zadania-2.pdf

Zadaniazekonomiimatematycznej2

MichałRamsza

i=0 x n =n!Pokaza¢, »e szereg ten jest zbie»ny jed-

nostajnie na całej prostej. Pokaza¢, »e de x =dx=e x .

Zadanie2.Funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej f(x)=e x

to funkcja g(x)=ln(x). Korzystaj¡c z tego zapisa¢ funkcj¦ h(x)=

ab rx w postaci h(x)=e x z odpowiednio dobranymi warto±ciami

parametrów i .

Zadanie3.Wyprowadz¢ wzór na ci¡gł¡ kapitalizacj¦ oraz ci¡głe dys-

kontowanie. Zakładamy, »e roczna stopa (nominalna) wynosi . Jaka

jest efektywna roczna stopa przy tych zało»eniach?

Zadanie4.Jaka jest stopa wzrostu kapitału, je»eli ro±nie on zgodnie Stopa wzrostu wyra»a si¦ wzorem

dK(t)=dt =K(t):

nostajnie, todf(x)=dx= P n df n (x)=dx.

z funkcj¡ K(t)=K 0 e rt , K 0 >0?

Zadanie5.Warto±¢ dobra ro±nie w czasie zgodnie z funkcj¡

V(t)=V 0 e 2 p t :

Roczna stopa nominalna wynosi r i zakładamy, »e dyskontowanie jest

ci¡głe. Jaki jest optymalny czas sprzeda»y dobra?

Zadanie6.Niech funkcja warto±ci b¦dzie zadana pewn¡ funkcj¡ V(t) Stopa wzrostu funkcjiVw chwilitjest zdeﬁ-

niowana jako (dV(t)=dt)=V(t). Stopa wzrostu

jest malej¡ca je»eli

a roczna nominalna stopa wynosi r i zakładamy ci¡gły model dyskon-

towania.

(a) Pokaza¢, »e warunki pierwszego rz¦du na ekstremum warto±ci bie-

»¡cej A(t)sprowadzaj¡ si¦ do równo±ci r i stopy wzrostu V .

(b) Pokaza¢, »e warunki drugiego rz¦du sprowadzaj¡ si¦ do faktu, »e

stopa wzrostu V musi by¢ malej¡ca.

Zadanie7.Niech b¦dzie dany szereg czasowy dodatnich warto±ci Rozwi« funkcj¦ ln() w szereg Taylora. Zasta-

nów si¦, w okolicy jakiego punktu i dlaczego

mo»na to zrobi¢!

dV(t)=dt

V(t)

<0:

fx t g, gdzie 4x t =x t x t1 s¡ małe. Dlaczego wzory na stopy wzrostu

4x t =x t1 orazln(x t )ln(x t1 )mo»na stosowa¢ wymiennie?

Zadanie8.Niech wielko±¢ populacji ro±nie zgodnie z funkcj¡

H(t)=H 0 2 bt

a konsumpcja zgodnie z funkcj¡ C(t)=C 0 e at . Znale¹¢ stop¦ wzrostu

konsumpcji per capita.

Zadanie9.Niech dana b¦dzie funkcja f=u=v, gdzie u;v s¡ dodat-

nimi funkcjami rzeczywistymi. Pokaza¢, »e stopy wzrostu spełniaj¡

równanie r f =r u r v .

Zadanie10.Niech dana b¦dzie funkcja produkcji Q(t)=F K(t);L(t) ,

gdzie t jest czasem. Znale¹¢ stop¦ wzrostu Q w terminach stóp wzrostu

K i L.

Zadanie11.Rozwa»my ﬁrm¦ produkuj¡c¡ dwa dobra w warunkach

doskonałej konkurencji, gdzie ceny jednostkowe wynosz¡ odpowiednio

p 1 >0i p 2 >0. Koszt ﬁrmy jest zadany funkcj¡ C(q 1 ;q 2 ).

pot¦gowego e x = P 1

Zadanie1.Funkcja f(x)=e x jest zdeﬁniowana jako suma szeregu Szereg pot¦gowy jest zbie»ny jednostajnie we

wn¦trzu swojego koła zbie»no±ci. Je»elif(x) =

P n f n (x) i szereg P n f n (x) jest zbie»ny jed-

musz¡ spełnia¢ parametry a, b, c?

Zadanie12.Firma produkuje dwa dobra jako monopolista. Ceny s¡

zadane poprzez dwie odwrotne funkcje popytu p 1 (q 1 ;q 2 )i p 2 (q 1 ;q 2 ),

gdzie q 1 i q 2 s¡ produkowanymi ilo±ciami dóbr. Cena produkcji dóbr

wynosi C(q 1 ;q 2 ).

(a) Wyprowadzi¢ warunki optymalno±ci pierwszego rz¦du. Czym ró»-

ni¡ si¦ te warunki od tych uzyskanych w zadaniu 11?

(b) Rozwi¡za¢ je»eli

p 1 (q 1 ;q 2 )=Aq 1 2q 2 i p 2 (q 1 ;q 2 )=B2q 1 q 2

a koszty C s¡ zadane jak w zadaniu 11.

Zadanie13.Firma dysponuje nast¦puj¡c¡ technologi¡ produkcji do- Firma kupuje czynniki produkcji w chwili 0,

czas produkcji wynosiTi w konsekwencji wy-

produkowane dobro jest sprzedawane w chwili

0 +T. Zastanów si¦ co optymalizuje ﬁrma w

chwili podejmowania decyzji produkcyjnych!

Jakie zmienne kontroluje ﬁrma?

bra Q=Q(a;b), gdzie a i b s¡ potrzebnymi wielko±ciami czynników

produkcji. Czas produkcji wynosi T a roczna stopa nominalna r (za-

kładamy ci¡gły model dyskontowania). Firma jest price taker zarówno

na rynku czynników produkcji jak i na rynku dobra Q. Ceny czynni-

ków produkcji wynosz¡ p a i p b a cena jednostkowa dobra wynosi p.

(a) Wypisa¢ warunki optymalno±ci pierwszego rz¦du i poda¢ interpre-

tacj¦ ekonomiczn¡. Poda¢ warunki drugiego rz¦du.

(b) Rozwi¡za¢ je»eli Q(a;b)=Aa b 1 i 2(0;1).

Zadanie14.Niech b¦dzie dana funkcja f : R n ! R i ograniczenie Liniowe oszacowanie zmiany todL=dc.

g(x)c=0. Funkcja Lagrange’a mo»e zosta¢ zbudowana jako

L(x;)=f(x)+(g(x)c) lub L(x;)=f(x)(g(x)c):

zmiany parametru c, tj. zmian¦ warto±ci funkcji L x(c);(c) .

Zadanie15.Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x 1 ;x 2 )=x 1 x 2 na zbiorze

zadanym ograniczeniem x 2 1 +x 2 2 =1. Jak wygl¡daj¡ warunki drugiego

rz¦du?

Zadanie16.Niech dany b¦dzie nast¦puj¡cy problem optymalizacji:

maxx 2 y 2 z ograniczeniem x 2 +y 2 =1:

(a) Rozwi¡za¢ zadanie raz stosuj¡c podstawienie x 2 =1 y 2 a raz

y 2 =1x 2 .

(b) Czy otrzymuje si¦ te same rozwi¡zania? Czy metoda mno»ników

Lagrange’a pozwala na wyznaczenie wszystkich rozwi¡za«?

Zadanie17.Konsument jest charakteryzowany funkcj¡ u»yteczno-

±ci u(x 1 ;x 2 ), gdzie @u=@x i >0, dla i=1;2(non-satiation). Ceny

jednostkowe s¡ zadane wektorem p=(p 1 ;p 2 )2 R 2 ++ . Konsument

posiada bogactwo w.

(a) Wyprowadzi¢ warunki optymalno±ci pierwszego rz¦du i zinterpre-

towa¢.

(b) Pokaza¢, »e je»eli funkcja u»yteczno±ci u jest non-satiated to w

równowadze^x zachodzi tzw. prawo Walrasa

hp j^x(p;w)i=w:

(a) Znale¹¢ warunki wystarczaj¡ce dla istnienia maximum i poda¢

interpretacj¦ ekonomiczn¡ (tam gdzie mo»na).

(b) Rozwi¡za¢ je»eli C(q 1 ;q 2 )=aq 2 1 +bq 2 2 +2cq 1 q 2 . Jakie warunki Zwró¢ uwag¦, »e funkcja kosztów jest tutaj

form¡ kwadratow¡.

(a) Czy zmienia to rozwi¡zanie optymalne^x?

(b) Oszacowa¢ zmian¦ warto±ci funkcji L w optimum w zale»no±ci od

rz¦du zbadaj wpływ zmian bogactwa w konsumenta na jego opty-

malny wybór.

(b) Jaki wpływ b¦d¡ miały zmiany cen?

Zadanie19.Konsument jest charakteryzowany funkcj¡ u»yteczno±ci

u(x 1 ;x 2 )=Ax 1 x 1

@w x 1 ;

gdziex s 1 jest funkcj¡ popytu przy kompensacji

Słuckiego. tj.

x s 1 (p 1 ;p 2 ;x) =x(p 1 ;p 2 ;p 1 x 1 +p 2 x 2 ):

@x 1

@p 1

2 , gdzie 2(0;1). Linia bud»etowa jest zadana

równaniem hx j pi=w. Znale¹¢ optymalny wybór konsumenta.

Zadanie20.Niech dany b¦dzie zbiór zadany nast¦puj¡cym układem

równa«

M=fx 2 R 3 :x 2 1 +x 2 2 =1;x 2 1 +4x 2 2 =4g:

Znale¹¢ ekstrema funkcji f: R 3 ! R dane wzorem f(x)=kxk 2 .

Zadanie18.(a) Korzystaj¡c z warunków optymalno±ci pierwszego Równanie Słuckiego ma posta¢:

@x 1

@p 1 = @x s 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: