Algebra 1-09 formy kwadratowe.pdf

(80 KB) Pobierz
19536664 UNPDF
Wykład9
Zadanie Zbada¢,czyforma:
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=[ x 1 ,x 2 ,x 3 ]
2
6 4
123
252
320
3
7 5
2
6 4
x 1
x 2
x 3
3
7 5
jestdodatniookre±lona.
Rozwi¡zanie Wystarczyzbada¢,czydodatnies¡minorygłówne,awi¦c
wyznaczniki:
G 1 =1
=1 > 0
G 2 =
12
25
G 3 =
123
252
320
= − 25 < 0
Tooznacza,»etaformaniejestdodatniookre±lona.Rzeczywi±cie g (1 , 1 , − 2)=
− 10 < 0.
Sprowadzanieformykwadratowejdopostacikanonicznej
Niech g b¦dzieform¡kwadratow¡wprzestrzeni R
n ,wtedy g mo»eby¢
zapisanewpostaci:
g ( x 1 ,x 2 ,...,x n )=
n X
g ii x 2 i +2
n X
g ij x i x j
i =1
i =1 ,j =1 ,i<j
wprzedstawieniutymmog¡wyst¦powa¢elementypo x i x j .Zadaniesprowa-
dzaniadopostacikanonicznejpolegawi¦cna”pozbywaniusi¦”tychelemen-
tów.Dokładniejmówi¡czadanietopoleganaszukaniuzmiennych y 1 ,y 2 ,...,y n
zale»nychliniowood x 1 ,x 2 ,...,x n ,dlaktórychformakwadratowa g ma
przedstawienie:
g ( y 1 ,...,y n )= a 1 y 2 1 + a 2 y 2 + ... + a n y 2 n
Istniejekilkametodsprowadzaniadopostacikanonicznej.Tutajomówimy
dwiepodstawowe:metod¦Lagrange’aimetod¦Jacobiego.
1
MetodaLagrange’a
MetodaLagrange’awykorzystujeuogólnieniewzoruskróconegomno»eniana
kwadratsumyelementów,amianowicie:
( b 1 + b 2 + ... + b n ) 2 = b 2 1 + b 2 2 + ... + b 2 n +2 X
i =1 ,j =1 ,i<j
b i b j
Metod¦t¡omówimynaprzykładzie.Niech
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2 x 2 1 − x 2 2 +3 x 2 3 +2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 3 x 2 x 3
wtedymo»emyzebra¢elementy,którezawieraj¡ x 1 iotrzymujemy:
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2( x 2 1 + x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 ) − x 2 2 +3 x 2 3 − 3 x 2 x 3
nast¦pnie”wyci¡gamykwadrat”zgodniezpowy»szymwzorem:
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2( x 1 + 1
2 x 2 − x 3 ) 2 − 1
2 x 2 2 − 2 x 2 3 +2 x 2 x 3 − x 2 2 +3 x 2 3 − 3 x 2 x 3
st¡d
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2( x 1 + 1
2 x 2 − x 3 ) 2 − 3
2 x 2 2 + x 2 3 − x 2 x 3
dalejpost¦pujemypodobniejakpowy»ejz”kawałkiem”zawieraj¡cymtylko
zmienne x 2 , x 3 ,awi¦c:
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2( x 1 + 1 2 x 2 − x 3 ) 2 − 3 2 ( x 2 2 + 2 3 x 2 x 3 )+ x 2 3 =
2( x 1 + 1 2 x 2 − x 3 ) 2 − 3 2 ( x 2 + 1 3 x 3 ) 2 + 1 6 x 2 3 + x 2 3 =
2( x 1 + 1 2 x 2 − x 3 ) 2 − 3 2 ( x 2 + 1 3 x 3 ) 2 + 7 6 x 2 3
Je±liprzyjmiemyteraz y 1 = x 1 + 1 2 x 2 − x 3 , y 2 = x 2 + 1 3 x 3 , y 3 = x 3 to
otrzymamy:
g ( y 1 ,y 2 ,y 3 )=2 y 1 − 3
2 y 2 + 7
6 y 3
otrzymaneprzedstawieniejestwi¦cpostaci¡kanoniczn¡naszejformy.
MetodaJacobiego
MetodaJacobiegopoleganawykorzystaniualgorytmupodobnegodoalgoryt-
muortogonalizacji Grama − Schmidta .Omówimyt¡metod¦natymsamym
przykładziecopoprzednio:
g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=2 x 2 1 − x 2 2 +3 x 2 3 +2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 3 x 2 x 3
2
wtedywbaziekanonicznejmacierztejformyjestnast¦puj¡ca:
G =
2
6 4
2 1 − 2
1 − 1 − 3 2
− 2 − 3 2 3
3
7 5
Szukamybazy b 1 ,b 2 ,b 3 takiej,»e f ( b i ,b j )=0je±li i 6 = j .Baz¦t¡szukamyw
postaci:
b 1 = e 1
b 2 = e 2 + k 12 b 1
b 3 = e 3 + k 13 b 1 + k 23 b 2
Podobniejakwprzypadkuortogonalizcji Grama − Schmidta otrzymujemy
k ij = − f ( b i ,e j )
f ( b i ,b i ) ,awi¦c:
k 12 = − f ( b 1 ,e 2 )
f ( b 1 ,b 1 ) = − 1
2
i
b 2 =[ − 1
2 , 1 , 0]
dalejmamy:
k 13 = − f ( b 1 ,e 3 )
f ( b 1 ,b 1 ) =1 ,k 23 = − f ( b 2 ,e 3 )
f ( b 2 ,b 2 ) = − 1
3
st¡d:
b 3 =[ 7
6 , − 1
3 , 1]
ponadto f ( b 3 ,b 3 )= 7 6 .Wtedyposta¢kanonicznanaszejformydwuliniowej
jestnast¦puj¡ca:
f ( y 1 ,y 2 ,y 3 )= f ( b 1 ,b 1 ) y 2 1 + f ( b 2 ,b 2 ) y 2 2 + f ( b 3 ,b 3 ) y 2 3 =2 y 2 1 − 3
2 y 2 2 + 7
6 y 2 3
ije±liprzez A oznaczymymacierzprzej±ciaodbazykanonicznejdobazy
b 1 ,b 2 ,b 3 tootrzymamyzwi¡zekmi¦dzyzmiennymi x 1 ,x 2 ,x 3 ,azmiennymi
y 1 ,y 2 ,y 3 :
2
x 1
x 2
x 3
3
2
y 1
y 2
y 3
3
6 4
7 5 = A
6 4
7 5
Wnaszymprzypadku:
2
1 − 1 2 7 6
0 1 − 1 3
0 0 1
3
A =
6 4
7 5
3
wtedy
2
1 1 2 − 1
01 1 3
00 1
3
A − 1 =
6 4
7 5
imamy: 2
y 1
y 2
y 3
3
2
x 1
x 2
x 3
3
2
1 1 2 − 1
01 1 3
00 1
3
2
x 1
x 2
x 3
3
6 4
7 5 = A − 1
6 4
7 5 =
6 4
7 5
6 4
7 5
det G i ,gdziedet G 0 =1,adet G i ,i =1 , 2 , 3s¡minoramigłównymimacierzy
G .
MetodaJacobiegomapewneograniczenia,je±libowiemktóry±zewspół-
czynników f ( b i ,b i )jestrównyzerotoniemo»nawyznaczy¢odpowiednich
k ij .Ztegocozostałopowiedzianepowy»ejmetodaJacobiegodziaławtedy
gdyka»dyzminorówgłównychmacierzy G jestró»nyod0.
Nazako«czenienaszychrozwa»a«dotycz¡cychprzestrzenieuklidesowych
iunitarnychzdefiniujemypoj¦ciesprz¦»eniaodwzorowanialiniowego.Niech
V b¦dzieprzestrzeni¡euklidesow¡(unitarn¡)iniech ' : V ! V b¦dzie
homomorfizmemprzestrzeni V ,wtedyistniejedokładniejedenhomomorfizm
' ,taki»edlaka»dego u,v 2 V :
( ' ( u ) | v )=( u | ' ( v ))
n jestprzestrzeni¡unitarn¡zestandardowymiloczynemskalar-
nymi A jestmacierz¡operatora ' to A jestmacierz¡operatora ' .
4
Mo»nazauwa»y¢,»ewspółczynniki f ( b i ,b i )(wyst¦puj¡ceprzy y 2 i s¡równe
det G i − 1
Operator ' nazywamyoperatoremsprz¦»onymzoperatorem ' .
Je±li V = C

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin