11. Renty pewne-cz2.pdf

(238 KB) Pobierz
WYKŁAD 1
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
3.2. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG
ARYTMETYCZNY
1 , R 2 , . . . , R n - kolejne raty renty
{R j } – ciąg arytmetyczny
R j = R 1 +(j-1)b
(51)
gdzie:
R j – j-ta rata renty,
R 1 – pierwsza rata,
b – różnica ciągu arytmetycznego rat.
Założenia: a) R j = R 1 + (j–1)b dla j = 2,. . . , n
b) renta zgodna płatna z dołu
Wartość początkowa renty arytmetycznej
v=(1+i) -1 – czynnik dyskontujący
R (0) = R 1 v+R 2 v 2 +R 3 v 3 + ... +R n v n
Po podstawieniu do (51)
R (0) = R 1 v+ (R 1 + b)v 2 + (R 1 +2b)v 3 + ...+ (R 1 +(n-1)b)v n
(52)
(1+i)R (0) =R 1 +(R 1 + b)v+ (R 1 +2b)v 2 + ...+ (R 1 +(n-1)b)v n-1 (53)
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
28
190912334.004.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Ode jmując (52) od (53) otrzymujemy
iR (0) = R 1 + b(v + v 2 + v 3 + ...+ v n-1 ) – R 1 v n – (n–1)bv n
iR (0) = R 1 (1– v n ) + b(v +v 2 + v 3 + ...+v n-1 ) – nbv n
iR (0) = R 1 (1– v n ) + b
a - nbv n
n
|
⎡ −
1
v
n
⎤
⎡
a
−
nv
n
⎤
(
0
)
n
R
=
R
+
b
⎢
⎣
⎥
⎦
⎣
⎦
1
i
i
⎢
⎥
⎡
a
−
nv
n
⎤
(
0
)
n
R
=
R
a
+
b
⎢
⎣
⎥
⎦
(54)
1
n
i
⎢
⎥
Wartość końcowa renty arytmetycznej
(n) = R (0) (1+i) n
R
(
n
)
=
R
s
+
b
⎡ −
s
n
n
⎦
(55)
1
n
i
Przykład 7.
Obliczyć wartość rat leasingowych tworzących ciąg arytme-
tyczny, jeżeli:
- wartość początkowa rat R (0) = 3000zł
- pierwsza rata R 1 = 500zł
- roczna stopa procentowa i=0,2 (20%)
- okres dzierżawy 10 lat
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
29
⎣
⎤
190912334.005.png 190912334.006.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
R (0) = 3000zł; R 1 = 500zł;
a
10
⏐
0
,
2
=4,1925
10 = (1+0,2) -10 = 0,1615; n=10; i=0,2
Podstawiając do równania (54) mamy:
300
=
500
⋅
4
1925
+
b
⎝
4
1925
−
10
⋅
0
1615
⎠
0
2
b = 70,13
R 1 = 500zł; R 2 = 570,13zł R 3 = 640,26, ... R 10 = 1131,17zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna
n = E(1+i) n – R (n)
Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna
E
=
E
(
+
i
)
n
−
R
s
−
b
⎡ −
s
n
n
⎦
(56)
n
1
n
i
Przykład 8
Jaki fundusz emerytalny należy zgromadzić aby zapewnić so-
bie wypłacanie renty rocznej płatnej z dołu w wysokości 1; 1,2;
1,4; ... 3,8 tys. zł przez 15 lat. Roczna stopa procentowa i=0,2
(1+0,2) 15 = 15,407;
15
⏐
0
,
2
=
72
,
0351
; i=0,2; n=15; R 1 = 1
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
30
⎛
⎞
⎣
⎤
s
190912334.007.png 190912334.001.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
0
=
E
⋅
15
,
407
−
1
⋅
72
,
0351
−
0
2
⎝
72
,
0351
−
15
⎠
0
2
E ≈ 8377,37
☺☺☺☺☺☺☺☺
Renta arytmetyczna rosnąca
R 1 = 1; b = 1
R 1 = 1; R 2 = 2; R 3 = 3; ... R n = n
Wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej
a
−
nv
n
n
(
Ia
)
=
a
+
;
-I
increase
(57)
n
n
i
= &
a
−
nv
n
n
(
Ia
)
(58)
n
i
gdzie:
(
Ia
)
n
- wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej
Wartość końcowa renty arytmetycznej rosnącej
(
Is
)
=
s
+
s
n
−
n
(59)
n
n
i
(
Is
)
= &
s
n
−
n
(60)
n
i
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
31
⎛
⎞
190912334.002.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 9.
Obliczyć wartość początkową i końcową renty arytmetycznej
rosnącej płatnej z dołu przez 10 okresów bazowych i oprocen-
towanej na 20%.
a
10
⏐
0
,
2
=4,1925;
s
10
⏐
0
,
2
=
25
,
9587
; (1+0,2) -10 = 0,1615
(
Ia
)
=
4
1925
+
4
1925
−
10
⋅
0
1615
≈
17
,
08
10
⏐
0
,
2
0
2
(
Is
)
=
25
,
9587
+
25
,
9587
−
10
≈
79
,
79
10
⏐
0
,
2
0
2
☺☺☺☺☺☺☺☺
Renta arytmetyczna malejąca
R 1 = 1; b = –1
R 1 = n; R 2 = n–1; R 3 = n–2; ... R n = 1
Wartość początkowa renty arytmetycznej malejącej
a
−
nv
n
n
(
Da
)
=
na
+
(
−
1
;
-D
dicrease
(61)
n
n
i
(
Da
)
=
n
−
a
n
(62)
n
i
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
32
190912334.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin