Wyklad 3.pdf

(186 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - Wyklad 3.ppt
WYKýAD 3
ROZWIġZYWANIE RìWNAİ NIELINIOWYCH
RìWNANIA NIELINIOWE - WSTĦP
Zagadnienie wyznaczania pierwiastkw rwnaı nieliniowych, wystħpujĢce czħsto w rŇnych
dziedzinach nauki i techniki, jest jednym z najstarszych zadaı matematycznych. Przykþadem takiego
zagadnienia jest rozwiĢzywanie powszechnie znanego rwnania kwadratowego
ax bx c
2
+ + = ,
0
ktrego pierwiastkami sĢ liczby
-
b
b
2
-
4
a
c
x
=
.
1
2
2
a
Dla funkcji )
f okreĻlonej w przedziale a x b
(x
, pojedyncze rwnanie nieliniowe moŇemy zapisaę
w postaci
f x
( ) .
= 0 (1)
Funkcja )
f moŇe byę algebraicznĢ funkcjĢ nieliniowĢ lub teŇ funkcjĢ przestħpnĢ.
KaŇdĢ wartoĻę x, dla ktrej funkcja f x
( ) przyjmuje wartoĻę zero
f
(
x
)
=
0
(2)
nazywamy (1) lub funkcji f x
( ).
(x
41976218.001.png
( ) nie istniejĢ metody dokþadne rozwiĢzywania
rwnaı nieliniowych np. dla rwnaı algebraicznych metody takie nie istniejĢ dla rwnaı stopnia
wyŇszego niŇ czwarty. Dlatego teŇ w praktyce stosowane sĢ rŇnego rodzaju metody iteracyjne,
umoŇliwiajĢce otrzymanie rozwiĢzaı przybliŇonych.
WiħkszoĻę metod przybliŇonego rozwiĢzywania rwnaı nieliniowych moŇna stosowaę jedynie wtedy,
gdy znamy o tzn. przedziaþ, w ktrym znajduje siħ pojedynczy pierwiastek
rozwiĢzywanego rwnania. Istnieje wiele metod lokalizowania pierwiastkw rzeczywistych. Najprostsze
z nich to:
1) metoda graficzna - stosowana wtedy, gdy rwnanie wyjĻciowe (1) moŇna przeksztaþcię do postaci
rwnowaŇnej
j
( ) ( ),
x x
=
y
(3)
= y( ) sĢ þatwiejsze do wykonania; pierwiastkami rwnania
(1) bħdĢ odciħte punktw przeciħcia tych wykresw np. w przypadku rwnania
sin , ( ) sin , ( ) ,
= j( ) i y x
x x x x x x
0 j
=
y
=
2) metoda tablicowania funkcji w przedziale jej okreĻlonoĻci
¬ , w m rwnoodlegþych punktach
]
x a ih
(i = 1, 2, ..., m) (4)
z krokiem
h
=
b a
m
.
W oglnym przypadku dla dowolnej postaci funkcji f x
w ktrej wykresy funkcji y x
- =
x a b
[
i = +
-
41976218.002.png
Metody iteracyjne, pozwalajĢce na obliczanie pierwiastkw z ŇĢdanĢ dokþadnoĻciĢ e, moŇna podzielię
na:
a) o oo, gdy nastħpne przybliŇenie pierwiastka zaleŇy tylko od informacji
obliczanej w jednym punkcie poprzednim,
b) ooo, gdy przy wyznaczaniu nastħpnego przybliŇenia pierwiastka wykorzystuje
siħ kilka jego przybliŇeı, obliczanych w kilku punktach poprzednich.
+ do pierwiastka rwnania x KaŇdej metodzie iteracyjnej moŇna
przyporzĢdkowaę liczbħ p, zwanĢ o lub o oraz staþĢ K, zwanĢ
oo takie, Ňe zachodzi nierwnoĻę
1
x
-
x
K
x
-
x
p
.
(5)
n
+
1
n
RzĢd metody p i staþa K charakteryzujĢ szybkoĻę zbieŇnoĻci metody iteracyjnej: ciĢg kolejnych
przybliŇeı: x 0 , ,... jest tym szybciej zbieŇny do pierwiastka, im wiħkszy jest rzĢd metody i im mniejsza
jest staþa asymptotyczna bþħdu, najistotniejszĢ rolħ gra jednak wykþadnik zbieŇnoĻci p.
Podstawowym warunkiem, jaki musi speþniaę kaŇda metoda iteracyjna jest zbieŇnoĻę ciĢgu kolejnych
przybliŇeı: x x x n n
, ,..., , ,...
0 1
41976218.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin