cwiczenie_8.pdf

(162 KB) Pobierz
8
Ćwiczenie 8. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych do oblicza-nia
płyt prostokątnych (opracowali M. Kłos, Z.Waszczyszyn) wersja dla
studentów.
8.1. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych (metoda Naviera)
Rozwiązanie zadania zginania płyty polega w każdym konkretnym przypadku
na całkowaniu równania różniczkowego powierzchni sprężystej
4
w
4
w
4
w
p
(
x
y
Eh
3
2
, gdzie
D
 
(8.1.1)
x
4
x
2
y
2
y
4
D
12
1
2
w  , która po podstawieniu do tego
równania spełniałaby je tożsamościowo, lecz która czyniłaby ponadto zadość
warunkom brzegowym na konturze.
f
 
x
,
y
Rozważamy przypadek szczególny zginanie płyty prostokątnej o wymiarach boków a
b i grubości h. Płyta jest przegubowo podparta niepodatnie na całym obwodzie i
obciążoną dowolnym obciążeniem ciągłym
p  , dla której warunki brzegowe
f
 
x
,
y
mają postać odpowiadającą rys.8.1.1:
w
        0
,
y
b
w
a
,
y
w
x
,
0
w
x
,
(
(8.1.2.)
w
'
        0
y
w
'
a
,
y
w
'
x
,
w
'
x
,
b
x
x
x
x
y
y
y
y
p(x,y)
x
z
x
b
a
y
Rys 8.1.1
Zakładamy, że rozwiązanie będzie miało postać nieskończonego podwójnego
szeregu trygonometrycznego:
 
W
i
j
w
x
,
y
sin
x
sin
y
,
,
ij
i
j
i
a
j
b
i 1
1
j
(8.1.3)
1
co wymaga nie tylko znalezienia funkcji
0
0
Charakterystyczną cechą przyjętego jako rozwiązanie szeregu, jest to że wszystkie
parzyste pochodne są szeregami sinusowymi:
2
w
x
2
2
w
(8.1.4)
y
2
w
2
w
2
2
Porównując (8.1.2) z (8.1.4) widać, że przyjęte rozwiązanie (8.1.3) spełnia
tożsamościowo wszystkie warunki brzegowe.
Po podstawieniu bilaplasjanu w postaci (8.1.4) 4 równanie płyty przyjmuje postać:
 
 
2
i
2
j
2
W
sin
x
sin
y
p
 
D
,
y
(8.1.5)
i j
ij
i
j
W przy wykorzystaniu analizy
harmonicznej. W tym celu mnożymy najpierw równanie (8.1.5) przez x
sin k
całkujemy względem zmiennej  
x , następnie mnożymy równanie przez y
0
a
sin l
całkujemy w przedziale  
0 względem zmiennej y otrzymujemy całki:
b
.......(8.1.6)
Otrzymujemy w ten sposób wzór na współczynniki ij
W
4
a
b
 
W

p
x
,
y
sin
x
sin
y
dx
dy
(8.1.7)
 
ij
2
i
j
D
a
b
2
i
2
j
0
0
p można obliczyć całki po prawej stronie (8.1.7)i
podstawiając znalezione wartości ij
x
,
y
W do równania (8.1.7) znaleźć równanie
powierzchni sprężystej.
Siły przekrojowe wyznaczamy z zależności różniczkowych. Funkcje momentów
zginających:
2
x
Kolejny krok rozwiązania to obliczenie współczynnika ij
i
i
Znając rozkład obciążenia  
2
w
2
w
m
D
,
x
x
2
y
2
2
w
2
w
m
D
,
(8.1.8a)
y
y
2
x
2
 
2
w
m
D
1
.
xy
x
y
Funkcje sił poprzecznych określają wzory:
2
w
2
w
2
w
2
w
q
D
,
q
D
,
(8.1.8b)
x
x
x
2
y
2
y
y
x
2
y
2
Siły brzegowe (reakcje określają wzory na zastępcze siły poprzeczne:
q
q
m
xy
q
q
m
xy
,
(8.1.8c)
x
x
y
y
y
x
x
0
y
0
b
oraz siły w narożach:
R
( m
x
,
y
)
 
2
xy
(
x
0
,
a
;
y
0
,
b
)
.
(8.1.8d)
Przykład 8.1: Przegubowo podparta płyta, obciążenie równomiernie rozłożone
 
x
,
y
p
0
Całka występująca po prawej stronie równania (8.1.7) przyjmuje wartości:
a
b
p
0
ab
4
dla
i
j
1
3
5
.....
p
sin
x
sin
y
dx
dy
(8.1.9)
0
i
j
ij
2
0
dla
i
,
j
0
2
4
.....
0
0
Widać, że (8.1.9) jest różna od zera tylko dla nieparzystych i, j. Zgodnie ze wzorem
(8.1.7) otrzymujemy:
W
16
p
0
1
ij
D
6
i
2
j
2
2
(8.1.10)
a
2
b
2
i ostatecznie ugięcie płyty piszemy zgodnie z (8.1.3):
w
 
x
,
y
16
p
0
 
sin
i
x
sin
j
y
D
6
2
(8.1.11)
i
2
j
2
i
1
,
3
,
5
j
1
,
3
,
5
ij
a
2
b
2
Największe ugięcie wystąpi w środku płyty tj. przy
x
0
,
y
0
. Wyniesie ono:
3
p const.
 
1
i
j
1
4
16
p
2
p
a
b
0
0
W
 
max
6
2
D
a
(8.1.12)
D
i 3
 
1
,
j
1
i
2
j
2
ij
a
2
b
2
Jest ono zależne od stosunku boków b / a. Siły przekrojowe wyznaczamy z zależ-
ności (8.1.8). Np. funkcje momentów zginających obliczmy wzorami (8.1.8a);
m
x
D
 
 
 
2
i

2
j
w
ij
sin
i
x
sin
j
y
i 3
1
3
j
1
(8.1.13)
m
y

 
D
 
2
j

2
i
w
ij
sin
i
x
sin
j
y
i 3
1
3
j
1
Pozostałe siły przekrojowe wyznacza się w podobny sposób stosując wzory
(8.1.8b-d). Maksymalne momenty zginające wystąpią również w środku rozpiętości
płyty:
max
m
x
m
x
(
x
a
/
2
y
b
/
2
p
0
a
2
1
,
2
max
m
y
m
y
(
x
a
/
2
y
b
/
2
p
0
a
2
.
.
(8.1.14)
W tablicy 8.1 zestawiono wartości współczynnika w zależności od stosunku boków
b/a, przy współczynniku Poissona 0
Tablica 8.1
b/a
1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 5.0
W
max a
D
/
p
4
0
0.00406 0.00564 0.00772 0.01013 0.01223 0.01297 0.01302
max
m
/
p
a
2
1
x
0
0.0479 0.0627 0.0812 0.1017 0.1184 0.1246 0.1250
max
m
/
p
a
2
2
y
0
0.0479 0.0501 0.0498 0.0464 0.0406 0.0375 0.0375
Celem zorientowania się w zbieżności rozwiązania podano wyniki obliczeń dla płyty
kwadratowej 3
.
0
.
b 
/
a
1
i,j = 1 i,j=1,3 i,j=1,3,5
0.004161 0.004055 0.004053
= 2
1
0.05475 0.04813 0.04777
4
Przykład 8.2: Płyta o tych samych wymiarach geometrycznych jak w przykł.1
obciążona skupioną siłą P przyłożoną w dowolnym punkcie o współrzędnych c
x  ,
y  .
Funkcję obciążenia  
p możemy przedstawić wykorzystując deltę Diraca:
x
,
y
 
0
dla
2
     
0
f
d
f
,
(8.1.15)
0
0
dla
0
0
1
w następujący sposób:
Całka występująca po prawej stronie równania (8.1.7) przyjmuje postać:
a
b
   
a
 
b
 
 
P
x
c
y
d
sin
x
sin
y
dx
dy
P
x
c
sin
x
dx
y
d
sin
y
dy
i
j
i
j
0
0
0
0
P
sin
i
c
sin
j
d
,
(
.
1
.
16
)
którą podstawiamy do wzoru (8.1.7)
W
4
sin
i
c
sin
j
d
ij
i
2
j
2
2
,
(8.1.17)
D
4
ab
a
2
b
2
Stąd otrzymujemy funkcję ugięcie płyty:
w
 
,
y
4
P

sin
i
c
sin
j
d
sin
x
sin
y
D
4
ab
2
i
j
(8.1.18)
i
2
j
2
i 1
1
a
2
b
2
Przykład 8.3. Funkcja ugięcia prostokątnej płyty swobodnie podpartej,obciążonej
ścianą działową  
P biegnącą wzdłuż prostej 0
N
/
m
x 
x
.
Funkcję obciążenia  
p możemy przedstawić w sposób następujący:
x
,
y
(8.1.19)
Całka iterowana przyjmuje postać:
a
b
 
a
 
b
P
x
x
sin
x
sin
ydx
dy
P
x
x
sin
x
dx
sin
ydy
0
i
j
0
i
j
0
0
0
0
5
d
x
j

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin