Izdebski J - Podstawy fizyki kwantowej.Zadania.Rozwiązania.pdf - Kwantowa - tomek9298

Rozwi¡zania prostych zada« z podstaw zyki

kwantowej.

Jacek Izdebski

6 listopada 2001 roku

Zadania

1.1

Zjawisko fotoelektryczne zewn¦trzne

Progowa dªugo±¢ fali dla wybicia fotoelektronów z metalicznego sodu wynosi

5:45 10 7 m.

a. Wyznacz maksymaln¡ pr¦dko±¢ elektronów wybijanych przez ±wiatªo o

dªugo±ci fali 2 10 7 m.

b. Jakie jest napi¦cie hamuj¡ce dla fotoelektronów wybijanych z sodu

przez ±wiatªo o dªugo±ci fali 2 10 7 m?

1.2

Fale materii

Ile wynosi dªugo±¢ fali przypisana elektronowi o energii 100 eV .

1.3

Model planetarny atomu wedªug Bohra

Zaªó», »e model planetarny opisuje ruch elektronu w atomie wodoru. Je±li

promie« orbity elektronu wynosi 5:3 10 11 m oblicz:

a. Cz¦sto±¢ koªow¡ elektronu.

b. Pr¦dko±¢ liniow¡ elektronu.

c. Energi¦ kinetyczn¡ elektronu w eV . Jaka jest minimalna energia po-

trzebna do zjonizowania atomu.

1.4

Widmo wodoru

Znajd¹ dªugo±¢ fali w metrach dla pierwszych trzech linii serii Lymana dla

wodoru. W jakim obszarze widma le»¡ te linie.

1.5

Przej±cie elektronowe

Elektron w atomie wodoru przechodzi ze stanu n = 5 do stanu podstawowego

n = 1. Znajd¹ energi¦ i p¦d emitowanego fotonu.

1.6

Model Bohra

W modelu atomu wodoru Bohra orbity n = 1; 2; 3;::: s¡ oznaczone literami

K;L;M;:::. Dla elektronów na ka»dej z orbit K;L;M oblicz:

a. promieniowanie orbit

b. cz¦sto±¢ obiegu

c. pr¦dko±ci liniowe

d. momenty p¦du

e. caªkowit¡ energi¦ ukªadu

Rozwi¡zania

2.1

Zjawisko fotoelektryczne zewn¦trzne

Znaj¡c progow¡ dªugo±¢ fali na wybicie elektronu mo»emy obliczy¢ jaka jest

praca wyj±cia 1 dla sodu. Pomi¦dzy dªugo±ci¡ fali ±wiatªa a energi¡ fotonu jest

zwi¡zek:

E = h

gdzie =

T . Dªugo±¢ fali to inaczej odlegªo±¢ jak¡ pokonuje fala w czasie

jednego okresu, wi¦c dla ±wiatªa = cT. Uwzgl¦dniaj¡c powy»sze = c

E = hc

W wyj±cia = hc

graniczna

Je±li caªa energia padaj¡cego fotonu zostanie zurzyta na wybicie elektronu

to elektron b¦dzie miaª energi¦

E = h W wyj±cia

E = hc

graniczna

Oczywi±cie E jest energi¡ kinetyczn¡ elektronu wi¦c mo»na napisa¢

m e v 2

graniczna

= hc

2hc

m e

graniczna

v 2 =

t 2hc

m e

graniczna

v =

t 2hc

m e

graniczna

v =

Obliczenie napi¦cia hamuj¡cego te» nie jest problemem. Wystarczy energi¦

elektronu w d»ulach podzieli¢ przez ªadunek elektronu. Po podstawieniu

v = 1:18 10 6 m=s

E = 6:29 10 19 J

U = 3:93V

1 praca potrzebna do wybicia elektronu z powierzchni metalu

2.2

Fale materii

Dªugo±¢ fali cz¡stki materialnej poruszaj¡cej si¦ z pr¦dko±ci¡ v jest opisana

wzorem:

= h

gdzie h oznacza staª¡ Plancka (tzw. kwant dziaªania); m masa cz¡stki. Ener-

gia kinetyczna elektronu to

E = m e v 2

wi¦c

m e

v =

po podstawieniu do zale»no±ci na

p 2Em e

Energia wstawiana do powy»szego wzoru musi by¢ w J wi¦c trzeba dokona¢

zamiany 100 eV = 1001:60210 19 J. Po podstawieniu warto±ci liczbowych

dostajemy wynik

= 1:23 10 10 m

2.3

Model planetarny atomu wedªug Bohra

Oczywi±cie trzeba pami¦ta¢, »e model Bohra jest bª¦dny i nie oparty na »ad-

nych konkretnych przesªankach zycznych. W zadaniu ka»¡ nam zaªo»y¢ (nie

wiem w jakim celu), »e atom wodoru jest zbudowany tak jak to opisaª Bohr.

Wtedy rozwa»amy ruch elektronu wokóª masywnego j¡dra 2 . Pomi¦dzy elek-

tronem a protonem wyst¦puje kulombowskie oddziaªywanie przyci¡gaj¡ce

e 2

4 0 r 2

F =

Jest to jednocze±nie siªa do±rodkowa w ruchu po okr¦gu. Jak pami¦tamy z

lekcji zyki siªa do±rodkowa wyra»a si¦ wzorem

F d = v 2

r m

2 Przyjmujemy, i nie jest to wielkim bª¦dem, »e ±rodek masy ukªadu j¡dro elektron

znajduje si¦ j¡drze. Elektron ma mas¦ m e = 9:10910 31 kg natomiast proton (stanowi¡cy

j¡dro atomu wodoru) m p = 1:676 10 27 kg. Jak wida¢ jest to ró»nica czterech rz¦dów

wielko±ci.

gdzie v pr¦dko±¢ liniowa ciaªa poruszaj¡cego si¦ po okr¦gu; r promie« okr¦gu;

m masa ciaªa;

W tym zadaniu siªa do±rodkowa wygl¡da nast¦puj¡co:

F d = v 2

r m e

i jest równa sile oddziaªywania elektrostatycznego, wi¦c:

v 2

r m e =

e 2

4 0 r 2

i dostajemy pr¦dko±¢ liniow¡

e 2

4 0 rm e

v =

Cz¦sto±¢ koªow¡ uzyskamy ªatwo, gdy zauwa»ymy, »e:

v =

r =

T = !

wi¦c

e 2

4 0 rm e

Obliczenie energii kinetycznej te» nie stanowi problemu.

! =

v 2 m e

e 2

8 0 r

E k = e 2

8 0 r

Aby obliczy¢ energi¦ jonizacji trzeba zna¢ caªkowit¡ energi¦ elektronu, czyli

nie tylko energi¦ kinetyczn¡, ale i potencjaln¡. Suma tych energii daje energi¦

caªkowit¡ i dla stanów zwi¡zanych 3 jest zawsze ujemna.

Energia potencjalna ukªadu proton { elektron wyra»a si¦ wzorem

E p = e 2

4 0 r

3 Elektron i j¡dro w atomie tworz¡ stan zwi¡zany, podobnie w stanie zwi¡zanym s¡

Ziemia i Ksi¦»yc czy Ziemia i stacja orbitalna. Gdy ludzie wysyªaj¡ sondy kosmiczne poza

ukªad sªoneczny to nadaj¡ im tak¡ energi¦ aby nie tworzyªy stanów zwi¡zanych z innymi

planetami.

Izdebski J - Podstawy fizyki kwantowej.Zadania.Rozwiązania.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: