Macierze.pdf

(495 KB) Pobierz
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MACIERZE I WYZNACZNIKI
3.1 MACIERZE – PODSTAWOWE OKREŚLENIA
Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n , gdzie m , n N , nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn
liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
Uwaga . Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu np. A , B , X itp. Element macierzy A stojący w i –
tym wierszu oraz w j –tej kolumnie oznaczamy przez a ij . Macierz A można także zapisywać w postaci
[
a ]
ij
m
n
lub [ a ij ], gdy znany jest jej wymiar. Macierze A lub B są równe, gdy mają te same wymiary m n oraz a ij = b ij
dla każdego 1 i m oraz 1 j n .
Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m n , której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru m n i
oznaczmy n
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Liczbę wierszy
(kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer
wiersza co kolumny, tworzą główną przekątną macierzy.
3. Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0,
nazywamy macierzą trójkątną dolną stopnia n .
a
11
0
0
0
a
21
a
22
0
0
a
31
a
32
a
33
0
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
nn
Podobnie określa się macierz trójkątną górną.
a
11
a
12
a
13
a
1
n
0
a
22
a
23
a
2
n
0
0
a
33
a
3
n
0
0
0
a
nn
0 lub przez 0 , gdy znamy jej wymiar.
m
187647504.254.png 187647504.265.png 187647504.276.png 187647504.287.png 187647504.001.png 187647504.012.png 187647504.023.png 187647504.034.png 187647504.045.png 187647504.056.png 187647504.067.png 187647504.078.png 187647504.089.png 187647504.100.png 187647504.111.png 187647504.122.png 187647504.133.png 187647504.144.png 187647504.155.png 187647504.166.png 187647504.177.png 187647504.188.png 187647504.199.png 187647504.210.png 187647504.221.png 187647504.225.png 187647504.226.png 187647504.227.png 187647504.228.png 187647504.229.png 187647504.230.png 187647504.231.png 187647504.232.png 187647504.233.png 187647504.234.png 187647504.235.png 187647504.236.png 187647504.237.png 187647504.238.png 187647504.239.png 187647504.240.png 187647504.241.png 187647504.242.png 187647504.243.png 187647504.244.png 187647504.245.png 187647504.246.png 187647504.247.png 187647504.248.png 187647504.249.png 187647504.250.png 187647504.251.png 187647504.252.png 187647504.253.png 187647504.255.png 187647504.256.png 187647504.257.png 187647504.258.png
4. Macierz kwadratową stopnia n , w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0,
nazywamy macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n .
a
11
0
0
0
0
a
22
0
0
0
0
a
33
0
0
0
0
a
nn
Macierz diagonalną stopnia n , w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, nazywamy
macierzą jednostkową stopnia n . Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez I n lub przez I , gdy znany
jest jej stopień.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3.2 DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Def. 3.2.1 (suma i różnica macierzy)
Niech A = [ a ij ] i B = [ b ij ] będą macierzami wymiaru m n . Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C
= [ c ij ], której elementy określone są wzorem:
c
def
ij b
a
ij
ij
c
def
ij b
a
ij
ij
dla 1 i m oraz 1 j n . Piszemy wtedy C = A + B ( C = A – B ).
Def. 3.2.2 (mnożenie macierzy przez liczbę)
Niech A = [ a ij ] będzie macierzą wymiaru m n oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem
macierzy A przez liczbę nazywamy macierz B = [ b ij ], której elementy są określone wzorem:
b
dla 1 i m oraz 1 j n . Piszemy wtedy B = A .
def
ij a
ij
Fakt 3.2.3 (własności działań na macierzach)
Niech A , B , C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech ,
będą odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy
1. A + B = B + A
5. ( A + B ) = A + B
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
6. ( + ) A = A + A
3. A + 0 = 0 + A = A
7. 1 A = A
4. A + (– A ) = 0
8. ( ) A = ( A )
Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy)
Niech A = [ a ij ] ma wymiar m n , a macierz B = [ b ij ] wymiar n k . Iloczynem macierzy A i B nazywamy
macierz C = [ c ij ], wymiaru m k , której elementy określone są wzorem:
def
c ...
2
a
b
a
b
a
b
ij
i
1
1
j
i
2
j
in
nj
dla 1 i m oraz 1 j n . Piszemy wtedy C = AB .
Uwaga . Element c ij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów
i –tego wiersza macierzy A i j –tej kolumny macierzy B . Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy
liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B .
187647504.259.png 187647504.260.png 187647504.261.png 187647504.262.png 187647504.263.png 187647504.264.png 187647504.266.png 187647504.267.png 187647504.268.png 187647504.269.png 187647504.270.png 187647504.271.png 187647504.272.png 187647504.273.png 187647504.274.png 187647504.275.png 187647504.277.png 187647504.278.png 187647504.279.png 187647504.280.png 187647504.281.png 187647504.282.png 187647504.283.png 187647504.284.png 187647504.285.png 187647504.286.png 187647504.288.png 187647504.289.png 187647504.290.png 187647504.291.png 187647504.292.png 187647504.293.png 187647504.294.png 187647504.295.png 187647504.296.png 187647504.297.png 187647504.002.png 187647504.003.png 187647504.004.png 187647504.005.png 187647504.006.png 187647504.007.png 187647504.008.png 187647504.009.png 187647504.010.png 187647504.011.png 187647504.013.png 187647504.014.png 187647504.015.png 187647504.016.png 187647504.017.png 187647504.018.png 187647504.019.png 187647504.020.png 187647504.021.png 187647504.022.png 187647504.024.png 187647504.025.png 187647504.026.png 187647504.027.png 187647504.028.png 187647504.029.png 187647504.030.png 187647504.031.png 187647504.032.png 187647504.033.png 187647504.035.png 187647504.036.png 187647504.037.png 187647504.038.png 187647504.039.png 187647504.040.png 187647504.041.png 187647504.042.png 187647504.043.png 187647504.044.png
Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B
( .
2. Niech macierze A , B mają wymiar m n , a macierz C wymiar n k . Wtedy
BC
BA )
C
AB
( .
3. Niech macierz A ma wymiar m n , a macierz B wymiar n k oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub
zespoloną. Wtedy
BA )
C
AC
BA .
4. Niech macierz A ma wymiar m n , macierz B ma wymiar n k , a macierz C wymiar k l . Wtedy
)
)( AB
(
A
)
B
(
)
AB .
C
A
(
5. Niech macierz A ma wymiar m n . Wtedy
n .
Uwaga . Własności podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielnością dodawania względem mnożenia, a
własność podaną w punkcie 4 łącznością mnożenia. Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne,
bowiem na ogół AB BA . Zamiast
AI m
I
A
A
czynników
A
będziemy pisali A n .
n
Def. 3.2.6 (macierz transponowana)
Niech A = [ a ij ] będzie macierzą wymiaru m n . Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B =
[ b ij ] wymiaru n m określoną wzorem:
def
ij b
dla 1 i m oraz 1 j n . Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy A T .
Uwaga . Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy
transponowanej. Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 4.
ji
a
a
a
a
a
11
a
21
a
31
11
12
13
14
a
a
a
T .
A
a
a
a
a
,
A
12
22
32
21
22
23
24
a
a
a
a
a
a
a
13
23
33
31
32
33
34
a
a
a
14
24
34
Fakt 3.2.7 (własności transpozycji macierzy)
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m n . Wtedy
( .
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m n oraz niech będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy
BA )
T B
A
T
Fakt 3.2.5 (własności iloczynu macierzy)
1. Niech macierz A ma wymiar m n , a macierze B i C wymiar n k . Wtedy
AC
)( BC
AA ...
187647504.046.png 187647504.047.png 187647504.048.png 187647504.049.png 187647504.050.png 187647504.051.png 187647504.052.png 187647504.053.png 187647504.054.png 187647504.055.png 187647504.057.png 187647504.058.png 187647504.059.png 187647504.060.png 187647504.061.png 187647504.062.png 187647504.063.png 187647504.064.png 187647504.065.png 187647504.066.png 187647504.068.png 187647504.069.png 187647504.070.png 187647504.071.png 187647504.072.png 187647504.073.png 187647504.074.png 187647504.075.png 187647504.076.png 187647504.077.png 187647504.079.png 187647504.080.png 187647504.081.png 187647504.082.png 187647504.083.png 187647504.084.png 187647504.085.png 187647504.086.png 187647504.087.png 187647504.088.png 187647504.090.png 187647504.091.png 187647504.092.png 187647504.093.png 187647504.094.png 187647504.095.png 187647504.096.png 187647504.097.png 187647504.098.png 187647504.099.png 187647504.101.png 187647504.102.png 187647504.103.png 187647504.104.png 187647504.105.png 187647504.106.png 187647504.107.png 187647504.108.png 187647504.109.png 187647504.110.png 187647504.112.png 187647504.113.png 187647504.114.png 187647504.115.png 187647504.116.png
A T
T
A
oraz
T
A .
T
( .
4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech r N . Wtedy
r
AB )
T A
B
(
Tr A )
)
(
T
.
Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna)
Niech A będzie macierzą kwadratową.
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
A T .
2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
A
A
A T .
Uwaga . Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są
sobie równe. Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej
przekątnej różnią się tylko znakiem, a elementy głównej przekątnej są równe 0.
Fakt 3.2.9 (własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)
1. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy
a) macierz A + A T jest symetryczna,
b) macierz A – A T jest antysymetryczna.
2. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy macierze AA T i A T A są symetryczne.
3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i
antysymetrycznej:
AA 2
1
A
T A
1
A
T
.
2
3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA
Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A =
[ a ij ] przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A . Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to
det aA ,
11
2. jeżeli macierz A ma stopień n 2, to
det
gdzie A ij oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i –tego wiersza i j –tej kolumny.
Uwaga . Wyznacznik macierz A oznaczamy także przez det[ a ij ] lub | A |, a w formie rozwiniętej przez
A
(
1
1
1
a
det
A
(
1
1
2
a
det
A
...
(
1
n A
1
a
det
11
11
12
12
1
1
n
a
11
a
12
a
1
n
a
11
a
12
a
1
n
det
a
12
a
22
a
2
n
lub
a
12
a
22
a
2
n
.
a
n
1
a
n
2
a
nn
a
n
1
a
n
2
a
nn
Będziemy mówili wymiennie stopień wyznacznika stopień macierzy, element wyznacznika element
macierzy, wiersz wyznacznika wiersz macierzy, kolumna wyznacznika kolumna macierzy.
Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
1. Niech
a A będzie macierzą stopnia 2. Wtedy
b
c
d
3. Niech A będzie macierzą wymiaru m n , a B macierzą wymiaru n k . Wtedy
T
n
187647504.117.png 187647504.118.png 187647504.119.png 187647504.120.png 187647504.121.png 187647504.123.png 187647504.124.png 187647504.125.png 187647504.126.png 187647504.127.png 187647504.128.png 187647504.129.png 187647504.130.png 187647504.131.png 187647504.132.png 187647504.134.png 187647504.135.png 187647504.136.png 187647504.137.png 187647504.138.png 187647504.139.png 187647504.140.png 187647504.141.png 187647504.142.png 187647504.143.png 187647504.145.png 187647504.146.png 187647504.147.png 187647504.148.png 187647504.149.png 187647504.150.png 187647504.151.png 187647504.152.png 187647504.153.png 187647504.154.png 187647504.156.png 187647504.157.png 187647504.158.png 187647504.159.png 187647504.160.png 187647504.161.png 187647504.162.png 187647504.163.png 187647504.164.png 187647504.165.png 187647504.167.png 187647504.168.png 187647504.169.png 187647504.170.png 187647504.171.png 187647504.172.png 187647504.173.png 187647504.174.png 187647504.175.png 187647504.176.png 187647504.178.png 187647504.179.png 187647504.180.png 187647504.181.png 187647504.182.png 187647504.183.png
.
a
A będzie nacierzą stopnia 3. Wtedy
b
c
2. Niech
d
e
f
g
h
i
.
Uwaga . Podany wyżej sposób obliczania wyznaczników stopnia 3 nazywamy regułą Sarrusa. Ten sposób
obliczania wyznaczników nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
1. Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach
a
(
x
1 y
,
1
)
b
(
x
2 y
,
2
)
(rys. 3.3.1). Pole | D |
tego równoległoboku wyraża się wzorem:
x
D .
|
det
1
y
1
|
x
y
2
2
Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia
2. Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach
a
(
x
1 z
,
y
1
,
1
)
,
b
(
x
2 z
y
2
,
2
)
,
(
x
3 z
,
y
3
,
3
)
(rys. 3.3.2). Objętość | V | tego równoległościanu wyraża się wzorem:
x
V .
1
y
1
z
1
|
det
x
2
y
2
z
2
|
x
3
y
3
z
3
Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia
Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)
,
,
c
187647504.184.png 187647504.185.png 187647504.186.png 187647504.187.png 187647504.189.png 187647504.190.png 187647504.191.png 187647504.192.png 187647504.193.png 187647504.194.png 187647504.195.png 187647504.196.png 187647504.197.png 187647504.198.png 187647504.200.png 187647504.201.png 187647504.202.png 187647504.203.png 187647504.204.png 187647504.205.png 187647504.206.png 187647504.207.png 187647504.208.png 187647504.209.png 187647504.211.png 187647504.212.png 187647504.213.png 187647504.214.png 187647504.215.png 187647504.216.png 187647504.217.png 187647504.218.png 187647504.219.png 187647504.220.png 187647504.222.png 187647504.223.png 187647504.224.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin