analiza stanu naprężenia.pdf

(686 KB) Pobierz
12838730 UNPDF
11. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA
1
11. 
11. Analiza stanu naprężenia
11.1. Wektor naprężenia
Na ciało działają dwa rodzaje sił: powierzchniowe i masowe (objętościowe). Przedstawia to rysunek
11.1. Po wpływem sił masowych (objętościowych) określonych wzorem
G dV 0
(11.1)
oraz sił powierzchniowych określonych wzorem
p dS 0
(11.2)
ciało ulegnie odkształceniu.
p dS 0
dS 0
dV 0
G dV 0
Rys. 11.1. Siły powierzchniowe i masowe działające na ciało.
Jeżeli przetniemy myślowo ciało na dwie części, to aby odcięte części ciała były w równowadze w przekroju
muszą pojawić się siły wewnętrzne. Siłę d F n działającą na elementarne pole dS o wektorze normalnym
n przedstawia rysunek 11.2. Wektor normalny n jest prostopadły do powierzchni dS. Siły te na obu
powierzchniach przekroju mają te same wartości ale przeciwne zwroty (zgodnie z III zasadą Newtona). Siła
d F n jest wypadkową wektora naprężenia . Wektor naprężenia określa się ze wzoru
f n = lim
S 0
S = d F
.
(11.3)
dS
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
F
12838730.006.png
 
11. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA
2
p 2 dS 0
p 1 dS 0
dS 0
d F n
dV 0
dS 0
dS
n n
G 2 dV 0
d F n
dV 0
G 1 dV 0
Rys. 11.2. Siły wewnętrzne.
Jednostką wektora naprężenia jest N/m 2 , w budownictwie najczęściej wykorzystywaną jednostką wektora
naprężenia jest 1MPa=10 kN/cm 2 . Gęstość sił powierzchniowych p jest niczym innym tylko wektorem
naprężenia na powierzchni ograniczającej ciało.
Na rysunku 11.3 pokazano rozkład wektora naprężenia na składową normalną  n i styczną n .
Przykładem składowej normalnej jest naprężenie normalne s X od działania siły normalnej i momentów
zginających natomiast przykładem składowej stycznej są naprężenia styczne t XZ i t XY od działania siły
poprzecznej.
n
 n dS
f n dS
dS
 n dS
Rys. 11.3. Rozkład wektora naprężenia na składową normalną i styczną.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838730.007.png 12838730.008.png 12838730.001.png 12838730.002.png
11. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA
3
11.2 Stan naprężenia w punkcie
Aby poznać stan naprężenia w dowolnym punkcie ciała należy określić wektory naprężenia na trzech
różnych płaszczyznach przechodzących przez dany punkt. Ze względów rachunkowych wygodnie jest
przyjąć, że są to trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny. Płaszczyzny te będą tworzyły ścianki elementarnego
sześcianu o bardzo małych wymiarach. Wektory normalne tych płaszczyzn pokrywają się z osiami
prawoskrętnego układu kartezjańskiego X 1 X 2 X 3 . Płaszczyzny te przedstawia rysunek 11.4.
X 3
n 2
X 2
X 1
Rys. 11.4. Wektory naprężeń na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach dodatnich opisujące stan naprężenia
w punkcie.
Płaszczyzny przedstawione na rysunku 11.4 są to płaszczyzny dodatnie . Na płaszczyznach tych wektory
normalne mają zwroty osi układu współrzędnych. Na rysunku 11.5 przedstawiono wektory naprężenia
znajdujące się na płaszczyznach ujemnych . Na płaszczyznach tych wektory normalne mają zwroty przeciwne
do zwrotów osi układu współrzędnych. Wektor naprężenia na płaszczyźnie o normalnej n 1 można rozłożyć
na składową normalną s 11 oraz dwie składowe styczne s 12 i s 13 . Wektor naprężenia na płaszczyźnie o
normalnej n 2 można rozłożyć na składową normalną s 22 oraz dwie składowe styczne s 21 i s 23 . Wektor
naprężenia na płaszczyźnie o normalnej n 3 można rozłożyć na składową normalną s 33 oraz dwie składowe
styczne s 31 i s 32 . Rysunek 11.6 przedstawia składowe naprężenia znajdujące się na ściankach dodatnich.
Naprężenia składowe są na ściankach dodatnich dodatnie jeżeli mają zwroty osi układu współrzędnych.
Rysunek 11.7 przedstawia składowe naprężenia znajdujące się na ściankach ujemnych. Naprężenia składowe
są na ściankach ujemnych dodatnie jeżeli mają zwroty przeciwne do zwrotu osi układu współrzędnych.
Pierwszy wskaźnik opisujący składową naprężenia oznacza wektor normalny do płaszczyzny, na której
znajduje się dana składowa naprężenia. Drugi wskaźnik oznacza oś układu współrzędnych, do której jest
równoległa dana składowa naprężenia. Składowe naprężenia o jednakowych wskaźnikach są to naprężenia
normalne natomiast składowe naprężenia o różnych wskaźnikach są to naprężenia styczne. Składowe
naprężenia można zapisać w postaci tensora naprężenia
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838730.003.png
11. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA
4
X 3
n 2
X 2
X 1
Rys. 11.5. Wektory naprężeń na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach ujemnych opisujące stan naprężenia w
punkcie.
X 3
32
22
X 2
12
X 1
Rys. 11.6. Składowe naprężenia na ściankach dodatnich.
ij =
[
11 12 13
21 22 23
31 32 33
] .
(11.4)
Ostatecznie można stwierdzić, że aby jednoznacznie określić stan naprężenia w punkcie potrzebna jest
znajomość dziewięciu współrzędnych, które tworzą tensor naprężenia (11.4). W pierwszym wierszu tensora
naprężenia znajdują się składowe działające na płaszczyźnie o normalnej n 1 w drugim wierszu składowe na
płaszczyźnie o normalnej n 2 a w trzecim wierszu składowe na płaszczyźnie o normalnej n 3 .
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838730.004.png
11. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA
5
X 3
22
12
X 2
32
X 1
Rys. 11.7. Składowe naprężenia na ściankach ujemnych.
Chcąc wyznaczyć wzór na obliczenie składowych wektora naprężenia na płaszczyźnie określonej wektorem
normalnym n należy rozpatrzyć równowagę elementu czworościennego przedstawionego na rysunku 11.8.
W elemencie tym działa także siła masowa G dV .
X 3
n 2
X 2
O
X 1
Rys. 11.8. Siły działające na element czworościenny.
Aby sprawdzić równowagę elementu należy w pierwszej kolejności ustalić zależności pomiędzy polami
powierzchni poszczególnych ścianek czworościanu, na których do działają odpowiednie składowe naprężenia.
Rysunek 11.9 przedstawia zależności geometryczne w elementarnym czworościanie. Kosinus kąta a równa się
współrzędnej n 3 wektora normalnego, ponieważ długość wektora normalnego n wynosi jeden.
n 3 = cos  .
(11.5)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838730.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin