Wyklad 10.pdf

WYKýAD 10

ZBIE Ż NO ŚĆ INTERPOLACJI WIELOMIANOWEJ

WIELOMIANOWE FUNKCJE SKLEJANE HERMITEÓA

ZBIEņNOĺĘ INTERPOLACJI WIELOMIANOWEJ

W poprzednich rozdziaþach stwierdziliĻmy, Ňe istnieje dokþadnie jeden wielo-mian interpolacyjny, ktry

moŇe byę reprezentowany w rŇnych bazach. Okazuje siħ jednak, Ňe praktyczne moŇliwoĻci

wykorzystania interpolacji wielomianowej sĢ ograniczone, gdyŇ przy duŇej liczbie wħzþw daje ona nie

najlepsze wyniki. Pogarszanie siħ wynikw interpolacji przy zwiħkszaniu liczby wħzþw pokaŇemy

na przykþadzie funkcji

(1)

x Na rysunkach 1 3 przedstawiono wielomiany interpolacyjne LagrangeÓa,

otrzymane dla n = 4, 7 i 10 przy zaþoŇeniu, Ňe wħzþy sĢ rwnoodlegþe.

[ ] .

Rys. 1

w przedziale

Rys. 2

Rys. 3

Widaę, Ňe poczĢtkowo ze wzrostem liczby wħzþw n przybliŇenie polepsza siħ, lecz przy dalszym

wzroĻcie n przybliŇenie zaczyna siħ pogarszaę. Takie zachowanie siħ wielomianw interpolacyjnych,

zwþaszcza przy koıcach przedziaþu interpolacji jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocĢ

wielomianw wysokich stopni przy staþych odlegþoĻciach wħzþw - jest to tzw. zjawisko Rungego.

Potwierdzenie faktu, Ňe wielomian interpolacyjny nie musi byę zbieŇny do interpolowanej funkcji

znajdziemy w przykþadach przedstawionych przez Rungego i Bernsteina oraz w oglnym twierdzeniu

Fabera.

Przykþad Rungego [3]:

n ( ) bħdzie wielomianem interpolacyjnym funkcji f x x

( ) ( )

= +

opartym na wħzþach

rwnoodlegþych z przedziaþu [ ]:

5 , i = 0 1

, , ..., ,

n h n

=10 . Funkcja f naleŇy do [ ],

a mimo

n ( ) jest zbieŇny do f x

( ) tylko dla x < 363

. ... i rozbieŇny dla x > 363

. ... .

Przykþad Bernsteina [9]:

Niech P n bħdzie wielomianem interpolacyjnym, ktry przybliŇa funkcjħ x w przedziale [ ]

w n rwnoodlegþych punktach. Wwczas ciĢg wielomianw P x

n ( ) nie jest zbieŇny do funkcji x

w Ňadnym punkcie przedziaþu [ ]

oprcz punktw: -1, 0, 1, w ktrych jest zbieŇny do odpowiednich

wartoĻci funkcji .

Niech L x

1 1

x ih

i = - +

to ciĢg { }

L x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: