układy_rownań_liniowych.pdf

(209 KB) Pobierz
UK£ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH
U KŁADY R ÓWNAŃ L INIOWYCH
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi
x
1
,
x
2
,
K
,
x
n
, gdzie
m ,
n
∈
ℕ
nazywamy układ równań postaci
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
K
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
K
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
(*)
M
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
K
+
a
mn
x
n
=
b
m
gdzie
a
ij
∈
ℝ ,
b
i
∈
ℝ dla i
=
1 K
,
m
,
j
=
1 K
,
n
.
Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej
AX = B ,
a
11
a
12
K
a
1
n
a
a
K
a
gdzie A =
21
22
2
n
nazywamy macierzą główną układu (macierzą
M
M
M
a
a
K
a
m
1
m
2
mn
x
1
b
1
x
b
współczynników), X = jest macierzą niewiadomych, a B
2
2
=
jest macierzą
M
M
x
b
n
m
wyrazów wolnych (sprawdzić jako ćwiczenie).
Rozwiązaniem układu (*) jest każdy ciąg
x
1
, 2
x
,
K
,
x
n
liczb rzeczywistych
spełniających ten układ.
Jeżeli B jest macierzą zerową (wektorem zerowym), to układ równań
AX = 0 ,
Nazywamy układem jednorodnym. W przeciwnym razie mówimy o układzie
niejednorodnym.
0
0
Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest wektor zerowy X
=
.
M
0
Arkadiusz Lisak
1
UKŁAD CRAMERA
Układ n równań liniowych z n niewiadomymi
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
K
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
K
+
a
2
n
x
n
=
b
2
M
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
K
+
a
nn
x
n
=
b
n
nazywamy układem Cramera, gdy macierz układu jest macierzą nieosobliwą
(
det ≠
0
).
ROZWIĄZYWANIE UKŁADU CRAMERA
I sposób
TW . Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami
x
1 = ,
det
A
1
x
2 = , K ,
det
A
2
x
det = ,
A
n
n
det
A
det
A
det
A
gdzie dla oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej
i -tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
A
i
=
1 K
,
n
Przykładem jest metoda wyznacznikowa rozwiązywana układu dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi stosowana w szkole średniej.
II sposób
Rozwiązanie układu Cramera wyraża się wzorem
X = A -1 ⋅ B ,
gdzie A -1 jest macierzą odwrotną do macierzy nieosobliwej A (sprawdzić jako
ćwiczenie)
Arkadiusz Lisak
2
A
680325760.001.png
UKŁAD m RÓWNAŃ LINIOWYCH Z n NIEWIADOMYMI
Niech dany będzie układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
K
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
K
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
(*)
M
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
K
+
a
mn
x
n
=
b
m
przy czym
m <
n
lub
m =
n
lub
m >
n
.
Macierzą uzupełnioną A/B macierzy A nazywamy macierz powstałą przez dopisanie
do macierzy A kolumny utworzonej z wyrazów wolnych układu (z macierzy wyrazów
wolnych).
a
11
a
12
K
a
1
n
b
1
a
a
K
a
b
A/B
=
21
22
2
n
2
M
M
M
M
a
a
K
a
b
m
1
m
2
mn
m
TWIERDZENIE KRONECKERA-CAPELLIEGO
TW. Układ równań liniowych (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
macierzy głównej układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej
rz A =rz A/B = r .
Oczywiście
r ≤
n
. Wtedy
• gdy
r =
n
, to układ równań (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• gdy
r <
n
, to układ (*) ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od
n −
r
dowolnych parametrów.
WN. Jeśli rz A ≠rz A/B , to układ jest układem sprzecznym (nie ma rozwiązań).
Arkadiusz Lisak
3
Rozwiązywanie układu m równań z n niewiadomymi, w którym rz A =rz A/B = r < n
• w macierzy A znajdujemy podmacierz nieosobliwą stopnia r ,
• z układu (*) tworzymy układ zredukowany A ’ o r niewiadomych, w którym
niewiadome są tylko te, których współczynniki występują w macierzy A ’ ;
pozostałe niewiadome traktujemy jako parametry i przenosimy na druga stronę
z ich współczynnikami,
• otrzymany układ zredukowany jest układem Cramera o r niewiadomych –
rozwiązujemy ten układ jak układ Cramera.
x
−
y
+
2
z
=
2
Przykład.
x
+
3
y
−
z
=
1
2
x
−
2
y
+
4
z
=
4
Nie jest to układ Cramera, bo det A =0. Ale
1
−
1
2
rz A =rz
1
3
−
1
=2,
2
−
2
4
1
−
1
2
2
rz A / B =rz
1
3
−
1
1
=2,
2
−
2
4
4
czyli r < n i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Weźmy A ’ =
−
3
1
1
, więc det A ’ =4. Wtedy
1
x
−
y
=
2
−
2
z
.
x
+
3
y
=
1
+
z
Jest to układ Cramera ze względu na niewiadomą x i y .
2
−
2
z
−
1
x
=
det
A
'
1
=
1
+
z
3
=
6
−
6
z
+
1
+
z
=
−
5
z
+
7
=
−
5
z
+
7
det
A
'
4
4
4
4
4
1
2
−
2
z
y
=
det
A
'
2
=
1
1
+
z
=
1
+
z
−
2
+
2
z
=
3
z
−
1
=
3
z
−
1
det
A
'
4
4
4
4
4
Ostateczne rozwiązanie układu równań:
x
= t
−
5
+
7
,
y
= t
3
−
1
,
z =
t
, gdzie t ℝ .
∈
4
4
4
4
Arkadiusz Lisak
4
680325760.002.png 680325760.003.png 680325760.004.png
WNIOSKI
Niech dany będzie układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
K
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
K
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.
M
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
K
+
a
mn
x
n
=
b
m
•
n
det ≠
A
0
, to układ jest ukladem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie
(jest to przypadek z tw. Kroneckera-Capelliego, gdy rz A =rz A/B = n ),
A
o rz A =rz A/B <n , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (twierdzenie
0
Kroneckera-Capelliego),
o rz A ≠rz A/B , to układ nie ma rozwiązań (tw. Kroneckera-Capelliego).
• lub
n
m >
n
(tw. Kroneckera-Capelliego)
rz A =rz A/B <n , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań,
rz A =rz A/B = n , to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
rz A ≠rz A/B , to układ nie ma rozwiązań.
Są to wszystkie możliwe przypadki, bo oczywiście zawsze rz A i jeśli
≤
n
m =
n
oraz
det =
0
, to rz A ≠ n .
TW. Układ jednorodny m równań liniowych z n niewiadomymi posiada rozwiązania
niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest mniejszy od n ,
tzn. jest mniejszy od ilości niewiadomych. W przeciwnym razie jedynym jego
rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe.
Arkadiusz Lisak
5
m =
det =
m <
A

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin