Zadania10zr.pdf

(158 KB) Pobierz
Microsoft Word - Zadania do rozdzialu 10a.doc
Zadania do rozdziału 10.
Zad.10.1.
Jaką wysokość musi mieć pionowe zwierciadło aby osoba o wzroście 1.80 m mogła
się w nim zobaczyć cała. Załóżmy, że oczy znajdują się 10 cm poniżej czubka głowy.
Rozwiązanie:
Aby prawidłowo rozwiązać zadanie
musimy sobie odpowiedzieć na pytanie co
to znaczy „zobaczyć” siebie w lustrze.
Oznacza to, że promienie od stóp i
czubka głowy po odbiciu się od
zwierciadła – zgodnie z prawami Snelliusa
trafią do naszego oka.
Najkorzystniejszy jest układ taki
gdy dolny koniec lustra (punkt b) jest w
połowie wysokości pomiędzy okiem a
podłogą czyli punkt b powinien być 85 cm
nad podłogą.
Również punkt górny lustra (punkt a) powinien być w połowie odległości pomiędzy
okiem a czubkiem głowy czyli na wysokości 175 cm.
Tak więc lustro powinno mieć
175 – 85 = 90 cm
Zad.10.2
Punktowe źródło światła zanurzono do wody na głębokość h = 1 m. Oblicz średnicę
koła na powierzchni wody, z którego światło wydobywa się z wody, jeżeli współczynnik
załamania wody względem powietrza wynosi n = 1.33.
Rozwiązanie:
Zgodnie z prawem Snelliusa
sin
β
=
n
sin
α
„Plama” świata jest ograniczona do
obszaru gdzie promień światła może wyjść
119
74200153.008.png
z wody do powietrza. Graniczny promień jest zdefiniowany przez efekt całkowitego
wewnętrznego odbicia.
=α
α
gr
gdy
π
=β
2
wtedy
sin =β
1
1
=
n
→
sin
α
=
1
=
1
gr
sin
α
n
1
.
33
gr
Promień r możemy wyznaczyć z trójkąta OCB
r
=
ctg
π
−
α
gr
h
2
r
=
h
⋅
ctg
π
−
α
gr
2
średnica
π
cos
α
1
−
sin
2
α
gr
gr
d
=
2
=
2
h
ctg
−
α
=
2
h
=
2
h
≅
1
.
76
m
gr
2
sin
α
sin
α
gr
gr
Zad.10.3.
W roku 1650 Pierre Fermat odkrył ważną zasadę, którą formułujemy następująco:
Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której
przebycie trzeba zużyć – w porównaniu z innymi sąsiednimi drogami – minimum albo
maksimum czasu.
W oparciu o tą zasadę wyprowadź prawa odbicia i załamania światła.
Rozwiązanie:
1. Prawo odbicia
Rozważmy dwa punkty AB i biegnący pomiędzy nimi promień po drodze APB.
Oznaczmy: x – jest zmienną zależną od
położenia punktu P.
Całkowita długość l wynosi:
l
=
AP
+
PB
=
a
2
+
x
2
+
b
2
+
( ) 2
−
x
Minimum (maksimum) funkcji możemy
określić przez przyrównanie pochodnej do
zera.
Czyli żądamy aby:
120
r
d
74200153.009.png 74200153.010.png
 
dl =
0
dl
1
( )
−
1
1
[ ] ( )( ) 0
−
1
2
2
2
( )
2
=
a
+
x
2
⋅
2
x
+
b
+
d
−
x
2
⋅
2
d
−
x
−
1
=
dx
2
2
porządkując wyrażenie otrzymujemy:
x
−
d
−
x
=
0
2
2
2
( )
2
a
+
x
b
+
d
−
x
x
=
d
−
x
2
2
2
( ) 2
a
+
x
b
+
d
−
x
Patrząc na rysunek widać, że
x
=
sin
θ
1
2
2
a
+
x
d
−
x
=
sin
θ
2
2
( )
2
b
+
d
−
x
sin
θ
1
=
sin
θ
2
powyższe możemy zapisać:
θ
1
=
θ
2
czyli kąt padania θ 1 równa się kątowi odbicia θ 2 .
2. Prawo załamania
W tym przypadku wprowadzamy
dodatkowe pojęcie drogi optycznej (l opt )
l ⋅
opt
=
n
l
geometrycz
na
Czas przebiegu promienia od punktu A do
P i dalej od P do B jest
t
=
l
1
+
l
2
υ
υ
1
2
ale wiemy, że
n
= c
, czyli
n
=
c
;
n
=
c
υ
1
2
υ
υ
1
2
stąd
t
=
n
1
l
1
+
n
2
l
2
=
l
opt
c
c
Zgodnie z zasadą Fermata l opt musi być minimalne:
121
dx
74200153.001.png 74200153.002.png
 
Zatem
dl opt =
dt
0
l
opt
=
n
1
l
1
+
n
2
l
2
=
n
1
a
2
+
x
2
+
n
2
b
2
+
( ) 2
d
−
x
dl
opt
1
( )
−
1
1
( [ ] ( )( ) 0
−
1
2
2
2
2
=
n
a
+
x
2
⋅
2
x
+
n
b
+
d
−
x
2
⋅
2
d
−
x
−
1
=
1
2
dx
2
2
Porządkując wyrażenie otrzymujemy
n
x
=
n
d
−
x
1
2
2
2
2
( ) 2
a
+
x
b
+
d
−
x
Porównując z rysunkiem otrzymujemy:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
czyli znane prawo załamania.
Zad.10.4.
Ogniskowa f cienkiej soczewki skupiającej jest równa 24 cm. Przedmiot P położony
jest w odległości x = 9 cm od soczewki. Opisać obraz powstający w soczewce.
Rozwiązanie:
Wychodzimy z równania soczewkowego
1
+
1
1
x
y
f
y – odległość obrazu od soczewki
x – odległość przedmiotu od soczewki
f – ogniskowa
122
74200153.003.png 74200153.004.png 74200153.005.png 74200153.006.png
 
Wstawiając dane do powyższego równania otrzymujemy:
1
=+
1
1
9
y
24
y
+
9
=
1
9
⋅
y
24
24
⋅
( )
+
9
=
9
⋅
y
→
y
=
−
14
,
4
cm
co oznacza, że obraz jest pozorny.
Powiększenie w obrazu jest dane wzorem:
W
=
y
=
−
14
,
4
=
+
1
x
+
9
Czyli otrzymujemy obraz pozorny, prosty, powiększony 1,6 razy. Opisany w tym zadaniu
obraz, to obraz powstający w lupie czyli pojedynczej soczewce skupiającej.
Zad.10.5.
Prosty aparat fotograficzny wyposażony jest w jedną soczewkę dwuwypukłą o
ogniskowej f = 12 cm.
W jakiej odległości y od soczewki należy umieścić kliszę, aby otrzymać ostry obraz
przedmiotu oddalonego o x = 3 m od obiektywu.
Jaka będzie wielkość obrazu Y, jeżeli przedmiot ma wysokość X = 2 m.
Rozwiązanie:
Wychodzimy z równania soczewkowego
1
+
1
1
x
y
f
Poszukujemy y
1
=
1
−
1
;
1
=
x
−
f
y
f
x
y
f
⋅
x
y
⋅ =
f
x
x
−
f
123
y
74200153.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin