cwiczenie_4a.pdf

(151 KB) Pobierz
Przykład 4: Energia sprężysta i hipotezy wytężeniowe
Ćwiczenie 4: Energia sprężysta i hipotezy wytężeniowe, wersja dla studentów
(opracowali: Z. Waszczyszyn i M. Kłos)
Wzory dla energii sprężystej
 Energia sprężysta U, złożona z energii odkształcenia objętościowego V
U i postaciowego f
U
U
U
V
U
f
V
dV
f
dV
,
(1)
(
V
)
(
)
gdzie energia właściwa wynosi:
1
2
2
 
E
,
2
(2a)
V
6
x
y
z
6
1
2
x
y
z
1
2
2
2
3
2
xy
2
yz
2
zx
f
3
x
y
z
x
y
y
z
z
x
E
2
2
2
3
2
xy
2
yz
2
zx
.
(2b)
3
 
1
x
y
z
x
y
y
z
z
x
4
Przykład 1 (Krzyś i Życzkowski) [5], str. 94
U v dla pręta pryzmatycznego rozciąganego siłą P
w zależności od wartości współczynnika Poissona .
U f i U
/
/
Stan naprężenia jednoosiowego
 A
x
P
/
generuje:
 , ,
f
v
f
v
.
Energia sprężysta pręta ze względu na stan naprężenia jednorodnego:
2
U
U
U
dV
dV
V
V
V
,
f
v
f
v
f
v
2
E
(
v
)
(
v
)
a więc stąd wynika:
U
V
f
v
V
.
Stosunek energii:
C
U
f
f
1
2
E
2
  ,
1
C
v
1
2
2
1
  .
1
2
(3)
f
U
3
3
v
6
3
Na rys.1 podano zależności  
C i
f
C
v
 
Jak zmienia się stosunek energii: U
54622943.015.png 54622943.016.png
C f C
1.0
2
3
1
3
0 0.5
Rys.1. Współczynniki f
C jako funkcje współczynnika Poissona
dla pręta swobodnie rozciąganego.
C i v
C v , gdyż materiał jest nieściśliwy i w pręcie pojawi się tylko
energia odkształcenia postaciowego.
 będzie 0
0
Przykład 2 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 96
Pręt pryzmatyczny ściskany siłą P umieszczony w dopasowanej tuleji, idealnie gładkiej (nie
występują siły tarcia między prętami i tuleją). Zbadać jak się zmieniają współczynniki
C
f
 
oraz
C .
v
 
W pręcie występuje jednoosiowy stan odkształcenia
x
0
y
z
0
xy
yz
zx
0
,
(4)
oraz przestrzenny stan naprężeń, rys.2a
x
,
y
z
y
,
(5)
a, więc:
y
z
(6)
Zamiast prowadzić obliczenia w naprężeniach możemy obliczenia wykonać znacznie prościej
korzystając ze wzorów (2) wyrażonych przez odkształcenia:
f
v
E
2
x
2
1
E
2
x
   ,
1
(7)
6
1
1
2
2
1
1
2
stąd wynikają współczynniki:
C
2
1
2
,
C
1
1
.
(8)
f
3
1
v
3
1
Widać, że dla .
54622943.017.png 54622943.018.png
Na rys. 2b pokazano zależności
C oraz
 
C . W przeciwieństwie do pręta swobodnego, pręt
 
 ma C v = 1.0 , gdyż nie może się odkształcić czysto postaciowo i
zachowuje się jak idealnie sztywny.
  x
x
x x
y
  x
y
Rys. 2a
C f C
1.0
0.667
0.333
0 0.5
Rys. 2b
Rys.2:a) ściskanie pręta w dopasowanej tuleji, b) współczynniki
C oraz
f
 
C .
v
 
Przykład 3 (Krzyś i Życzkowski [ ], s. 99)
Obliczyć wartość energii odkształcenia postaciowego i objętościowego dla podanej belki,
przyjmując wzory z wytrzymałości materiałów i niżej podane dane.
b = 1 cm, h = 2 cm, l = 20 cm, P = 10KN, E = 210 GPa, = 0.3 .
P
b
x
z
y
y
l
Rys. 3
v
f
skrępowany tuleją dla 0
54622943.001.png 54622943.002.png 54622943.003.png 54622943.004.png 54622943.005.png 54622943.006.png 54622943.007.png 54622943.008.png 54622943.009.png 54622943.010.png
Wzory z wytrzymałości materiałów
x
,
xy
.
Z wzorów (2) na energię właściwą
1
2
2
,
1
2
3
2
(9)
v
6
E
x
f
3
E
x
xy
Podstawiamy (9) do wzoru (2):
1
2
P
2
U
x
2
y
2
dV
v
6
E
I
2
z
(
v
)
1
2
P
2
l
h
/
2
b
/
2
2
2
dx
dy
x
y
dz
6
I
2
z
0
h
/
2
b
/
2
(10)
1
2
P
2
l
h
/
2
b
/
2
x
2
y
2
dz
dy
dx
6
I
2
z
0
h
/
2
b
/
2
1
2
P
2
l
h
/
2
1
2
P
2
l
3
2
2
b
x
y
dy
dx
6
I
2
z
6
I
3
0
h
/
2
z
2
 
P
2
l
3
U v
1
2
3
E
bh
3
1
P
2
3
h
2
2
4
1
P
2
l
3
9
h
2
U
x
2
y
2
dV
y
2
dV
1
0
.
833
kNm
f
3
E
I
2
z
4
4
3
E
bh
3
10
l
(
)
(
V
)
Całkowita energia i współczynniki V
C i f
C
U = 0.960 kNm ,
C V = 0.132, C f = 0.868 .
Wzory dla hipotez wytężeniowych
1). Hipotezy naprężeniowe:
G: Galileusza
,
1 k
r
(11)
TG: Tresci - Guesta
1
3
k
r
.
(12
2). Hipotezy odkształceniowe:
SV: Saint–Venanta
1
2
3
k
r
.
(13)
3). Hipotezy energetyczne
54622943.011.png 54622943.012.png 54622943.013.png
HMH: Hubera - Misesa – Hencky`ego
2
0
2
1
2
2
2
3
1
2
2
3
3
1
(14)
2
x
2
y
2
z
3
2
xy
2
yz
2
zx
x
y
y
z
z
x
B: Burzyńskiego
1
 
1
 
1
2
2
4

2
HMH
(15)
0
2
x
y
z
x
y
z
Przykład 4 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 123)
Stan naprężenia w punkcie jest określony następującymi danymi:
a)
x
y
z
xy
zx
10
MPa
,
yz
0
0
b)
x
y
z
xy
zx
10
MPa
,
yz
0
0
Przypadek a)
Dla hipotezy HMH możemy od razu obliczyć
HMH
Dla pozostałych hipotez najpierw liczymy naprężenia główne
1
24
.
MPa
,
2
10
MPa
,
3
4
MPa
Dalej liczymy:
G
TG
SV
HMH
Dla hipotezy Burzyńskiego przyjmujemy:
(stal):
1
B
HMH
24
.
MPa
(żeliwo):
3
B
Przypadek b)
1
4
MPa
,
2
10
MPa
,
3
24
.
MPa
Wyniki dla różnych hipotez
Wyniki dla a)
54622943.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin