13 / יג
Spis treści:
Rachunek różniczkowy i całkowy
Granica ciągu
Twierdzenia o ciągach
Granica funkcji
Ciągłość funkcji liczbowych
Własności funkcji ciągłych
Pochodna funkcji
Różniczka funkcji
Obliczanie pochodnych
Twierdzenie Rolle’a
Twierdzenie l’Hospitala
Twierdzenie o przyrostach
Ekstremum funkcji
Twierdzenie i wzór Taylora
Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji. Punkt przegięcia.
Rachunek całkowy jednej zmiennej
Warunki R-całkowalności
Własności całki oznaczonej
Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego
Zastosowanie całki oznaczonej
Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej
Całki niewłaściwe zależne od parametru
Szeregi liczbowe i funkcyjne.
Szereg liczbowy
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Szeregi o wyrazach dowolnych
Szeregi funkcyjne
Szeregi potęgowe
Szereg Taylora
Twierdzenia Banacha
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Zbiory w przestrzeni Rn
Funkcje wielu zmiennych
Granica i ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji n zmiennych.
Pochodne cząstkowe
Funkcje zmiennej zespolonej
Płaszczyzna zespolona otwarta i domknięta.
Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej
Funkcja holomorficzna
Ciągi i szeregi funkcji zespolonych
Funkcje wieloznaczne
Całka funkcji zmiennej zespolonej
Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego
Wzór całkowy Cauchy’ego
Szereg Laurenta
Punkty osobliwe odosobnione
Residuum funkcji
Przekształcenia całkowe
Wzór całkowy Fouriera
Przekształcenie Laplace’a
Rachunek operatorowy
Własności przekształcenia Laplace’a
Def. Produktem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych <x, y>, gdzie x Î X i y Î Y. [<x, y> Î XxY] Û [(x Î X) Ù (y Î Y)]
Def. Relacja binarna w zb. X jest:
gdy spełnione 1 - 3 to relacja jest relacją równoważności w X.
Def. Relację (£) w X, która jest refleksyjna, tranzytywna oraz słabo antysymetryczna nazywamy porządkiem. Porządek spójny nazywamy porządkiem liniowym.
Def. (Tw. Dirichleta) Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f: A ® B | A ~ B.
Def. Mówimy, że zbiory równoliczne, A i B mają tę samą moc.
Tw. Jeżeli (R, +, *, 0, 1, £) jest ciałem uporządkowanym i ma własności kresu, to systemy (R, +, *, 0, 1) i (R, +, *, 0, 1, £) są izomorficzne, tzn. istnieje bijekcja f: R ® R, który zachowuje wszystkie działania strukturalne.
Lemat Adama Każda liczba x Î R może być granicą pewnego ciągu liczb wymiernych.
Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli dla każdego e > 0 istnieje taka liczba d, że dla każdego n > d spełniona jest nierówność |an - g| < e. Piszemy przy tym lim an = g.
lim an = g Û "e>0 $d "n>d |an - g| < e
Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Def. Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do plus (minus) nieskończoności wtwg "M $d "n>d an > (<) M i piszemy lim an = +(-)¥
Tw. Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Tw. (Bolzano-Weierstrass) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Tw. (o trzech ciągach) Jeżeli lim an = lim cn = g, a ponadto istnieje taka liczba d0, że dla każdego n > d0 spełniona jest nierówność an £ bn £ cn, to lim bn = g.
Tw. (o zachowaniu nierówności słabej) Jeżeli i oraz istnieje taka liczba d0, że dla każdego n > d0 spełniona jest nierówność an £ bn, to a £ b.
Tw. (Warunek Cauchy’ego zbieżności ciągu) Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby e > 0 istnieje liczba d taka, że dla każdych dwóch liczb naturalnych r i s większych od d spełniona jest nierówność |ar - as| < e. (an) zb. Û "e>0 $d "r,s>d |ar - as| < e
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, lim an = a, lim bn = b, to ciągi (an ± bn), (an * bn), (an / bn) są także zbieżne, przy czym: lim (an ± bn) = a ± b, lim (an * bn) = a * b, lim (an / bn) = a / b (bn i b ¹ 0).
Def. Mówimy, że ciąg (an) punktów przestrzeni metrycznej Xd jest zbieżny do elementu g przestrzeni Xd wtwg "e>0 $d "n>d d(<an, g>) < e.
Def. Zbiór Q(x0; r) = {x Î X: d(<x0, x>) < r} nazywamy otoczeniem punktu x0. Liczbę r nazywamy promieniem otoczenia.
Def. Zbiór S(x0; r) = Q(x0; r) - {x0} nazywamy sąsiedztwem punktu x0 Î X.
Def. Punkt x0 Î X nazywamy punktem skupienia zbioru A Ì X wtwg do każdego otoczenia Q(x0; r) należy co najmniej jeden różny od x0 punkt x Î A. "e>0 $x Î A x Î S(x0; e).
Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A Ì X wtwg istnieje ciąg (xn) o wyrazach należących do zbioru A - {x0} i taki, że.
Def. Punkt X0 przestrzeni metrycznej Xd nazywamy punktem izolowanym zbioru A Ì X wtwg x0 Î A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbioru A.
Def. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 g granicę g i piszemy wtwg dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru D...
sosel