Wyklad 9.pdf

(154 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - Wyklad 9.ppt
WYKýAD 9
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
INTERPOLACJA ÎPOJĦCIA PODSTAWOWE
W ograniczonym przedziale [ , ]
a b rozpatrzmy ciĢg punktw:
a x x x b
0 1 ... , (1)
ktre nazywamy wħzþami interpolacji oraz ciĢg liczb rzeczywistych:
y y y n
= < < < =
n
(2)
ktre interpretujemy jako dane wartoĻci pewnej funkcji y f x
0 , , ..., ,
= ( ). Funkcja f ( ) jest zatem wyznaczana w
sposb dyskretny za pomocĢ jej wartoĻci na zbiorze (1)
y i
i
=
(
x
)
(
i
=
0
1
...,
n
)
.
(3)
Zadanie interpolacji polega na znalezieniu takiej funkcji F ( ) , zwanej funkcjĢ interpolujĢcĢ,
przybliŇajĢcej stablicowanĢ funkcjħ y f x
=
( ), ktra w wħzþach interpolacji przybiera takie same
= ( ). W zadaniu interpolacji na podstawie tablicy wartoĻci funkcji (3) okreĻlamy
jej postaę analitycznĢ, przy wykorzystaniu ktrej moŇna obliczyę wartoĻci funkcji f ( ) w dowolnym
punkcie x a b
¬[ , ] nie pokrywajĢcym siħ z wħzþami interpolacji.
Interpolacja funkcji czħsto wystħpuje w praktyce, gdyŇ funkcje okreĻlone na dyskretnym zbiorze
argumentw sĢ np. wynikami pomiarw lub wynikami obliczeı numerycznych. Ponadto prawie
wszystkie klasyczne wzory rŇniczkowania i caþkowania numerycznego oraz przybliŇonego
rozwiĢzywania rwnaı rŇniczkowych otrzymuje siħ wprost ze wzorw interpolacyjnych.
wartoĻci, co funkcja y f x
ZaleŇnie od postaci funkcji interpolujĢcej sformuþowane zadanie interpolacji moŇe mieę dokþadnie jedno
rozwiĢzanie, moŇe nie mieę rozwiĢzaı albo mieę ich nieskoıczenie wiele.
W przypadku wielomianu
P x a a x a x a x
( )
= + + + +
2
...
n
(4)
n
0 1 2
n
z warunkw interpolacji (3) otrzymujemy nastħpujĢcy ukþad rwnaı liniowych:
a a x a x a x y
+ + + + =
2
...
n
,
Ú
0 1 0 2 0
n
0 0
Í
Í
... ,
................................................
...
a a x a x a x y
+ + + + =
2
n
0 1 1 2 1
n
1 1
Û
(5)
Í
Í
a a x a x a x y
+ + + + =
2
n
,
0 1 2
n n
n n
n
Ü
w ktrym niewiadomymi sĢ wspþczynniki a a a n
0 , , ..., . Wyznacznik podstawowy tego ukþadu rwnaı
jest wyznacznikiem Vandermonda
1
x
x
2
0
...
x
n
0
0
1
x
x
2
1
...
x
n
1
1
³ >
=
(
x
-
x
)
0
,
i
j
...
...
...
...
...
i
j
1
x
x
2
...
x
n
n
n
n
41976467.001.png
tak wiħc ukþad rwnaı (5) ma dokþadnie jedno rozwiĢzanie, ktre przyjmujemy jako wspþczynniki
szukanego wielomianu interpolacyjnego (4).
Wyznaczanie w opisany sposb wielomianw interpolacyjnych nie jest jednak zadaniem þatwym
ze wzglħdu na zþe uwarunkowanie zadania, wynikajĢce z nie-korzystnej akumulacji bþħdw oraz duŇy
koszt obliczeı spowodowany koniecznoĻciĢ rozwiĢzywania ukþadu rwnaı liniowych.
Przed przedstawieniem w nastħpnych rozdziaþach innych postaci wielomianw i funkcji interpolujĢcych
podamy oglniejsze sformuþowanie zadania interpolacji, opierajĢce siħ na przyjħciu liniowo-
niezaleŇnego ukþadu funkcji
(6)
okreĻlonych na ograniczonym lub nieograniczonym przedziale [ , ]
j j
0 1
( ), ( ), ..., ( ),
x x x
j
n
a b . NaleŇy zna-leŅę takie wspþczynniki
a a a n
0 1
, , ..., ,
(7)
ktrych kombinacja liniowa z funkcjami (6) speþnia warunki interpolacji (3)
a
0
j
0
( 1
)
+
a
1
j
(
x
i
)
+
...
+
a
n
j
n
(
x
)
=
y
(
i
=
0
1
...,
n
(8)
ZauwaŇmy, Ňe w zadaniu interpolacji (4) - (5) przyjħliĻmy nastħpujĢcy ukþad funkcji liniowo-
niezaleŇnych:
1
, , , ..., ,...
x x x
2
n
- < < + (9)
x
.
x
)
i
i
i

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin