Dopełnienie matematyczne

              Granica, ciągłość i pochodna.

              Omówimy pewne szczegóły analizy matematyczne ważne dla metod numerycznych.

              Granica (jeśli istnieje)

oznacza

, że gdy , to .

              Ciągłość w punkcie

.

              Np. funkcja

nie ma granicy i nie jest ciągła w punkcie .

              Pochodna w punkcie

jeśli istnieje, to funkcja jest ciągła w tym punkcie (odwrotnie nie jest sprawiedliwe).

              Np. istnieją funkcji różniczkowalne tylko raz

.

              Wzór Taylora I.

              Jeśli i jeśli istnieje w , to dla mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange’a.

              Przy otrzymujemy wzór Maclaurina.

              Przy otrzymamy szereg Taylora (dla — szereg Maclaurina).

              Ćwiczenie. Znaleźć szeregi Taylora dla funkcji , , i .

              Np. dla przy wzór Taylora budujemy następująco.

              Pochodne

Dla mamy

oraz

.

Więc

,

gdzie

.

              Ponieważ

     i     ,

to

.

Jest to ocena błędu przybliżenia funkcji w punkcie wielomianom .

              Np. jakie powinno być , żeby dokładność obliczenia była ?

Dla mamy

,     .

Ponieważ

,     to     .

              Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej i twierdzenie Rolle’a.

                            Wzór Taylora II.

              Jeśli i jeśli istnieje w , to dla mamy

,

gdzie

jest resztą Lagrange’a w postaci całkowej.

              Wzór Taylora III.

              Jeśli i jeśli istnieje w , to dla mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange’a w tym przypadku.

              Np. podać wzór Taylora dla funkcji i obliczyć jej wartość przy , , .

              Ponieważ , to

,

albo

.

Zatem

lub

              Wzór Taylora IV.

              Jeśli , to dla mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange’a w tym przypadku.

              Np. wyznaczyć liniową część funkcji .

              Rząd zbieżności i inne.

              Program komputerowy wygenerował ciąg wyników (), który są tylko przybliżeniem dokładnego wyniku . Jeśli

, że gdy , to ,

wtedy piszemy

.

              Np. dla ciągu

.

              Np. dla ciągu

.

Ostatni ciąg wyrazów () jest zbieżny bardzo wolno do liczby niewymiernej , tak .

              Ćwiczenie. Napisz kilka pierwszych wyrazów podanych ciągów.

              Definicja. Mówimy o zbieżności logarytmicznej ciągu () do liczby jeśli

.

              Definicja. Mówimy o zbieżności nadliniowej ciągu () zbudowanego przez wzór

do liczby jeśli

.

              Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu () co najmniej liniowej do liczby jeśli

tak, że

.

              Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu () co najmniej nadliniowej do liczby jeśli

tak, że

.

              Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu () co najmniej kwadratowej do liczby jeśli

tak, że

.

              Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu () co najmniej rzędu do liczby jeśli

tak, że

.

              Symbole i .

              Definicja. Mówimy, że () jest równe „ dużemu” od () jeśli

takie, że

i piszemy

.

              Definicja. Mówimy, że () jest równe „ małemu” od () jeśli

takie, że

i piszemy

.

              Podobne definicji dotyczą funkcji.

              Np. Rozważmy

,     ;

,     ;

              Twierdzenie o wartości średniej dla całek.

              Funkcje uwikłane.

              Równanie nie zawsze da się rozwiązać względem poszukiwanej funkcji . Wtedy pierwsza pochodna może być wyznaczona w następujący sposób. Różniczka zupełną funkcji zapisuje się w postaci (, ponieważ − stała)

.

Przyrównując otrzymane wyrażenie do zera

znajdziemy

,

gdzie

.

W podobny sposób możemy też określić pochodne wyższych rzędów.

              Równania różnicowe

              Załóżmy, że zbiór złożony z ciągów nieskończonych o postaci

Określamy dwa działania

,

...