Ostatnie równanie dowodzi, że:
(8.75)
Podstawiamy wyrażenie na z (8.75) do (8.73) i otrzymujemy równanie dla funkcji
Zatem
,
gdzie A i B są dowolnymi stałymi. Jeżeli dla ustalonego y, to i
Jeżeli dla ustalonego t, to oraz:
Stąd wynika, że dla ustalonej wartości y prędkość dąży do V, gdy , tzn. w miarę upływu czasu ścianka nadaje danej cząstce cieczy prędkość
Przykład 8.7. Należy wykazać występowanie paradoksu Stokesa, uniemożliwiającego konstruowanie przepływów pełzających w płaskich obszarach nieograniczonych, rozważając zagadnienie opływu cylindra o promieniu R jednorodnym strumieniem stacjonarnym cieczy lepkiej (rys. 8.12).
Do rozwiązania zagadnienia użyjemy równania Stokesa ruchu cieczy lepkiej w układzie współrzędnych cylindrycznych. Wprowadzając funkcję prądu, spełniającą równanie ciągłości, określoną związkami:
Rys. 8.12
możemy zapisać równanie Stokesa w postaci równania biharmonicznego
(8.76)
Do rozwiązania równania (8.76) zastosujemy metodę rozdzielenia zmiennych przyjmując
Po podstawieniu będziemy mieli:
Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego
ma postać
.
Powrót do funkcji f daje równanie różniczkowe
i następnie otrzymujemy:
Wracając do funkcji prądu i wyrażeń dla składowych wektora prędkości uzyskujemy:
gdzie wartości stałych całkowania A, B, C są wyznaczane z warunków brzegowych.
W nieskończenie wielkiej odległości od cylindra funkcja prądu powinna być równa funkcji prądu dla opływu cylindra cieczą doskonałą, co wymaga spełnienia warunku
Z tego warunku wynika, że powinny znikać stałe A i B oraz należy przyjąć: C = U. Jedyna pozostała stała D nie może jednak spełniać równocześnie dwóch warunków znikania na okręgu składowych i wektora prędkości
Przykład 8.8. Kula o promieniu a, umieszczona w nieograniczonej przestrzeni wypełnionej cieczą lepką , obraca się z prędkością kątową wokół osi z. Zbadać ruch cieczy wywołany obrotem kuli, jeżeli obrót kuli jest powolny (w małe).
Jako prędkość charakterystyczną ruchu możemy przyjąć prędkość punktów równika kuli równą wtedy liczba Reynoldsa
Ponieważ prędkość kątowa jest mała, więc liczba Reynoldsa też będzie mała. Na mocy tego założenia w równaniach ruchu, zapisanych w układzie współrzędnych sferycznych możemy odrzucić ich lewe strony. Tak otrzymane równania ruchu będą spełnione, jeżeli przyjmiemy, że prędkość będzie zależeć tylko od r i q
i powinna spełniać równanie
(8.77)
Na powierzchni kuli cząstki cieczy powinny poruszać się z tą samą prędkością liniową jaką mają punkty kuli, stąd mamy warunek graniczny
(8.78)
Na mocy warunku (8.78) będziemy poszukiwać rozwiązania równania (8.77) w po-staci
(8.79)
Po podstawieniu (8.79) do (8.77) uzyskujemy równanie różniczkowe Eulera
którego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja
Stałe całkowania , wyznaczamy z warunków brzegowych. Otóż, dla powinno być V = 0, stąd Z warunku (8.83) znajdziemy, że więc
Obliczymy jeszcze wielkość momentu konieczną do podtrzymania ruchu kuli. Naprężenia styczne (sił tarcia) na powierzchni kuli:
i moment sił tarcia
Moment potrzebny do utrzymania ruchu jest więc równy:
Przykład 8.9. Dwie okrągłe płaskie równoległe płytki o promieniu R każda, znajdując się w niewielkiej odległości jedna nad drugą, zbliżają się jednostajnie do siebie. Określić ruch warstwy cieczy zawartej między płytkami oraz wyznaczyć siły oporu działające na każdą z płytek.
Rys. 8.13
Wprowadzając założenia upraszczające, analogiczne do założeń przyjętych w rozdziale 8.6, układ równań (8.38), zapisany (rys. 8.13a) we współrzędnych walcowych dla składowych wektora prędkości:
zredukuje się do postaci:
Ze względności ruchu wynikają warunki brzegowe:
u = w = 0 dla z = 0 ,
u = 0, w = - U dla z = h ,
dla r = R ;
tutaj U jest prędkością górnej płytki (dolną uważamy za nieruchomą), h jest grubością warstwy
Całkując równanie ruchu względem z (tj. w poprzek warstwy) i uwzględniając warunki brzegowe znajdziemy:
(8.80)
Po podstawieniu pierwszego z tych równań do drugiego
(8.81)
Zakładając z = 0 w górnej granicy całkowania, po wykonaniu działań otrzymamy
a po rozwiązaniu i uwzględnieniu warunku brzegowego znajdziemy
(8.82)
Siła oporu działająca na każdą z płytek równa się
Uwzględniając zależność (8.82) we wzorach (8.80) i (8.81) wyznaczamy składowe ektora prędkości:
*
Rozważane zagadnienie można również rozwiązać posługując się układem równań (8.38), zapisanych w układzie współrzędnych prostokątnych (rys. 8.13b):
dla składowych wektora prędkości:
Warunki brzegowe mają postać:
dla
Całkując równania ruchu względem z i uwzględniając sformułowane warunki brzegowe znajdziemy:
Po podstawieniu dwóch pierwszych równań do trzeciego mamy
Założenie z = 0 w górnej granicy całkowania prowadzi do równania Poissona dla ciśnienia
Poszukując rozwiązania tego równania w postaci funkcji
...
lukasz938