Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów.pdf

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

Wybrane zagadnienia

z Mechaniki Płynów

Wojciech Sobieski

Uniwersytet Warmi ń sko-Mazurski

Wydział Nauk Technicznych

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn

10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11.

tel.: (89) 5-23-32-40

fax: (89) 5-23-32-55

wojciech.sobieski@uwm.edu.pl

Niniejszy dokument mo Ŝ e by ć dowolnie kopiowany, udost ę pniany

rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmian ę tre ś ci

dokumentu ani na jego modyfikacje.

Olsztyn 2001

1/32

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

S P I S T R E Ś C I

1. PODSTAWOWE WIADOMO Ś CI O PŁYNACH...................................................... 3

2. PODSTAWOWE WŁA Ś CIWO Ś CI PŁYNÓW.......................................................... 6

3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY ................................................................................. 8

4. PŁYWANIE CIAŁ .................................................................................................... 10

5. PRAWO EULERA .................................................................................................... 11

6. PRAWO PASCALA .................................................................................................. 12

7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE ....................................................... 13

8. KINEMATYCZNY WARUNEK CI Ą GŁO Ś CI RUCHU PŁYNU Ś CI Ś LIWEGO W

PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15

9. RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18

10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A ................................................................... 19

11. RUCH ELEMENTU PŁYNU ................................................................................... 27

12. GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31

2/32

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

1. PODSTAWOWE WIADOMO Ś CI O PŁYNACH

Dwóm stanom materii – cieczom i gazom - mo Ŝ na przypisa ć cechy płynno ś ci i ci ą gło ś ci.

Je Ŝ eli w okre ś lonych warunkach cechy te s ą mo Ŝ liwe do zaakceptowania, to zarówno

ciecz jak i gaz b ę dziemy nazywali płynami.

Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest

zbiorowiskiem chaotycznie poruszaj ą cych si ę molekuł, pomi ę dzy ciecz ą a gazem istniej ą

jednak pewne ró Ŝ nice (rys. 1.).

Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).

Ciecz – ruch molekuł jest ruchem drgaj ą cym dookoła ś redniego poło Ŝ enia oraz ruchem

przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce „ Ŝ ycia osiadłego”

t 0 . Przyjmijmy, Ŝ e ś rednia

droga przeskoku wynosi l 0 .

Gaz – ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez mo Ŝ liwo ś ci „ Ŝ ycia osiadłego”.

W ruchu chaotycznym molekuły zderzaj ą si ę , zmieniaj ą c w ten sposób swoj ą pr ę dko ść .

Drogi pomi ę dzy kolejnymi zderzeniami s ą ró Ŝ ne – jednak ś rednia droga l 0 pomi ę dzy

kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłu Ŝ sza od ś redniej drogi przeskoku w stanie

ciekłym.

Charakterystyczne wymiary liniowe odnosz ą ce si ę do molekuł mo Ŝ na zdefiniowa ć

nast ę puj ą co:

dla stanu ciekłego

dla stanu gazowego

wymiar charakteryzuj ą cy wielko ść

molekuły

wymiar charakteryzuj ą cy wielko ść

molekuły

ś rednia odległo ść mi ę dzy molekułami

ś rednia amplituda drga ń

ś rednia droga swobodna

ś rednia droga przeskoku

Inne cechy

zachowuje kształt naczynia

nie zachowuje kształtu

mało ś ci ś liwy

bardzo ś ci ś liwy

3/32

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

Płynno ść . Gdy czas działania t siły odkształcaj ą cej jest bardzo długi w porównaniu z

czasem Ŝ ycia osiadłego t 0 , wtedy odkształcenie jest mo Ŝ liwe dzi ę ki wymuszonej przez t ę

sił ę zmianie układu molekuł w przestrzeni. Mo Ŝ na si ę spodziewa ć proporcjonalno ś ci

mi ę dzy działaj ą c ą sił ą a odkształceniem – nawet mała siła odkształcaj ą ca wywołuje

sko ń czon ą pr ę dko ść odkształcenia. Je Ŝ eli czas działania siły jest porównywalny b ą d ź te Ŝ

krótszy od Ŝ ycia osiadłego molekuł, nie zd ąŜą si ę one dostosowa ć do sił deformuj ą cych

(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły -

t 0 »

1 s – ulega

ona wówczas p ę kaniu, jak ciało stałe).

Proporcjonalno ść pomi ę dzy pr ę dko ś ci ą odkształcenia (płyni ę ciem) a sił ą odkształcaj ą c ą

jest cech ą okre ś lon ą jako płynno ść . Z powy Ŝ szego rozumowania wynika ograniczenie tej

cechy. Je Ŝ eli

>>1,

to cieczom mo Ŝ na przypisa ć cech ę płynno ś ci. Je Ŝ eli za ś

<1,

to mamy sytuacj ę podobn ą do tej, jaka panuje w ciele stałym.

Jest rzecz ą oczywist ą , Ŝ e w gazach, dla których

t 0 = 0, cecha płynno ś ci nie ulega

ograniczeniom.

Ci ą gło ść . Jest to cecha oznaczaj ą ca mo Ŝ liwo ść traktowania materii jako o ś rodka

wypełniaj ą cego przestrze ń w sposób ci ą gły. Jest to mo Ŝ liwe tylko wtedy, gdy wymiary

liniowe L ciał opływanych ciecz ą lub gazem s ą znacznie wi ę ksze od l 0 . Tak wi ę c i tu

pojawia si ę ograniczenie tej cechy. Je Ŝ eli

L >>1,

to cieczom i gazom mo Ŝ na przypisa ć cech ę ci ą gło ś ci. Je Ŝ eli za ś

L <1,

to zało Ŝ enie ci ą gło ś ci nie stanowi dobrego modelu fizycznego.

4/32

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

Poniewa Ŝ warto ść l 0 jest znacznie wi ę ksza dla gazów, mo Ŝ na oczekiwa ć naruszenia tej

cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał

porównywalnych z l 0 nie mog ą by ć rozpatrywane jako o ś rodek ci ą gły.

Liczba Knudsena . Aby oceni ć stopie ń zgodno ś ci przyj ę tego modelu płynu (ci ą gły -

nieci ą gły) wprowadzono parametr zwany liczb ą Knudsena

Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje si ę model o ś rodka ci ą głego.

Płyn doskonały (idealny) – płyn, który jest nie ś ci ś liwy, nielepki, nie ulega

rozszerzalno ś ci termicznej, nie „poddaje si ę ” rozci ą ganiu, ś ciskaniu, ś cinaniu.

Płyn rzeczywisty – powy Ŝ sze zało Ŝ enia nie obowi ą zuj ą .

Modele płynów. W zale Ŝ no ś ci od zwi ą zków pomi ę dzy pr ę dko ś ci ą deformacji a

napr ęŜ eniami stycznymi, przyjmuje si ę ró Ŝ ne modele płynów rzeczywistych:

płyn Newtona

– płyn, w którym napr ęŜ enie styczne jest proporcjonalne do

pr ę dko ś ci deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)

płyn Binghama

– płyn, w którym napr ęŜ enie styczne jest niejednorodn ą funkcj ą

deformacji (pasty, zaprawy)

płyn pseudoplastyczny – płyn, w którym napr ęŜ enie styczne maleje wraz z pr ę dko ś ci ą

deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)

płyn tiksotropowy

– płyn, w którym przy stałej pr ę dko ś ci deformacji, napr ęŜ enia

styczne malej ą w czasie (farby, lakiery)

płyn Hooke’a

– płyn, który ulega tylko odkształceniu obj ę to ś ciowemu (???)

płyn z pami ę ci ą

– ??? (farma emulsyjna)

5/32

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: