19. Ubezp-1.pdf

MATEMATYKA UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH

ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE

TOWARZYSTWA UBEZPIECZEŃ.

Autor

Piotr Chrzan

SPIS TREŚCI

WSTĘP

I. POLSKIE TABLICE TRWANIA ŻYCIA

1.1. PODSTAWOWE PARAMETRY TABLIC TRWANIA ŻYCIA

1.2. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA

II. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE

2.1. DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIA NA WYPADEK ŚMIERCI

2.2. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI

2.3. UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE

2.4. UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE

2.5. ODROCZONE DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIA NA WYPADEK ŚMIERCI

2.6. SUMA UBEZPIECZENIA PŁATNA W MOMECIE ŚMIERCI UBEZPIE-

CZONEGO

III. RENTY ŻYCIOWE

3.1. RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST

3.2. RENTA ŻYCIOWA TERMINOWA PŁATNA PRZEZ N LAT

3.3. ODROCZONA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA

3.4. SKŁADKA PŁATNA ROCZNIE

IV. ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE TOWA-

RZYSTWA UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE

4.1. ANALIZA SKŁADKI DOŻYWOTNIEGO UBEZPIECZENIA NA WYPADEK

ŚMIERCI

4.2. ANALIZA SKŁADKI TERMINOWEGO UBEZPIECZENIA NA WYPADEK

ŚMIERCI

4.3. ANALIZA SKŁADKI UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE I DOŻYCIE

4.4. ZAKOŃCZENIE

LITERATURA

DODATEK A - RENTY PEWNE

DODATEK B - TABLICE FUNKCJI KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ

DODATEK C - TABLICE LICZB KOMUTACYJNYCH

WSTĘP

Od trzech lat można zauważyć wśród Polaków wzrost zainteresowania ubezpiecze-

niami na życie. Obecnie na polskim rynku działa 21 firm ubezpieczeń życiowych. Firmy

te z roku na rok odnotowują znaczny wzrost dochodów z tytułu sprzedaży polis ubezpie-

czeniowych. Eksperci przewidują, że do końca 1999 roku w Polsce działać będzie ponad

50 firm ubezpieczeń na życie.

Wzrastająca liczba firm ubezpieczeniowych oraz wzrastająca liczba oferowanych

przez te firmy produktów powoduje wzrost zapotrzebowania na wiedzę, która pozwoli

indywidualnemu lub zespołowemu decydentowi wybrać w "optymalny" sposób rodzaj

ubezpieczenia oraz oferującą go firmę.

Na przeciw tym zapotrzebowaniom wychodzi niniejsze opracowanie, w którym

przedstawiono podstawowe metody wyznaczania wysokości składek ubezpieczeniowych.

W rozdziale pierwszym przedstawiono najważniejsze informacje zawarte w Pol-

skich Tablicach Trwania Życia oraz podano przykłady rozkładów prawdopodobieństwa

dalszego trwania życia.

Teoretyczne podstawy wyznaczania wysokości jednorazowych składek dla najważ-

niejszych rodzajów ubezpieczeń życiowych przedstawiono w rozdziale drugim. Rozważa-

nia teoretyczne poparto przykładami.

W rozdziale trzecim przedstawiono zasady wyznaczania wartości początkowej rent

życiowych oraz składek rocznych ubezpieczeń życiowych.

Rozdział czwarty ma charakter opracowania typu "Analiza Przypadków" (Case Stu-

dy). W rozdziale tym, na podstawie rozważań teoretycznych przedstawionych w rozdziale

drugim i trzecim, przeprowadzono analizę składek pobieranych przez towarzystwa ubez-

pieczeń: Powszechny Zakład Ubezpieczeń na Życie - PZU Życie S.A., Pierwsze Amery-

kańsko-Polskie Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie i Reasekuracji - Amplico Life S.A.,

Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie (Polska) - Commercial Union S.A. , Towarzystwo

Ubezpieczeń na Życie -Warta Vita S.A.

Niniejsza praca powinna zainteresować agentów i doradców ubezpieczeniowych,

którzy chcieliby zrozumieć zasady wyznaczania cen na produkty, które oferują klientom

oraz studentów akademii ekonomicznych, którzy chcieliby w przyszłości pracować w fir-

mach ubezpieczeniowych

I. POLSKIE TABLICE TRWANIA ŻYCIA

Pierwsze przedwojenne "Polskie Tablice Trwania Życia" 1 opracował Główny Urząd

Statystyczny na podstawie danych o liczbie zgonów zarejestrowanych w latach 1952-1953.

Od tego czasu w odstępach pięcioletnich publikowane są tablice tego typu. Ostatnie tablice

zostały opracowane na podstawie danych z lat 1990-1991 i opublikowane w 1993 roku.

Polskie Tablice Trwania Życia są niezbędnym narzędziem pracy demografów , socjologów

i aktuariuszy. pozwalają one na dokonywanie różnego typu analiz dotyczących umieralno-

ści i zdrowotności społeczeństwa oraz na sporządzanie prognoz demograficznych.

Wszystkie obliczenia w niniejszym opracowaniu przeprowadzono na podstawie Pol-

skich Tablic Trwania Życia 1990-1991 2 . W pierwszym rozdziale opracowania przedsta-

wiono najważniejsze informacje zawarte w tych tablicach oraz podano przykłady ilustrują-

ce rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych opisujących dalsze trwanie życia.

1 Zasępa R.,Polskie Tablice Wymieralności 1952-1953; Przegląd Statystyczny 4/1956

2 Mijakowska Jadwiga,Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991, GUS Warszawa 1993

1.1. PODSTAWOWE PARAMETRY TABLIC TRWANIA ŻYCIA

Przedmiotem badań aktuariuszy są między innymi zmiany w czasie liczebności wy-

branych populacji losowych. Celem tych badań jest określenie liczby jednostek opuszcza-

jących daną populację. Fakt opuszczenia populacji może być interpretowany jako śmierć

danej jednostki . Jeżeli przez X oznaczymy zmienną losową wyznaczającą czas życia ele-

mentu populacji (czas bycia elementem populacji ) mierzonych w pełnych jednostkach

czasu (np. lata, półrocza, kwartały, miesiące), to gromadząc odpowiedni materiał staty-

styczny można w sposób empiryczny (statystyczny) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej

X. Rozkład ten można wyznaczyć na wiele sposobów, w praktyce aktuarialnej preferuje

się jednak podejście, które pozwala określić rozkład prawdopodobieństwa czasu trwania

życia (element populacji) przez podanie pewnych prawdopodobieństw warunkowych.

Niech

x =

Pr (

ob Xx

< + ≥

)

(1.1)

gdzie: X - zmienna losowa określająca czas trwania życia elementu populacji

x - wiek elementu populacji

x= 0,1,2 .... w

Prawdopodobieństwa q x są prawdopodobieństwami zdarzeń, że element populacji, który

dożył wieku x nie przeżyje całego kolejnego okresu (np.roku), tzn. nie osiągnie wieku x+1.

Z prawdopodobieństw q x można bezpośrednio uzyskać inne ważne prawdopodobień-

stwa

p x = 1- q x

(1.2)

gdzie: p x - prawdopodobieństwo, że element, który dożył wieku x osiągnie wiek x+1 (prze-

żyje jeszcze co najmniej jeden okres(rok)).

Prawdopodobieństwa q x , p x pozwalają z kolei wyznaczyć prawdopodobieństwa

Pr (

ob Xn Xx

+ ≥

)

(1.3)

−

∏

ppp p

...

⋅

x x

+ + −

(1.4)

1 pp

p - prawdopodobieństwo zdarzenia, że element w wieku x przeżyje jeszcze co najmniej

n okresów (lat), to znaczy dożyje wieku x+n

=⋅

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: