a

Grama-Schmidta.

Niech y 1 ;y 2 ;:::;y s b ed a liniowo niezalezne oraz

Y k := [y 1 ;:::;y k ]; Y k = span(y 1 ;:::;y s ); 1ks:

Oczywiscie dim(Y k ) = k8k oraz

Y 1 Y 2 Y s X:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: