z_B.pdf

(72 KB) Pobierz
347441960 UNPDF
WSTPDOTEORIILICZB–ZADANIA
Współczynnikidwumianowe
Zad.0 Udowodnij,u»ywaj¡cargumentówkombinatorycznych, to»samo±¢Cauchy’ego
X
r
m + k
! s
n − k
!
r + s
m + n
!
.
=
k
Sumailoczynówwspółczynnikówdwumianowychostałychgórnychwska¹nikachistałejsumie
dolnychwska¹nikówjestwspółczynnikiemdwumianowym,jakiotrzymujemyprzezzsumowanie
obugórnychiobudolnychwska¹ników.
Zad.1 Udowodnij
!
!
!
!
r
m
m
k
r
k
r − k
m − k
=
.
Zad.2 Udowodnijto»samo±¢
n X
!
!
!
k
m
n
k
n
m
2 k
=2 m 3 n − m
, m<n.
k = m
Zad.3 Udowodnijto»samo±¢
n X
k
m
! n
k
!
n
m
!
( − 1) k 2 n − k
=( − 1) m
, m<n.
k = m
Zad.4 Woparciuo(wyka»!)
n X
kx k − 1 = 1
( x − 1) 2 + nx − n − 1
( x − 1) 2 x n oraz
k =1
n X
k ( k − 1) x k − 2 = 2
( x − 1) 3 + n (1 − x ) 2 +2(1 − x )( nx − n − 1)
( x − 1) 4 x n + n ( nx − n − 1)
( x − 1) 2 x n − 1
k =2
wyka»,»edla | x | < 1zachodzi
1 X
!
k + n
n
x k = 1
(1 − x ) n +1 .
k =0
Zad.5 Wyka»
n X
l + k − 1
l
!
l + n
l +1
!
.
=
k =1
Zad.6 Równo±¢zzadania4zastosujdowyprowadzenia,araczej„udokumentowania”(nakonkretnych
warto±ciachliczbowych”wzorów
X
r + k
k
!
r
0
!
r +1
1
!
r + n
n
!
r + n +1
n
!
=
+
+ ... +
=
, (1)
k ¬ n
B-1
347441960.001.png 347441960.002.png
(sumawspółczynnikówdwumianowych,którychgórneidolnewska¹nikipozostaj¡„wstałej
odległo±ciodsiebie”)oraz
X
k
m
!
0
m
!
1
m
n
m
!
n +1
m +1
!
=
+
+ ... +
=
, m,n> 0 . (2)
0 ¬ k ¬ n
(Tutajmamysum¦współczynnikówostałymdolnymwska¹niku.)
Zad.7 Wyprowad¹wzór(1)zwzoru(2).
B-2
!

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin