RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ CZ.3
Poniższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.
Twierdzenie 1. (ROLLE’A)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale , różniczkowalna w przedziale oraz , to istnieje przynajmniej jeden punkt taki, że
.
Twierdzenie 2. (CAUCHY’EGO )
Jeżeli funkcje i są ciągłe w przedziale , różniczkowalne w przedziale to istnieje przynajmniej jeden punkt taki, że
Twierdzenie 3. (LAGRANGE’A).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale i różniczkowalna w przedziale , to istnieje punkt taki, że
Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja 1.
Niech funkcja ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu.
Szereg potęgowy
nazywamy szeregiem Taylora funkcji o środku w punkcie .
Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako i nazywać resztą w postaci Lagrange’a. Tak więc
Wniosek. Dla otrzymujemy twierdzenie Lagrange’a.
Jeżeli , to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji
Twierdzenie 4. (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).
Jeżeli:
(1) funkcja ma w otoczeniu
pochodne dowolnego rzędu,
(2) dla każdego ,
to
, .
Twierdzenie 5. (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli
dla .
Wzór Taylora oraz wynikający z niego wzór Maclaurina, o których była mowa wykorzystuje się do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
Ze wzorów tych możemy otrzymać przybliżenia z mniejszym błędem niż wykorzystując różniczkę pierwszego rzędu.
Zauważmy, że pomijając resztę we wzorze np. Maclaurina, otrzymamy wzór przybliżony
,
który możemy wykorzystać do obliczania wartości funkcji f.
Błąd bezwzględny , jaki popełniamy posługując się tym wzorem, jest równy wartości bezwzględnej
reszty , tj.
Przykłady
1. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji i
Policzmy:
Zapiszemy teraz wzór Maclaurina:
2. Oblicz korzystając z powyższego przybliżenia .
Przypomnijmy, że licząc przybliżoną wartość za pomocą różniczki funkcji jednej zmiennej otrzymaliśmy mniej dokładny wynik 1,02.
Twierdzenie 6.
Niech , będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech . Jeżeli oraz , to .
Twierdzenie 7. (REGUŁA DE L’HOSPITALA)
Niech i będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie oraz
lub
oraz istnieje granica (właściwa lub nie),
to istnieje również granica przy czym
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Z reguły de l’Hospitala możemy skorzystać w następujących przypadkach:
Przypadek 1.
Niech i lub niech i .
Obliczanie granicy poprzez formalne podstawienie wartości granicznych daje nam symbol nieoznaczony lub odpowiednio .
W tym przypadku bezpośrednie (być może wielokrotne) zastosowanie reguły de l’Hospitala doprowadzi nas do rozwiązania.
Np.
...
rako91