Prawdopodobieństwo geometryczne. Zadania 2.pdf

Zadania z Rachunku Prawdopodobie«stwa I - seria 2

Prawdopodobie«stwo klasyczne i geometryczne

1. (Paradoks kawalera de Mere) Przy rzucie trzema kostkami sum¦ 11 i 12 oczek mo»na

uzyska¢ na tyle samo sposobów. Dlaczego cz¦±ciej wypada suma 11?

2. (Paradoks Bertranda) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana ci¦ciwa okr¦-

gu ma długo±¢ wi¦ksz¡ ni» bok trójk¡ta równobocznego wpisanego w ten okr¡g?

3. Do k rozró»nialnych urn wrzucono losowo n rozró»nialnych kul. Jakie jest prawdopodo-

bie«stwo, »e dokładnie m urn pozostanie pustych?

4. Rozwi¡za¢ powy»sze zadanie dla kul nierozró»nialnych.

5. Z jeziora wyłowiono 200 ryb, oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie

wyłowiono 100 ryb, a w±ród nich było 8 oznakowanych. Za rozs¡dn¡ ocen¦ liczby ryb

w jeziorze mo»na uzna¢ liczb¦ ryb, dla której zrealizowało si¦ zdarzenie o najwi¦kszym

prawdopodobie«stwie. Jaka to liczba?

6. Ka»dy z n chromosomów w komórce wystawionej na promieniowanie dzieli si¦ na dwie

cz¦±ci ró»nych typów (powiedzmy typu A i typu B). Cz¦±ci te nast¦pnie ponownie ł¡cz¡

si¦ w pary, przy czym mo»liwe jest tak»e poł¡czenie w par¦ 2 cz¦±ci tego samego typu.

Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e cz¦±ci te poł¡cz¡ si¦ w takich samych kombinacjach,

jak przed podziałem? Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e po poł¡czeniu ka»da z par b¦dzie

si¦ składa¢ z cz¦±ci ró»nych typów?

7. (*) Dane s¡ liczby k,n 2 N ( k > 1), spełniaj¡ce nierówno±¢ n < 2 k/ 2 . Udowodni¢, »e

liczby ze zbioru A n = { 1 ,...,n } mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami w ten sposób, by w

ka»dym ci¡gu arytmetycznym długo±ci k , o elementach ze zbioru A n wyst¦powały liczby

w obu kolorach.

Zadanie domowe

1. W kolejce po bilety na mecz stoi n kibiców. Ka»dy z nich nosi szalik w kolorze A lub

B. Załó»my, »e wszystkie mo»liwe układy kolorów s¡ jednakowo prawdopodobne. Jakie

jest prawdopodobie«stwo, »e »adne dwie kolejne osoby nie maj¡ szalików w tym samym

kolorze? Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e »adne dwie kolejne osoby nie maj¡ szalików

w kolorze A? Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e za »adnym kibicem z szalikiem w kolorze

A nie stoi bezpo±rednio kibic z szalikiem w kolorze B?