niepewnosci.pdf

(164 KB) Pobierz
Niepewności pomiarowe
Niepewności pomiarowe
Obserwacja, doświadczenie, pomiar
Obserwacja zjawisk fizycznych polega na badaniu tych zjawisk w warunkach naturalnych oraz na
analizie czynników i warunków, od których zjawiska te zależą. Warunki te mogą być zmienne, a
czynników wpływających na przebieg zjawiska może być wiele. W celu ustalenia prawa rządzącego
zjawiskiem konieczne jest zatem wykonywanie doświadczenia , czyli obserwacji zjawiska w
warunkach stworzonych sztucznie, kontrolowanych przez badacza.
(Przykład: Chcemy wyznaczyć okres drgań wahadła utworzonego z kuli zawieszonej na nitce.
Obserwujemy, że wahadło wykonane z lekkiej piłeczki wychylone z położenia równowagi wykonuje
tylko kilka wahnięć o malejącej amplitudzie, podczas gdy wahadło utworzone z pełnej kulki stalowej
o tej samej średnicy i zawieszonej na tej samej nici będzie wahać się przez czas stosunkowo długi. Z
obserwacji tej można by wyciągnąć wniosek (lecz błędny) o zależności ruchu wahadła od własności
ciała zawieszonego np. od jego masy.
Wystarczy jednak umieścić oba wahadła pod kloszem szklanym, który opróżniamy z powietrza, by
przekonać się, że czynnikiem zakłócającym ruch wahadeł był opór powietrza, po jego
wyeliminowaniu oba wahadła wykonują ruch drgający o niemalejącej amplitudzie i tym samym
okresie). Analiza czynników i warunków wpływających na przebieg obserwowanego zjawiska jest
szczególnie trudna gdy przedmiotem badań są materiały biologiczne, lub organizmy żywe.
Doświadczenia przeprowadza się w laboratorium posługując się przyrządami
skonstruowanymi w oparciu o aktualny stan wiedzy. Za pomocą przyrządów dokonuje się pomiarów
wielkości fizycznych. Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z wielkością tego samego
rodzaju przyjętą za jednostkę. Zatem liczba otrzymana jako wynik pomiaru zależy od wyboru
jednostki (przykład: pomiar długości w cm, m, ft, in itp.). Wynik pomiaru musi więc zawsze
składać się z dwóch części: wartości liczbowej oraz jednostki.
Pomiary wielkości fizycznych dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary bezpośrednie
są najprostsze – polegają wprost na porównaniu danej wielkości z odpowiednią miarą wzorcową np.
pomiar wymiarów ciała za pomocą linijki, suwmiarki, śruby mikrometrycznej itp., pomiar czasu
trwania jakiegoś procesu przy użyciu stopera, pomiar natężenia prądu amperomierzem. W przypadku
pomiarów pośrednich wartość badanej wielkości wyznaczana jest na podstawie pomiarów
bezpośrednich innych wielkości fizycznych, które są z nią związane znanym nam prawem fizycznym.
Przykład: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego, na podstawie okresu drgań wahadła
4
T
2
l
matematycznego. Jak wiadomo okres drgań wahadła opisuje wzór:
T
#
2
l
/
g
, stąd
g
#
.
2
Widzimy, że w celu wyznaczenia wartości g musimy dokonać pomiarów (bezpośrednich) okresu
drgań wahadła ( T ) oraz długości nici ( L ) . Innym przykładem jest wyznaczanie natężenia prądu
1
372489544.001.png
elektrycznego na podstawie pomiarów spadku napięcia na oporniku wzorcowym oraz prawa Ohma
R
#
U
/
.
Widzimy, że w zależności od wyboru metody pomiarowej, wartości niektórych wielkości fizycznych
mogą być wyznaczane zarówno drogą pomiarów bezpośrednich, jak i pośrednich.
Niezależnie od metody pomiarów nie możemy nigdy bezwzględnie dokładnie wyznaczyć
rzeczywistej wartości wielkości fizycznej. Różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą
wartością mierzonej wielkości nazywamy błędem pomiaru . Błędy pomiarów tradycyjnie dzielimy na
grube (omyłki), przypadkowe oraz systematyczne.
Błędy grube powstają zwykle na skutek nieuwagi lub niestaranności obserwatora przy odczytywaniu
lub zapisywaniu wyników lub w wyniku nagłej zmiany warunków pomiaru (np. wstrząsy). Jeśli mamy
serię pomiarów wyniki obarczone błędem grubym są łatwe do wykrycia i usunięcia.
Błędy systematyczne wynikają z niedoskonałości przyrządów i metod pomiarowych. Można je
redukować stosując bardziej doskonałe i precyzyjne metody i przyrządy, jednak całkowite
wyeliminowanie błędów systematycznych jest niemożliwe. Rozpoznane błędy systematyczne należy
uwzględniać poprzez wprowadzenie odpowiednich poprawek do wyniku, np. kiedy ważymy na
wadze, której wskazanie bez obciążenia wynosi m 0 zamiast 0 to m 0 jest błędem systematycznym, który
należy odjąć od wyniku ważenia, innym typowym przykładem jest poprawka na opór wewnętrzny
woltomierza przy pomiarze napięcia .
Z błędami przypadkowymi mamy do czynienia zawsze. Wynikają one z różnych przypadkowych i
nie dających się uwzględnić czynników (np. wahania temperatury, lub ruch powietrza w pobliżu
przyrządu pomiarowego, czasem wielkość mierzoną charakteryzuje naturalny rozrzut (np. aktywność
promieniotwórcza)). O istnieniu błędów przypadkowych świadczy niepowtarzalność wyników
pomiaru jednej i tej samej wielkości. Błędy przypadkowe redukuje się poprzez wielokrotne
powtarzanie pomiaru – zachodzi wówczas częściowa kompensacja przypadkowych zawyżających i
zaniżających odchyłek wyniku.
Ponieważ nigdy nie znamy rzeczywistej wartości wielkości mierzonej, więc posługiwanie się
w praktyce pojęciem błędu pomiaru nie jest wygodne. Obecnie przy opracowywaniu wyników
pomiarów należy stosować się do zaleceń Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru.
Norma ta uzgodniona w 1995 r. i przyj ęta ustawowo w Polsce w 1999 r. znajduje zastosowanie w
wielu różnych dziedzinach nauki i technologii.
Międzynarodowa Norma zaleca posługiwanie się terminem niepewność pomiarowa
zdefiniowanym jako parametr charakteryzujący wątpliwości dotyczące wartości wyniku
pomiarowego. Miarą niepewności pomiarowej jest niepewność standardowa , która może być
szacowana na 2 sposoby: typu A wykorzystujący analizę statystyczną serii pomiarów oraz typu B
oparty na naukowym osądzie obserwatora. Symbolem niepewności standardowej jest u (od ang.
uncertainty), który można zapisywać na 3 różne sposoby, np. u , u ( x ) lub u (stężenie NaCl). Zaletą tego
2
I
zapisu jest to, że informacja o wielkości mierzonej może być wyrażona słownie, co ułatwia tworzenie
dokumentacji pomiaru. Należy jednak pamiętać, że u nie jest funkcją tylko liczbą!
Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich
Przypuśćmy, że wykonaliśmy serię n pomiarów bezpośrednich wielkości fizycznej X
otrzymując wyniki X 1 , X 2 ... X n . Jeśli wyniki pomiarów nie są takie same, wówczas za najbardziej
zbliżoną do wartości prawdziwej przyjmujemy średnią arytmetyczną ze wszystkich wyników
pomiarów:
1
+ #
n
X
)
X
#
X
(1)
n
i
i
1
Stwierdzenie to jest tym bardziej słuszne im większa jest liczba przeprowadzonych pomiarów (dla
X & ). W celu określenia niepewności standardowej posługujemy się w tym wypadku
sposobem typu A, czyli korzystamy ze wzoru na odchylenie standardowe średniej
&
%
,
X
n
2
+ #
X
"
X
i
u
(
X
)
#
s
2
#
i
1
,
(2)
X
n
(
n
"
1
Jeśli natomiast wyniki pomiarów nie wykazują rozrzutu, czyli
X
1
#
X
2
#
...
#
X
n
, lub też gdy
istnieje tylko jeden wynik pomiaru, wówczas niepewność standardową szacujemy sposobem typu B.
Można np. wykorzystać informację o niepewności maksymalnej $ określonej przez producenta
przyrządu pomiarowego, jeśli nie mamy innych dodatkowych informacji, wówczas niepewność
standardową obliczamy ze wzoru
u
(
X
)
#
$
X
.
(3)
3
Dla prostych przyrządów (tj. linijka, śruba mikrometryczna czy termometr) jako $ często można
$ l 1mm dla pomiaru długości za pomocą linijki). W
wielu wypadkach eksperymentator ustala wielkość niepewności maksymalnej kierując się własnym
osądem.
Przykłady:
1. Dla pomiaru czasu za pomocą stopera przyjmuje się #
#
$ t 0,2 s, chociaż działka elementarna
dla tego przyrządu to 0.01 s. Jest to związane z czasem reakcji człowieka włączającego i
wyłączającego stoper
2. Przy pomiarze długości stołu za pomocą linijki o długości 50 cm niepewność maksymalna
będzie z pewnością większa niż 1 mm (elementarna działka przyrządu), ze względu na
konieczność kilkakrotnego przykładania miarki.
3
n
przyjąć działkę elementarną przyrządu (np.
372489544.002.png 372489544.003.png
3. W elektronicznych przyrządach cyfrowych niepewność maksymalna podawana jest przez
producenta w instrukcji obsługi i jest zwykle kilkakrotnie większa od działki elementarnej.
Najczęściej zależy ona od wielkości mierzonej X i zakresu na którym mierzymy Z :
$
X
#
c
1
X
!
c
2
Z
Gdy występują oba typy niepewności (tzn. zarówno rozrzut wyników jak i niepewność
wzorcowania) i żadna z nich nie może być zaniedbana (tzn. obie są tego samego rzędu), wówczas
niepewność standardową (całkowitą) obliczamy ze wzoru
3
$
X
2
u
(
X
)
#
s
2
!
.
(4)
X
Niepewność standardowa pomiarów pośrednich – niepewność złożona ( u c )
W przypadku pomiarów pośrednich wielkość mierzoną Y obliczamy korzystając ze związku
funkcyjnego, który można zapisać w ogólnej postaci:
Y #
f
(
X
1
,
X
2
,...,
X
k
)
, gdzie symbolami
X
1
, 2
X
,...,
X
k
oznaczamy k wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio. Zakładamy, że znane są
wyniki pomiarów tych wielkości
X
1
, 2
X
,...,
X
k
oraz ich niepewności standardowe
u
(
X
1
),
u
(
X
2
),...,
u
(
X
k
)
. Wynik (końcowy) pomiaru oblicza się wówczas ze wzoru:
Y
)
Y
#
f
(
X
1
,
X
2
,...,
X
k
)
W przypadku pomiarów pośrednich nieskorelowanych (tzn. gdy każdą z wielkości
X
1
,
X
2
,...,
X
k
mierzy się niezależnie) niepewność złożoną wielkości Y szacujemy przy pomocy przybliżonego
wzoru:
/
5
2
k
(
f
+ #
u
Y
)
#
X
,
X
,...,
X
u
2
X
.
(5)
0
6
c
(
X
1
2
k
j
j
1
1
j
7
Niepewność rozszerzona
Niepewność standardowa całkowicie i jednoznacznie określa wartość wyniku, jednak do
wnioskowania o zgodności wyniku pomiaru z innymi rezultatami (np. z wartością tabelaryczną) oraz
dla celów komercyjnych i do ustalania norm przemysłowych, zdrowia, bezpieczeństwa itp.
Międzynarodowa Norma wprowadza pojęcie niepewności rozszerzonej oznaczanej symbolem U (dla
pomiarów bezpośrednich), lub U c (dla pomiarów pośrednich). Wartość niepewności rozszerzonej
oblicza się ze wzoru
U
(
X
)
#
ku
(
X
)
lub
U
c
(
X
)
#
ku
c
(
X
)
.
(6)
4
(
372489544.004.png
Liczba k , zwana współczynnikiem rozszerzenia, jest umownie przyjętą liczbą wybraną tak, aby w
przedziale
X '
U
( X
)
znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna dla danych zastosowań.
Wartość współczynnika rozszerzenia mieści się najczęściej w przedziale 2-3. W większości
zastosowań zaleca się przyjmowanie umownej wartości
k
#
2
.
Zapis wyników pomiaru
Wyniki pomiaru zapisujemy zawsze łącznie z niepewnością i jednostką. Niepewność podajemy
zawsze z dokładnością do dwu cyfr , zaś liczbę cyfr znaczących wyniku dobieramy tak, aby o statnia
cyfra rezultatu i niepewności należały do tego samego rzędu . Dla niepewności standardowych
zalecany jest zapis z użyciem nawiasów , zaś dla niepewności rozszerzonej stosowany jest zapis z
użyciem symbolu .
Przykłady zapisu
Dobrze:
Niepewność standardowa:
m 100,0214 g,
u
( m
)
3,5 mg
m 100,0214(35) g
m 100,0214(0,0035) g
Niepewność rozszerzona:
m 100,0214 g,
U
( m
)
#
0,0070 g
m (100,0214
'
0
0070
) g
Źle:
m 100,0214 g – nie podano niepewności,
m 100,021(0,0035) g – ostatnie cyfry rezultatu i niepewności nie są tego samego rzędu,
m 100,021 g,
u
( m
)
3 mg – przy zapisie niepewności podano zbyt mało cyfr,
m 100,02147(0,00352) g - przy zapisie niepewności podano zbyt dużo cyfr.
Przykład opracowania wyników pomiaru
W celu wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego przeprowadzono pomiary czasu spadku ciała z
pewnej wysokości. Wysokość spadku h zmierzono 3-krotnie taśmą mierniczą z podziałką milimetrową
uzyskując za każdym razem wynik 1270 mm. Czas spadku t zmierzono 5 razy otrzymując następujące
wyniki (w s)
t
1
#
0
509
,
t
2
#
0
512
,
t
3
#
0
510
,
t
4
#
0
504
,
5
#
0
501
5
t . Dokładność czasomierza
wynosiła 0,001 s, zaś niepewność systematyczną związaną z wyborem chwili włączenia i wyłączenia
oszacowano na 0,01 s. Obliczyć z tych danych przyspieszenie ziemskie i jego niepewność.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin