lista14.pdf

(179 KB) Pobierz
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna A2, 2009/10
Zadanie domowe do 17 maja 2010 - zajrzyj na stron¦ wykładu
Konwersatorium 12.05.2010 (zad. 862-867)
Kolokwium nr 11, 19.05.2010 (do zad. 867)
Konwersatorium 19.05.2010 (zad. 883-888)
wiczenia 20.05.2010 (zad. 868-882)
Kolokwium nr 12, 26.05.2010 (do zad. 888)
wiczenia 27.05.2010 (zad. 889-902)
Konwersatorium 26.05.2010 (zad. 903-906)
wiczenia 2.06.2010 (zad. 907-916)
Kolokwium nr 13, 9.06.2010 (do zad. 916)
W ±rod¦ 2.06.2010 odb¦d¡ si¦ zaj¦cia czwartkowe !!!
8. Pochodne i całki - powtórzenie, uzupełnienie.
862. Czy dla dowolnej funkcji f : R ! R maj¡cej ci¡gł¡ pochodn¡ rz¦du pierwsze-
go i takiej, »e f (0) = 0, prawdziwa jest podana implikacja (zmienna x przebiega liczby
rzeczywiste spełniaj¡ce nierówno±¢ podan¡ pod kwantyfikatorem)
x> 0 f 0 ( x ) > 0
a)
x> 0 f ( x ) > 0
)
x> 0 f 0 ( x ) > 0
b)
)
x> 0 f ( x ) > 0
x< 0 f 0 ( x ) > 0
c)
x< 0 f ( x ) > 0
)
x< 0 f 0 ( x ) < 0
d)
x< 0 f ( x ) > 0
)
x< 0 f 0 ( x ) > 0
e)
x< 0 f ( x ) > 0
)
x< 0 f 0 ( x ) > 0
f)
)
x< 0 f ( x ) < 0
x> 0 f 0 ( x ) 6 = 0
g)
x> 0 f ( x ) 6 = 0
)
x> 0 f 0 ( x ) 6 = 0
h)
)
x> 0 f ( x ) 6 = 0
x> 0 f 0 ( x ) = 0
i)
x> 0 f ( x ) = 0
)
x> 0 f 0 ( x ) = 0
j)
)
x> 0 f ( x ) = 0
x> 0 f 0 ( x ) = 0
k)
x> 0 f ( x ) = 0
)
x> 0 f 0 ( x ) = 0
l)
)
x> 0 f ( x ) = 0
x> 0 f 0 ( x ) > 0
m)
x> 0 f ( x ) > 0
)
x> 0 f 0 ( x ) > 0
n)
)
x> 0 f ( x ) > 0
Lista 14
- 60 -
Strony 60-71
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna A2, 2009/10
863. Czy funkcja f ( x ) = a ·| x | + b · sin | x | + c · cos | x | jest ró»niczkowalna w zerze, je»eli
a) a = 1, b = 1, c = 1
b) a = − 1, b = 1, c = 1
c) a = 1, b = − 1, c = 1
d) a = 1, b = 1, c = − 1
864. Czy prawdziwa jest nierówno±¢
Z
2 x dx> 10
a)
2
Z
2 x dx> 10
b)
− 10
Z
2 x dx> 10
c)
0
Z
2 x dx> 10
d)
4
865. Czy podana całka ma warto±¢ dodatni¡?
Z
p
x 2 ·
a)
x 8 + 1 dx
− 1
Z
p
x 3 ·
b)
x 8 + 1 dx
− 2
Z
p
x 5 ·
c)
x 8 + 1 dx
− 1
Z
x 7 · p x 8 + 1 dx
d)
− 2
866. Obliczy¢ warto±¢ całki
/ 3
Z
cos 5 xdx.
0
867. Obliczy¢ całk¦ nieoznaczon¡ Z
e x + 1
e 3 x + e x dx.
Lista 14
- 61 -
Strony 60-71
1010096082.017.png 1010096082.018.png 1010096082.019.png 1010096082.020.png
 
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna A2, 2009/10
868. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ liczb¦ całkowit¡ dodatni¡ n , dla której istnieje taka liczba
rzeczywista A , »e funkcja
8
<
e − x − 1 + ln( x + 1)
x n
dla x 6 = 0
f ( x ) =
:
A dla x = 0
jest ró»niczkowalna w zerze i obliczy¢ f 0 (0) dla tych warto±ci n i A .
869. Wyznaczy¢ kresy zbioru
8
<
9
=
Z
x 2 − adx : a 2 (0 , 3)
A =
:
;
0
i okre±li¢, czy nale»¡ one do zbioru A .
870. Funkcja f : R ! R ma ci¡gł¡ pochodn¡ rz¦du pierwszego na całej prostej. Wia-
domo, »e f (0) = 0, f (7) = 12, a ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi
nierówno±¢
1 <f 0 ( x ) < 2 .
Dowie±¢, »e wówczas zachodzi nierówno±¢
| f (4) − ......... | < 1 .
W miejsce kropek nale»y wpisa¢ konkretn¡ liczb¦ rzeczywist¡ (niezale»n¡ od f !!!).
871. Rozstrzygn¡¢ zbie»no±¢ całki niewła±ciwej
Z
x p + 1
p x 5 + x dx
w zale»no±ci od parametru rzeczywistego dodatniego p .
0
872. Funkcja f : R ! R ma ci¡gł¡ pochodn¡ rz¦du pierwszego na całej prostej. Wia-
domo, »e f (0) = 0, f (5) = 9, a ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi
f 0 ( x ) 6 = 3 .
Dowie±¢, »e wówczas zachodzi nierówno±¢
| f (3) − ......... | < 3 .
W miejsce kropek nale»y wpisa¢ konkretn¡ liczb¦ rzeczywist¡ (niezale»n¡ od f !!!).
873. Czy podana całka niewła±ciwa jest zbie»na
Lista 14
- 62 -
Strony 60-71
1010096082.001.png
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna A2, 2009/10
Z
x + 1
x 2 + 2 dx
a)
1
Z
x + 1
x 3 + 2 dx
b)
1
Z
x + 1
x 2 + p x dx
c)
0
Z
x 2 + 1
x 2 + p x dx
d)
0
Z
x 2 + 1
x 3 + p x dx
e)
0
Z
x 2 + 1
x 4 + p x dx
f)
0
Z
x 2 + 1
x 4 + x dx
g)
0
874. Czy prawdziwa jest nierówno±¢
Z
dx
log 2 x < 1
a)
2
Z
dx
log 2 x < 2
b)
2
Z
dx
log 2 x < 2
c)
4
Z
dx
log 2 x < 3
d)
4
Z
30
dx
log 2 x < 3
e)
20
30
Z
dx
log 2 x < 4
f)
20
Z
63
dx
log 2 x < 4
g)
33
Z
63
dx
log 2 x < 5
h)
33
Lista 14
- 63 -
Strony 60-71
1010096082.002.png 1010096082.003.png 1010096082.004.png 1010096082.005.png 1010096082.006.png 1010096082.007.png 1010096082.008.png 1010096082.009.png 1010096082.010.png 1010096082.011.png 1010096082.012.png 1010096082.013.png 1010096082.014.png
 
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna A2, 2009/10
875. Obliczy¢ warto±¢ całki
Z
2 x − 7
4 x 2 + 17 x + 4 dx.
2
876. Obliczy¢ warto±¢ granicy
!
n
3 n 2 + ( n + 1) 2 +
n
3 n 2 + ( n + 2) 2 +
n
3 n 2 + ( n + 3) 2 +
n
3 n 2 + ( n + 4) 2 + ... +
n
12 n 2
lim
n !1
.
877. Obliczy¢ całk¦
Z
x p · e x dx
dla odpowiednio dobranej warto±ci parametru rzeczywistego p 2 [3 , 8].
878. Znale¹¢ tak¡ liczb¦ rzeczywist¡ A , »e funkcja
8
<
e 5 x − e 3 x − 2 x
x 2
dla x 6 = 0
f ( x ) =
:
A dla x = 0
jest ró»niczkowalna w zerze i obliczy¢ f 0 (0) dla tej warto±ci A .
879. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji
f ( x ) = x − 2arctg x
na przedziale [0 , 4]. Poda¢ punkty, w których warto±ci najmniejsza i najwi¦ksza s¡ osi¡-
gane.
880. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f okre±lonej wzorem
x − 1
x + 1
f ( x ) = arctg
− arctg x
na przedziale [0 , 37] oraz poda¢ punkty, w których warto±ci najmniejsza i najwi¦ksza s¡
osi¡gane.
881. Znale¹¢ tak¡ funkcj¦ rózniczkowaln¡ F : R \{− 2 , 0 }! R , »e
1
x ( x + 2)
F 0 ( x ) =
oraz
F ( − 3) = F ( − 1) = F (1) = 0
lub uzasadni¢, »e taka funkcja nie istnieje.
Lista 14
- 64 -
Strony 60-71
1010096082.015.png 1010096082.016.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin