Brodzik i in - Równania różniczkowe cząstkowe w zadaniach.pdf

(1213 KB) Pobierz
574095429 UNPDF
Równania rózniczkowe cz astkowe
w zadaniach
Praca zbiorowa
Opracowali:
Maciej Borodzik, Tomasz Cieslak, Piotr Mucha, Piotr Rybka, Witold Sadowski,
Paweł Strzelecki, Agnieszka Tarasi nska i Anna Zatorska–Goldstein
2/166
c Wydział MIM, Uniwersytet Warszawski, 2010.
Streszczenie, czyli czym jest i czym nie jest ten tekst
Niniejszy tekst ma charakter dosc obszernego zbioru zada n z równa n rózniczkowych cz astko-
wych. Objety materiał to wstep do (potraktowanej przez autorów w znacznej mierze narzedzio-
wo) teorii dystrybucji i przestrzeni Sobolewa oraz wybrane podstawy dwudziestowiecznych za-
stosowa n tej teorii do liniowych równa n cz astkowych. Obecne s a takze pewne elementy klasycz-
nej teorii równa n cz astkowych, np. funkcje harmoniczne czy metoda charakterystyk, wzory na
rozwi azania równania falowego w niskich wymiarach itp.
Poszczególne rozdziały zostały uzupełnione o materiał teoretyczny, który wprawdzie nie
moze zast apic pełnego wykładu (ani podrecznika), gdyz nie zawiera wiekszosci dowodów, ale
Czytelnikowi obeznanemu z analiz a matematyczn a w zakresie pierwszych dwóch lat studiów
uniwersyteckich powinien przypomniec wszystkie niezbedne pojecia i definicje, oraz pozwolic
na samodzielne rozwi azanie wiekszosci zada n.
Materiał został pomyslany jako pomoc dla słuchaczy semestralnego wykładu Równania Róz-
niczkowe Cz astkowe I, prowadzonego na Wydziale MIM. Pełny zestaw tresci, wi az acych sie z
zebranymi tu licznymi zadaniami o bardzo róznym stopniu trudnosci (ł acznie jest ich 300, nie
licz ac prostych cwicze n, do których podano rozwi azania), obejmuje z duz a nawi azk a praktycz-
nie kazdy wariant tego wykładu. Zdaniem autorów tekstu, nalezy zakładac, ze student, który
umie rozwi azac wszystkie zamieszczone nizej zadania, otrzyma ocene bardzo dobr a od kazdego
wykładowcy, niezaleznie od doboru tresci i akcentów, kładzionych w danej edycji przedmiotu.
Tresc poszczególnych rozdziałów omawiamy nieco blizej we Wstepie (patrz strona 6).
Copyright c Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2010
Niniejszy plik PDF został utworzony 21 pazdziernika 2010.
Skład w systemie PDF–L A T E X, z wykorzystaniem m.in. czesci szablonów podrecznika i prezentacji, jakie opra-
cowali i zaprojektowali Piotr Krzyzanowski i Robert D abrowski.
wersja:01a-popr1,21pa´zdziernika2010
574095429.004.png 574095429.005.png 574095429.006.png
 
Spis tresci
Wstep 6
Zawartosc kolejnych rozdziałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Autorzy poszczególnych partii tekstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Przypomnienie wiadomosci z Analizy Matematycznej 10
1.1 Całkowanie przez czesci. Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Podstawowe wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Całki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Formy rózniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Całkowanie przez czesci i formy rózniczkowe. Zadania . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Manipulacje wzorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Zasady zachowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Obliczenia całek powierzchniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Formy rózniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Funkcje harmoniczne 21
2.1 Funkcje harmoniczne. Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Funkcje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Funkcje harmoniczne i funkcje holomorficzne . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Funkcje subharmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Funkcje harmoniczne. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Laplasjan w róznych układach współrzednych . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Funkcje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Funkcje harmoniczne i funkcje holomorficzne . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.4 Funkcje subharmoniczne. Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Transformata Fouriera i jej zastosowania w równaniach cz astkowych 35
3.1 Przestrze n Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Własnosci transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Wzór Parsevala i twierdzenie Plancherela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Przykłady zastosowa n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
574095429.001.png
4/166
c Wydział MIM, Uniwersytet Warszawski, 2010.
3.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Wstep do teorii dystrybucji 43
4.1 Dystrybucje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Pochodne dystrybucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Dystrybucje temperowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Sploty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Rozwi azanie podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Rozwi azania przykładowych zada n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Przestrzenie Sobolewa 49
5.1 Słabe pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Przestrzenie Sobolewa W m;p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Przestrzenie H s () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Twierdzenia o sladzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Rozwi azania przykładowych zada n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Twierdzenia o zanurzeniu 60
6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 Twierdzenie Poincarégo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.2 Twierdzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.3 Twierdzenie Morreya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.4 Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Funkcjonały na przestrzeniach Sobolewa 72
7.1 Fizyczna motywacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Zasada Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 O pewnym funkcjonale na przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Zastosowanie w teorii równa n rózniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8 Lemat Laxa–Milgrama 78
8.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.1 Idea słabego rozwi azania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.2 Dlaczego akurat tak? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1.3 Lemat Laxa–Milgrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1.4 Nierównosci Poincarégo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2 Przykłady zagadnie n brzegowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
wersja:01a-popr1,21pa´zdziernika2010
5.3 Przestrzenie H s (R
574095429.002.png
Korzystaj. Mów, sk ad wzi ałes. c MIM UW
5/166
8.3 Zadania do samodzielnego rozwi azania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Lemat Weyla 88
9.1 Naturalne pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 Słaba zbieznosc w przestrzeniach Hilberta 93
10.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11 Metoda Galerkina 100
11.1 Przykład pierwszy: liniowe równanie eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.2 Przykład drugi: równanie ciepła z nieliniow a sił a . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12 Metoda rozdzielania zmiennych 113
12.1 Zagadnienia hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.1.1 Zagadnienia hiperboliczne: przypadek niejednorodny . . . . . . . . . . . 116
12.1.2 Zagadnienia paraboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.2 Zadania do samodzielnego rozwi azania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.2.1 Równania hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.2.2 Równania paraboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13 Zasady maksimum 121
13.1 Rozwi azania przykładowych zada n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14 Równania pierwszego rzedu i metoda charakterystyk 125
14.1 Układ charakterystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.2 Dopuszczalnosc warunków pocz atkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
14.3 Niecharakterystycznosc danych pocz atkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14.4 Rozwi azania lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
14.6 Zadania do samodzielnego rozwi azania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15 Zagadnienia hiperboliczne 145
15.1 Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.2 Hiperboliczne układy równa n pierwszego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
15.3 Równania hiperboliczne drugiego rzedu ogólniej . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.4 Zastosowanie transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15.5 Oszacowania energetyczne i jednoznacznosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
wersja:01a-popr1,21pa´zdziernika2010
574095429.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin