B. Zwiebach - Wprowadzenie do teorii strun częśc II.pdf

(27511 KB) Pobierz
################################################################################
Wprowadzenie do teorii strun
Barton Zwiebach
Tytuł oryginału : „First course in string theory”
Cambridge University Press 2004, 2009
Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim - Editoriał 2011
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra
Pierwsze tłumaczenie : 2013
Ostatnia modyfikacja : 2013-07-01
Tłumaczenie całości książki – w dwóch częściach.
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
CZĘŚC II ROZWINIĘCIE TEORII
************************************************************************************************
Rozdział 15 D-brany i pola cechowania.
Badane do tej pory otwarte struny opisywaliśmy przez współrzędne, każda, z których spełniała warunki brzegowe
Neumanna. Takie struny otwarte propagują się wzdłuż objętości świata D25-brany, wypełniającej sobą całą przestrzeń.
W niniejszym rozdziale zbadamy kwantowanie strun otwartych, przyczepionych do ogólniejszych D-bran. Analizę
rozpoczniemy od przypadku jednej Dp-brany z 1
p < 25. Następnie omówimy przypadek kilku równoległych Dp-bran i
rozpatrzymy pojawiające się masywne pola wektorowe. Dalej rozpatrzymy przypadek równoległych D-bran o różnych
wymiarach.
£
15.1 Dp-brany i warunki brzegowe.
Dp-brana – jest to rozciągły obiekt z p przestrzennymi wymiarami. W bozonowej teorii strun, gdzie liczba wymiarów jest
równa 25, D25-brana wypełnia sobą cała przestrzeń. Litera „D” w oznaczeniu Dp-brany oznacza warunki brzegowe
Dirichleta. W przypadku obecności D-brany końce strun otwartych powinny leżeć na branie, w dalszej kolejności
przekonamy się, że takie wymaganie nakłada na ruch strun otwartych szereg warunków brzegowych Dirichleta.
Nie wszystkie rozciągłe obiekty w teorii strun są D-branami. Przykładowo, struny są 1-branami, dlatego, że są to rozciągłe
obiekty o jednym wymiarze przestrzennym, ale nie są one D1-branami. Brany o p wymiarach przestrzennych przyjęto
nazywać p-branami, 0-brana, jest to coś w rodzaju cząstki. Linia świata cząstki jest jednowymiarowa, a objętość świata p-
brany jest (p+1)- wymiarowa. Pośród p+1 wymiarów jeden jest wymiarem czasowym, a pozostałe p są wymiarami
przestrzennymi. Koncepcje D-brany omawialiśmy już w podrozdziale 6.5. Dodatkowo w zadaniu 6.11 rozpatrzyliśmy
klasyczny ruch struny otwartej, kończącej się na D-branach o różnych wymiarach. Podstawowym tematem niniejszego
rozdziału będzie kwantowanie strun otwartych w przypadku obecności różnego rodzaju D-bran. Jest to interesujący temat,
mający duże znaczenie dla budowy realistycznych modeli fizycznych bazujących na podstawie teorii strun. Oprócz tego
badanie D-bran i pól grawitacyjnych, które one generują już doprowadziło do nowych zadziwiających odkryć w gauge-
teoriach oddziaływań silnych.
W niniejszym podrozdziale wprowadzimy oznaczenie, konieczne dla opisu D-bran, po czym sformułujemy odpowiednie
warunki brzegowe.
Niech d oznacza ogólną liczbę wymiarów przestrzennych teorii : w rozpatrywanym przypadku d = 25.
Ogólna liczba wymiarów CP jest równa D = d + 1 = 26. Dp-brana z p < 25 umiejscowiona jest wzdłuż p-wymiarowej
podprzestrzeni 25-wymiarowej przestrzeni. Naszą uwagę skupimy na prostych Dp-branach, będącymi p-wymiarowymi
hiperpłaszczyznami w D-wymiarowej przestrzeni.
W jaki sposób możemy zadać takie hiperpłaszczyzny ?
W tym celu należy mieć (d
p) liniowych warunków. W trzech wymiarach przestrzennych ( d= 3), 2-brana ( p=2) jest
płaszczyzną i zadana jest przez jeden warunek liniowy ( d
-
2 = 1 ).
Przykładowo z = 0 zadaje płaszczyznę ( x, y). W taki sposób struna wzdłuż osi z (p=1 ) zadana jest przez dwa liniowe
warunki ( d
-
p = 3
-
1 = 2 ) : x = 0 , y = 0.
Musimy posiadać tyle warunków, ile istnieje przestrzennych współrzędnych, normalnych do brany.
-
p = 3
-
Teraz rozpatrzymy Dp-brany. Wprowadzimy współrzędne CP x m , gdzie
m
= 0, 1, 2, ... , 25 rozbite są na dwie grupy.
1
 
Pierwsza grupa składa się ze współrzędnych, stycznych do objętości świata brany. Jest to jedna współrzędna czasowa i p
współrzędnych przestrzennych. Druga grupa składa się z ( d-p ) współrzędnych normalnych do objętości świata brany.
Możemy, zatem zapisać :
x 0 , x 1 , ... , x p x p+1 , x p+2 , ... , x d
(15.1)
--- Dp-współrzędne styczne --- --- Dp-współrzędne normalne ---
Położenie Dp-brany określamy ustalając wartości współrzędnych, normalnych do powierzchni brany. Z uwzględnieniem
powyższego rozbicia zapiszemy :
x a = x -a , a = p +1 , ... , d
(15.2)
gdzie x -a – jest zbiorem (d
-
p) stałych.
Współrzędne strunowe X m (
) rozbijamy analogicznie :
X 0 , X 1 , ... , X p X p+1 , X p+2 , ... , X d
t
,
s
(15.3)
--- Dp-współrzędne styczne --- --- Dp-współrzędne normalne ---
Ponieważ końce struny otwartej powinny leżeć na Dp-branie, to współrzędne strunowe, normalne do powierzchni brany,
powinny spełniać warunki brzegowe Dirichleta :
X a (
= x -a , a = p + 1, … , d (15.4)
Współrzędne strunowe X a nazywają się DD-współrzędnymi, dlatego że oba końce spełniają warunek brzegowy Dirichleta.
Końce strun otwartych mogą poruszać się swobodnie wzdłuż kierunków stycznych do D-brany. W wyniku tego
współrzędne strunowe, styczne do D-brany spełniają warunki brzegowe Neumanna :
X m’ (
=0 = X a (
t
,
s
) |
t
,
s
) |
s
s
=
p
=0 = X m’ (
= 0 , m = 0, 1, … , p (15.5)
Te współrzędne strunowe nazywają się NN-współrzędnymi, dlatego, że oba końce struny spełniają warunek brzegowy
Neumanna. Widać, że rozbicie (15.3) na współrzędne styczne i normalne jest jednocześnie rozbiciem na współrzędne,
spełniające odpowiednio warunki Neumanna i Dirichleta :
X 0 , X 1 , ... , X p X p+1 , X p+2 , ... , X d
t
,
s
) |
t
,
s
) |
s
s
=
p
(15.6)
--- NN-współrzędne --- ---DD- współrzędne ---
Aby wykorzystać cechowanie stożka świetlnego, konieczne jest w skrajnym przypadku jedna NN- współrzędna, która wraz
z X 0 , może być wykorzystana dla zdefiniowania współrzędnej X ± . Zatem, należy przyjąć p ³ 1, na skutek, czego nasza
analiza staje się nie użyteczna dla strun, przyczepionych do D0-bran. D0-brany są całkowicie samo zgodnymi obiektami,
jednakże dla ich badania będziemy wykorzystywali metody lorentzowsko-kowariantnego kwantowania ( zobacz rozdział
24 i zadanie 24.4 ). Współrzędne stożka świetlnego będziemy oznaczali następująco :
X + , X - , { X i } , {X a } , i = 2, ... , p , a = p + 1, ... , d
(15.7)
------NN------ --DD--
15.2 Kwantowanie strun otwartych na Dp-branach.
Zadawszy warunki brzegowe dla różnych współrzędnych strunowych, możemy teraz przejść do procedury kwantowania
strun otwartych na Dp-branie. Celem takiej analizy będzie określenie spektrum stanów strun otwartych i z pomocą tego
wyniku głębsze zrozumienie własności w objętości świata Dp-brany.
Praca, którą wykonaliśmy w rozdziale 12, okazuje się bardzo użyteczna również dla obecnego celu. NN-współrzędne
X i (
) spełniają dokładnie takie same warunki, które spełniały współrzędne stożka X I (
) strun otwartych,
przyczepionych do D25-brany. Wszystkie rozkłady i zależności komutacyjne dla współrzędnych X i mogą być otrzymane z
wyrażeń dla X I poprzez zamianę I
t
,
s
t
,
s
i w odpowiednich równaniach.
Przypominamy, że współrzędna X I była zdefiniowana z użyciem poprzecznych współrzędnych stożkowych w równaniu
(9.65) :
®
Oprócz tego, rozkład po modach X · I
X I’ zadany był wyrażeniem (9.74) :
±
Całkowicie analogiczne rozłożenie po modach miało miejsce dla współrzędnej X - ; nie zmienia się ono obecnie, ponieważ
X - tak jak poprzednio jest NN-współrzędną. Poprzednie równania i rozkład X - prowadzą do równań (12.105) i (12.106),
które w jednolitej postaci można przedstawić następująco :
2
1085163057.004.png 1085163057.005.png
Przy kwantowaniu strun na 25-branach stała uporządkowania a jest równa
1. Dla Dp-brany indeks współrzędnych stożka
świetlnego I = 2, ... , 25 rozbija się na numerowane indeksem i DD-współrzędne i numerowane indeksem a NN-
współrzędne. Zatem, (15.8) przyjmuje postać :
-
Jak już wyjaśnialiśmy wcześniej, rozkład dla współrzędnych X i ma następującą postać :
Należy zbadać teraz współrzędne X a . Jeśli dla X a słuszny jest rozkład, analogiczny do (15.12), to możemy znaleźć p -
dokonując w (15.10) rozbicia I
®
( i, a), dokładnie w ten sam sposób w jaki otrzymano wyrażenie (15.11).
Teraz jesteśmy gotowi rozpatrzyć nowy aspekt kwantowania strun otwartych, przyczepionych do Dp-brany.
Współrzędne X a normalne do powierzchni brany, spełniają równanie falowe i dlatego ogólne rozwiązanie jest
superpozycją dwóch fal :
Rozpatrzmy warunki brzegowe (15.4). Przy
s
= 0 otrzymujemy :
X a (
) = ½ ( f a (
) + g a (
) ) = x -a
t
,
s
t
t
(15.14)
tak, że g a (
f a (
) + 2x -a w wyniku czego :
t
) =
-
t
Warunek brzegowy przy
s
=
p
prowadzi do zależności :
f a (
) = f a (
t
+
p
t
-
p
)
(15.16)
Oznacza on, że f a (u ) jest funkcją okresową o okresie 2
p
. A to prowadzi do następującego rozkładu :
Interesującym jest zauważyć, że człon liniowy po u nie występuje. Taki człon byłby obecny, kiedy współrzędne
spełniałyby warunki brzegowe Neumanna, dlatego że w tym przypadku periodyczna jest pochodna f ’(u).
Podstawiając (15.17) do (15.15) i dokonując pewnych uproszczeń trygonometrycznych, znajdujemy :
Redefiniując współczynniki rozkładu, które w dowolnym przypadku są dowolne, możemy zapisać :
nie występuje, uśredniony po czasie całkowity pęd struny w kierunku x a jest równy zero.
Jest to w pełni naturalne, ponieważ struny powinny pozostawać przyczepione do brany. Jeśliby człon p a
Ponieważ człon liniowy po
t
t
byłby obecny, to
nie pozostawałyby w punkcie x a = x -a przy
końce struny
s
= 0,
p
t
¹
0.
3
1085163057.006.png
Dla zbudowania teorii kwantowej, stowarzyszonej z sektorem przemiany X a , na początku rozpatrzymy wielkości
klasyczne, które opisują ruch struny otwartej zgodnie z równaniem (15.19). Ponieważ chcemy dokonać kwantowania
struny otwarte, przyczepione do ustalonej D-brany, to wielkości x -a nie są odpowiednie dla opisania różnych konfiguracji
strunowych. Z drugiej strony, ruchy struny otwartej parametryzują wielkości (f a , f ~a ). Dlatego, przy kwantowaniu struny
otwartej wielkości x -a pozostają zmiennymi liczbowymi i są kwantowane, a wielkości (f a , f ~a ) stają się operatorami.
Dla uproszczenia dalszej analizy, przepiszemy (15.19) z użyciem oscylatorów :
a n a ) † =
n a , to współrzędna strunowa X a jest
Jeśli spełniony jest standardowy warunek hermitowskości oscylatorów (
a -
a 0 a nie występuje. Uwzględniając :
hermitowska. Zauważmy, że mod zerowy
Wyrażenie to jest podobne do 915.12), jednakże istnieją dwie różnice. Po pierwsze, przy wyborze ujemnego znaku
pojawiające się kombinacje pochodnych różnią się znakiem. Po drugie w (15.22) nie ma modu zerowego.
Teraz procedura kwantowania może być przeprowadzona bezpośrednio.
Oznaczając
 t
a (
) = X · a /2
t
,
s
pa
’ , niezerowe zależności komutacyjne postulujemy w postaci :
Postępując zgodnie z rozważaniami przeprowadzonymi w podrozdziale 12.2, powyższy komutator możemy przepisać w
postaci (12.30), gdzie ( I, J) zamieniamy na (a, b). Ponieważ rozkład oscylatorowy (15.22) posiada standardową postać,
wcześniejsze rozważania możemy przenieść bezpośrednio na obecny przypadek. Wspomniana powyżej różnica w znaku
jest nieistotna ponieważ ( X a’
X · a ) pojawia się dwukrotnie w odpowiednich komutatorach. Zatem, otrzymujemy :
-
Nie występowanie modów zerowych nie narusza spójności całej procedury : wielkości x -a są stałymi i nie posiadają pędów
sprzężonych na mocy
a 0 a
0.
Wspominana już różnica w znaku jest również nieistotna dla obliczenia (15.11), ponieważ ( X a’
º
X · a ) pojawia się
-
dwukrotnie. Zatem, równanie (15.10) może być przedstawione w następującej postaci :
Wzór ten musimy skomentować. Ponieważ p a ~
a 0 a
a 0 I
a 0 I sprowadzają się do postaci
’ p i p i
º
0, to składowe ½
a
a 0 m =
’ p m ). Podobnie jak w przypadku D25-brany, stała uporządkowania wybrana jest równa
( przypominamy, że
Ö
2
a
-
1.
Wymiar krytyczny również się nie zmienia. Jest to całkowicie naturalne, ponieważ X a i X i różnią się tylko strukturą
modów zerowych. W szczególności wkłady konieczne dla uporządkowania normalnego L 0 ^ są jednakowe dla X a i dla X
X i . Z (15.25) wynika, że :
4
1085163057.001.png 1085163057.002.png
Podstawienie operatorów kreacji i anihilacji daje :
Teraz rozpatrzymy przestrzeń stanów struny kwantowej. Stanem podstawowym struny na tle D25- brany są | p + , p T >
Gdzie p T = ( p 2 , ... , p 25 )- wektor o składowych p I , teraz indeks I przyjmuje wartości zarówno i jak i a, jednakże nie ma
operatorów p a ,dlatego stan podstawowy w niniejszej teorii parametryzuje tylko p + i p i :
| p + , p T > z p T = ( p 2 , ... , p p )
(15.28)
Pozostałe stany budujemy poprzez działanie oscylatorów na stan podstawowy.
Rozpatrzmy oscylatory, rozłożone wzdłuż powierzchni brany :
a n i† , n
³
1 , i = 2, ... , p
(15.29)
i oscylatory, normalne do powierzchni brany :
a n a† , n
³
1 , a = p + 1, ... , d
(15.30)
Zatem, wektory przestrzeni stanów mają postać :
Funkcje falowe Schrödingera można zapisać w postaci :
y i 2 … i p a 1 ... a d (
, p + , p )
t
(15.32)
Indeksy funkcji falowych, jak i indeksy oscylatorów, bywają dwóch typów : indeksy kierunków stycznych do brany
( indeksy i ) i indeksy kierunków normalnych do brany ( indeksy a ).
W teorii pola, opisującej stany strun, pola mają tę sama postać co strunowe funkcje falowe Schrödingera. Zatem, pojawia
się zagadnienie : gdzie określone są pola, odpowiadające (15.32) – czy na całej CP lub tylko na pewnej podprzestrzeni ?
Ponieważ pola są funkcjami pędów p i , po przekształceniu Fouriera można je rozpatrywać jako pola zależne od
współrzędnych x i . Zależność od
jest w istocie, zależnością od x + , a zależność od p + poprzez przekształcenie Fouriera
może być przemieniona w zależność od x - . W wyniku tego pojawiają się pola, zależne od x + , x - i x i , gdzie i = 2, ... , p
Jest to w istocie (p+1)- współrzędna w objętości świata Dp-brany. Objętość świata – jest to jedyny odpowiedni pretendent
do roli (p+1)- wymiarowej podprzestrzeni CP.
Nasze rozważania przyjmują, ale nie dowodzą, że pola znajdują się na Dp-branie : wektory stanów i funkcje falowe struny
nie zależą od położenia x -a . Dp-brany Jak można dowieść, że pola rzeczywiście umiejscowione są na Dp-branie ?
W tym celu musimy rozpatrzyć oddziaływanie strun. Ponieważ dla strun zamkniętych nie ma końców, to nie mogą być one
umocowane na D-branach i propagują się w całej CP. Rozpatrując rozpraszanie strun zamkniętych na Dp-branie, można
dowiedzieć się, czy oddziaływanie następuje między polami z sektora strun zamkniętych i polami sektora strun otwartych
w objętości świata D-brany. Odpowiedź okazuje się pozytywna. Jednakże stwierdzenia o tym, gdzie określone są pola strun
otwartych, są niejednoznacznie a nawet są one gauge- nieinwariantne, przy czym różne odpowiedzi w oddzielności mogą
być niesprzeczne.
t
Na zakończenie naszej analizy Dp-bran, podamy spis i dokładny opis pól, spełniających warunek M 2
0. Wszystkie te
pola umiejscowione są na Dp-branie dlatego należy ustalić ich własności transformacyjne względem przekształceń
Lorentza, zachowujących Dp-brany. Przekształcenia są przekształceniami lorentzowskimi w p + 1 wymiarach, a pola np.
mogą być skalarem lub wektorami.
Rozpoczniemy od stanu podstawowego :
| p + , p T > , M 2 =
£
(15.33)
Taki stan jest tachionem na branie i posiada taką samą masę jak tachion pojawiający się na D25-branie. Oczywiście
odpowiednie pole tachionowe w istocie jest skalarem lorentzowskim na branie.
-
1/
a
Następujące stany otrzymujemy poprzez działanie jednego oscylatora na stan podstawowy. Na początku rozpatrzymy
przypadek oscylatora, umiejscowionego wzdłuż współrzędnej, stycznej do brany :
a n i† | p + , p T > , i = 2, ... , p ; M 2 = 0 (15.34)
Przy dowolnych pędach jest to zbiór z (p + 1 )- stanów bezmasowych. Oprócz tego, indeks, numerujący stany, odpowiada
współrzędnym na branie, dlatego zbiór stanów przekształca się jak wektor lorentzowski na branie. Ponieważ liczba stanów
5
1085163057.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin