wyklad11.pdf

WykÃlad11

Rz , admacierzy

Niech A b , edzie m×n -macierz , anadciaÃlem K .W´owczaswierszemacierzy A mo˙zemyw

naturalnyspos´obtraktowa´cjakowektoryprzestrzeni K n ,za´skolumnymacierzy A mo˙zemytrak-

towa´cjakowektoryprzestrzeni K m . Rz , edemwierszowym macierzy A nazywamymaksymaln , a

ilo´s´cjejliniowoniezale˙znychwierszy.Natomiast rz , edemkolumnowym macierzy A nazywamy

maksymaln , ailo´s´cjejliniowoniezale˙znychkolumn.Rz , adwierszowyirz , adkolumnowymacierzy

A oznaczamyodpowiedniosymbolami: r w ( A )i r k ( A ).

Ztegookre´sleniawynikaodrazu,˙zedladowolnejmacierzy A :

r w ( A )= r k ( A T )oraz r k ( A )= r w ( A T ) . (1)

Ponadtozokre´sleniarz , edumacierzymamynatychmiast,˙ze

r w (0 m×n )= r k (0 m×n )=0 . (2)

Ztwierdzenia13zwykÃladu9wynikaodrazu,˙zerz , adwierszowymacierzy A jest

r´ownywymiarowipodprzestrzenigenerowanejprzezjejwektorywierszowe,za´s

rz , adkolumnowymacierzy A jestr´ownywymiarowipodprzestrzenigenerowanej

przezwektorykolumnowemacierzy A .

PonadtozwÃlasno´scioperacjielementarnychmamy,˙zerz , adwierszowymacierzy A nie

zmieniasi , eprzystosowaniuoperacjielementarnychnawierszachtejmacierzyoraz

rz , adkolumnowymacierzy A niezmieniasi , eprzystosowaniuoperacjielementarnych

nakolumnachtejmacierzy.

Lemat1.Je˙zelidopewnegowierszamacierzydodamyinnyjejwierszpomno˙zonyprzez

dowolnyskalar,torz , adkolumnowytejmacierzynieulegniezmianie.

Dow´od.Niech A =[ a ij ]b , edzie m×n -macierz , anadciaÃlem K .Dlauproszczeniaznakowania

zaÃlo˙zymy,˙zedopierwszegowierszamacierzy A dodanodrugijejwierszpomno˙zonyprzezskalar

a2K ioznaczmyprzez B =[ b ij ]macierzuzyskan , awwynikutejoperacji.Niech r = r k ( A ).

Oznaczato,˙zepewne r -kolumnmacierzy A s , aliniowoniezale˙zne.Dlauproszczeniaznakowania

zaÃl´o˙zmy,˙zepierwsze r -kolumnymacierzy A s , aliniowoniezale˙zne.Udowodnimy,˙zew´owczas

pierwsze r -kolumnymacierzy B te˙zs , aliniowoniezale˙zne.Niech A j oraz B j oznaczaj , a j -t , a

kolumn , emacierzy A i B odpowiednio.We´zmydowolne x 1 ,...,x r 2K takie,˙ze x 1 ±B 1 + ... +

x r ±B r =£.Wtedy

a 11 + aa 21

a 21

. . .

a m 1

a 1 r + aa 2 r

a 2 r

. . .

a mr

x 1 ±

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

+ ... + x r ±

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

=0 m× 1 ,

wi , ec

8 > > > > <

( a 11 + aa 12 ) x 1 + ... +( a 1 r + aa 2 r ) x r =0

a 21 x 1 + ... + a 2 r x r =0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a m 1 x 1 + ... + a mr x r =0

> > > > :

sk , adpoodj , eciuodpierwszejr´owno´scir´owno´scidrugiejpomno˙zonejprzez a uzyskamy,˙ze x 1 ±

A 1 + ... + x r ±A r =£.Zatemzliniowejniezale˙zno´scikolumn A 1 ,...,A r wynika,˙ze x 1 =

... = x r =0ikolumny B 1 ,...,B r s , aliniowoniezale˙zne.Zatem r k ( B ) ¸r k ( A ).Alemacierz

A powstajezmacierzy B przezdodaniedopierwszegowierszadrugiegowierszapomno˙zonego

przezskalar( −a ),wi , eczpierwszejcz , e´scidowodu r k ( A ) ¸r k ( B )iostatecznie r k ( A )= r k ( B ).

Z(1)izlematu1wynikaodrazu,˙zeprawdziwyjestte˙znast , epuj , acy

Lemat2.Je˙zelidopewnejkolumnymacierzydodamyinn , ajejkolumn , epomno˙zon , aprzez

dowolnyskalar,torz , adwierszowyowytejmacierzynieulegniezmianie. 2

Lemat3.Niech m,n¸ 2iniech A =[ a ij ]b , edzie m×n -macierz , anadciaÃlem K tak , a,˙ze

dlapewnych k , l jest a kl 6 =0oraz a il =0dlawszystkich i6 = k i a kj =0dlawszystkich j6 = l .

W´owczas r w ( A )=1+ r w ( A ij )oraz r k ( A )=1+ r k ( A ij ).

Dow´od.Niech r = r k ( A ij ).Istniej , aw´owczaskolumny B 1 ,...,B r macierzy A ij ,kt´ores , a

liniowoniezale˙zneitakie,˙zeka˙zdakolumnamacierzy A ij jestichkombinacj , aliniow , a.Oznaczmy

przez A j kolumn , emacierzy A powstaj , ac , aprzezdopisanie0w k -tymwierszumacierzy B j dla j =

1 ,...,n .Niech A r +1 oznacza l -t , akolumn , emacierzy A .We´zmydowolne x 1 ,...,x r +1 2K takie,

˙ze x 1 ±A 1 + ... + x r +1 ±A r +1 =£ .Wtedyx r +1 a kl =0,sk , ad x r +1 =0oraz x 1 ±B 1 + ... + x r ±B r =£.

Zatemzliniowejniezale˙zno´sci B 1 ,...,B r jest x 1 = ... = x r =0.St , adkolumny a 1 ,...,A r +1 s , a

liniowoniezale˙zne.Niech X b , edziedowoln , akolumn , amacierzy A onumerzer´o˙znymod l .Niech

Y b , edziekolumn , amacierzy A ij powstaj , ac , az X przezwykre´slenie k -tegowiersza(kt´oryskÃlada

si , ezjednegozera!).Wtedyistniej , a a 1 ,...,a r 2K takie,˙ze Y = a 1 ±B 1 + ... + a r ±B r ,sk , ad

X = a 1 ±A 1 + ... + a r ±A r .Wynikast , ad,˙zewszystkiekolumnymacierzy A s , akombinacjami

liniowymikolumn A 1 ,...,A r ,A r +1 .Oznaczato,˙ze r k ( A )= r +1=1+ r k ( A ij ).

Dow´oddrugiejcz , e´scilematuwynikanatychmiastz(1)izpierwszejjegocz , e´sci. 2

Twierdzenie1.Rz , adkolumnowydowolnejmacierzyr´ownyjestjejrz , edowiwierszowemu.

Dow´od.Indukcjawzgl , edemliczby m wierszymacierzy.Je˙zeli m =1,to A =[ a 1 a 2 ...a n ]

dlapewnychskalar´ow a 1 ,...,a n .Je˙zeli a 1 = ... = a n =0,to r w ( A )=0= r k ( A ).Je˙zeliza´s

a j 6 =0dlapewnego j =1 ,...,n ,to r w ( A )=1= r k ( A ).Zatemtezazachodzidla m =1.

Niechteraz m b , edzieliczb , anaturaln , awi , eksz , aod1itak , a,˙zetezazachodzidlawszystkich

macierzynadciaÃlem K ,kt´oremaj , amniejni˙z m wierszy.We´zmydowoln , a m×n -macierz

A =[ a ij ]nadciaÃlem K .Je´sli A =0 m×n ,to r w ( A )=0= r k ( A ).Niechzatem A6 =0 m×n .Wtedy

istniej , a k , l takie,˙ze a kl 6 =0.Je´sli n =1,to r w ( A )= r k ( A T ),wi , eczzaÃlo˙zeniaindukcyjnego

r k ( A T )= r w ( A T )= r k ( A ),czyli r w ( A )= r k ( A ).Niechdalej n> 1.Niech B =[ b ij ]b , edzie

macierz , apowstaj , ac , azmacierzy A przezwykonanieoperacjielementarnych: w i − a il

a kl ±k l dla

wszystkich j6 = l .Wtedy r k ( C )= r k ( B )orazzlematu2, r w ( C )= r w ( B ).Alezlematu3mamy,

a kl ±w k dla

wszystkich i6 = k .Wtedy r w ( B )= r w ( A )orazzlematu1, r k ( B )= r k ( A ).Niechdalej C b , edzie

macierz , apowstaj , ac , azmacierzy B przezwykonanieoperacjielementarnych: k j − b kj

˙ze r w ( C )=1+ r w ( C kl )oraz r k ( C )=1+ r k ( C kl ).ZzaÃlo˙zeniaindukcyjnego r w ( C kl )= r k ( C kl ).

Zatem r w ( A )=1+ r k ( C kl )= r k ( A ). 2

Wsp´oln , awarto´s´crz , edukolumnowegoiwierszowegomacierzy A nazywamy rz , edemmacierzy

A ioznaczamyprzez r ( A ).Ztwierdzenia1orazzpocz , atkowejcz , e´scitegowykÃladumamyod

razunast , epuj , ace

Twierdzenie2.Operacjeelementarnewykonywanenawierszachlubkolumnachmacierzy

niezmieniaj , ajejrz , edu. 2

Ztwierdzenia1orazzewzoru(1)wynikaodrazunast , epuj , ace

Twierdzenie3.Dladowolnejmacierzy A : r ( A )= r ( A T ). 2

Twierdzenie3.Niech A =[ a ij ]b , edzietak , a m×n -macierz , anadciaÃlem K ,˙ze a kl 6 =0dla

pewnych k , l oraz a il =0dlawszystkich i6 = k .Wtedy r ( A )=1+ r ( A kl ).

Dow´od.Oznaczmyprzez B macierzpowstaj , ac , azmacierzy A przezwykonanieoperacji

elementarnych: k j − a kj

Twierdzenie4.Niech A =[ a ij ]b , edziemacierz , akwadratow , astopnia n nadciaÃlem K .

W´owczasr´ownowa˙znes , awarunki:

(i) r ( A )= n ,

(ii)det( A ) 6 =0.

Dow´od.(i) ) (ii).Poniewa˙zwszystkiekolumny A 1 ,...,A n macierzy A s , aliniowoniezale˙zne

ijestich n ,wi , ectworz , aonebaz , eprzestrzeni K n .Wynikast , ad,˙zedlaka˙zdego i =1 ,...,n

istniej , askalary x i 1 ,...,x in 2K takie,˙ze x i 1 ·A 1 + ... + x in ·A n = ² i .Niech X =[ x ij ] i,j =1 ,...,n .

Wtedy A·X = I n ,sk , adztwierdzeniaCauchy’egodet( A ) 6 =0.

(ii) ) (i).Poniewa˙zdet( A ) 6 =0,wi , ecistniejemacierz X =[ x ij ] 2M n ( K )taka,˙ze A·X = I n .

Wtedydlaka˙zdego i =1 ,...,n mamy,˙ze ² i = x i 1 ·A 1 + ... + x in ·A n ,wi , eckolumnymacierzy

A generuj , aprzestrze´n K n .St , adnamocytwierdzenia5zwykÃladu10tekolumnys , aliniowo

niezale˙zne,czyli r ( A )= n . 2

Deﬁnicja.Niech A b , edzie m×n -macierz , anadciaÃlem K orazniech k b , edzieliczb , anaturaln , a

tak , a,˙ze k· max {m,n} . Minorem stopnia k macierzy A nazywamywyznacznikmacierzy

kwadratowejstopnia k ,kt´orapowstajezmacierzy A przezwykre´slenie m−k wierszyoraz n−k

kolumn.

Twierdzenie5.Rz , adniezerowejmacierzyjestr´ownymaksymalnemustopniowijejnieze-

rowegominora.

Dow´od.Niech A b , edzieniezerow , a m×n -macierz , anadciaÃlem K .Oznaczmyprzez k

maksymalnystopie´nniezerowegominoramacierzy A orazprzez r rz , adtejmacierzy.Wtedy

pewne r wierszemacierzy A s , aliniowoniezale˙zne.Wykre´slaj , acpozostaÃlewierszeuzyskamy

k×n -macierz B orz , edzie r .Zatemztwierdzenia1pewne r kolumnmacierzy B s , aliniowo

niezale˙zne.Wykre´slaj , acwmacierzy B pozostaÃlekolumnyuzyskamymacierzkwadratow , a C

stopnia r orz , edzie r .Zatemztwierdzenia4,det( C ) 6 =0.Aledet( C )jestminoremstopnia r

macierzy A ,wi , ec r·k .

Niechteraz D b , edziemacierz , akwadratow , astopnia k powstaj , ac , azmacierzy A przezwykre´slenie

opewnych m−k wierszyi n−k kolumntak , a,˙zedet( D ) 6 =0.Wtedyztwierdzenia4mamy,˙ze

a kl ±k l dlawszystkich j6 = l .Wtedy B kl = A kl oraznamocytwierdzenia2,

r ( A )= r ( B ).Ponadtoztwierdzenia1izlematu3, r ( B )=1+ r ( B kl ).Zatem r ( A )=1+ r ( A kl ).

r ( D )= k .Niech X b , edziemacierz , apowstaj , ac , azmacierzy A przezwykre´slenietychsamych

wierszy,codlamacierzy D .Wtedy r ( X ) ·k orazwszystkiekolumnymacierzy D s , aliniowo

niezale˙zne,wi , ec r ( X ) ¸k iostatecznie r ( X )= k .St , adzdeﬁnicjirz , eduwierszowegomacierzy

mamy,˙ze k·r iostatecznie r = k . 2

Zastosowanierz , edumacierzydorozwi , azywaniaukÃlad´owr´owna´nliniowych

Niechdanyb , edzieterazdowolnyukÃlad m -r´owna´nliniowychz n -niewiadomymi x 1 ,...,x n

nadciaÃlem K :

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2

. . . . . . . . . . . .

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m

, (3)

Macierz , awsp´oÃlczynnik´ow ukÃladu(3)nazywamymacierz:

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

A =

a 11 a 12 ...a 1 n

a 21 a 22 ...a 2 n

. . . . . . . . . . . .

a m 1 a m 2 ...a mn

, (4)

za´s macierz , auzupeÃlnion , a ukÃladu(3)nazywamymacierz:

a 11 a 12 ...a 1 n b 1

a 21 a 22 ...a 2 n b 2

. . . . . . . . . . . . . . .

a m 1 a m 2 ...a mn b m

A u =

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

. (5)

Twierdzenie6(Kroneckera-Capellie’go).UkÃlad(3)marozwi , azaniewtedyitylkowtedy,

gdy r ( A )= r ( A u ).PonadtoukÃlad(3)madokÃladniejednorozwi , azaniewtedyitylkowtedy,

gdy r ( A )= r ( A u )= n .

Dow´od.Oznaczmyprzez ® j j -t , akolumn , emacierzy A iniech ¯ =[ b 1 ,...,b m ].UkÃlad(3)

mo˙znawtedyzapisa´cjakor´ownaniewektorowe:

x 1 ±® 1 + ... + x n ±® n = ¯. (6)

Je˙zeli( a 1 ,...,a n )jestrozwi , azaniemukÃladu(3),to a 1 ±® 1 + ... + a n ±® n = ¯ ,sk , adna

mocytwierdzenia4zwykÃladu8itwierdzenia2zwykÃladu9mamy,˙ze lin ( ® 1 ,...,® n ,¯ )=

lin ( ® 1 ,...,® n ),czyli r ( A u )= r ( A ).Naodwr´ot,zaÃl´o˙zmy,˙ze r ( A u )= r ( A ).Wtedydim lin ( ® 1 ,...,® n )=

dim lin ( ® 1 ,...,® n ,¯ ),wi , ecztwierdzenia3zwykÃladu10mamy,˙ze lin ( ® 1 ,...,® n ,¯ )= lin ( ® 1 ,...,® n ),

sk , ad ¯2lin ( ® 1 ,...,® n ),czyliistniej , a a 1 ,...,a n 2K takie,˙ze ¯ = a 1 ±® 1 + ... + a n ±® n i

w´owczas( a 1 ,...,a n )jestrozwi , azaniemukÃladu(3).

Pozostajeudowodni´cdrug , acz , e´s´ctwierdzenia.ZaÃl´o˙zmynajpierw,˙ze r ( A u )= r ( A )= n .

W´owczaskolumny ® 1 ,...,® n s , aliniowoniezale˙zne,wi , ectworz , abaz , epodprzestrzeni lin ( ® 1 ,...,® n ).

Alewtedydim lin ( ® 1 ,...,® n )=dim lin ( ® 1 ,...,® n ,¯ ),sk , ad lin ( ® 1 ,...,® n )= lin ( ® 1 ,...,® n ,¯ ),

czyli ¯2lin ( ® 1 ,...,® n ).Zatemztwierdzenia14zwykÃladu9mamy,˙zeistniejedokÃladniejeden

ci , ag( a 1 ,...,a n ) 2K n taki,˙ze ¯ = a 1 ±® 1 + ... + a n ±® n ,wi , ecukÃlad(3)madokÃladniejedno

rozwi , azanie.Naodwr´ot,zaÃl´o˙zmy,˙zeukÃlad(3)posiadadokÃladniejednorozwi , azanie( a 1 ,...,a n ).

W´owczaszpierwszejcz , e´scidowodu r ( A u )= r ( A ).Wystarczyzatemwykaza´c,˙zewektory

® 1 ,...,® n s , aliniowoniezale˙zne.Aleje˙zeli b 1 ,...,b n 2K s , atakie,˙ze b 1 ±® 1 + ... + b n ±® n =£,

to( a 1 + b 1 ) ±® 1 + ... +( a n + b n ) ±® n = a 1 ±® 1 + ... + a n ±® n +£= ¯ ,wi , ec( a 1 + b 1 ,...,a n + b n )

jestrozwi , azaniemukÃladu(3),sk , ad a i + b i = a i ,czyli b i =0dla i =1 ,...,n ,awi , ecwektory

® 1 ,...,® n s , aliniowoniezale˙zne. 2

Zrezultat´owuzyskanychnanaszychwykÃladachwynika,˙zemo˙znastosowa´cnast , epuj , acy

schematpost , epowaniadlaznalezieniawszystkichrozwi , aza´nukÃladu(3).Najpierwobliczamy

r ( A )i r ( A u ).Je˙zeli r ( A ) 6 = r ( A u ),toukÃlad(3)niemarozwi , azania.Je´sliza´s r = r ( A )= r ( A u ),

toukÃladposiadarozwi , azanie.Wyznaczamyw´owczas r liniowoniezale˙znychwierszywmacierzy

A u iwykre´slamywszystkiepozostaÃlejejwiersze.Wotrzymanejmacierzyznajdujemy k lin-

iowoniezale˙znychkolumn.Nast , epniewprzeksztaÃlconymukÃladzier´owna´nprzenosimynapraw , a

stron , ewszystkieniewiadomeonumerachpozostaÃlych n−k kolumnistosujemywzoryCramera

dlaobliczeniapozostaÃlychniewiadomych(natomiastniewiadomeprzenoszonenadrugiestrony

s , adowolnymielementamiciaÃla K ).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: