Algebra 0-16 geometria analityczna.pdf
(
113 KB
)
Pobierz
19538068 UNPDF
Wykład16
Geometriaanalityczna
Przegl¡dwiadomo±cizgeometriianalitycznejnapłaszczy¹nie
Ortokartezja«skiukładwspółrz¦dnychpowstajeprzezustaleniepunktu
pocz¡tkowego
O
zwanegopocz¡tkiemukładuwspółrz¦dnychidwóchpro-
stychskierowanych,wzajemnieprostopadłych,przecinaj¡cychsi¦wpunkcie
O
:
OY
6
O
-
OX
Układemwspółrz¦dnych
nazywamyuporz¡dkowan¡par¦(
OX,OY
),
gdzie
OX
i
OY
s¡osiamiwspółrz¦dnych.
Odległo±ci¡dwóchpunktów
P
1
i
P
2
nazywamydługo±¢odcinka
P
1
P
2
:
OY
6
P
2
(
x
2
,y
2
)
P
1
(
x
1
,y
1
)
-
OX
O
Odległo±¢tychpunktówwyra»asi¦wzorem:
q
|
P
1
P
2
|
=
(
x
1
−
x
2
)
2
+(
y
1
−
y
2
)
2
Wektorem
nazywamyuporz¡dkowan¡par¦punktów(
P
1
,P
2
)napłaszczy¹-
nieioznaczamygoprzez
−−!
1
P
1
P
2
:
OY
6
P
2
P
1
-
OX
O
|
P
1
P
2
|
nazywamydługo±ci¡wektora.Wektor
−!
PP
nazywamywektoremzero-
wym.Ka»d¡prost¡równoległ¡dowektora
−−!
P
1
P
2
nazywamykierunkiemtego
wektora.Wektorynazywamyrównoległymi(kolinearnymi)je±limaj¡rów-
noległekierunki.Mówimy,»edwawektorykolinearne
−−!
P
3
P
4
maj¡taki
samzwrotgdyodcinki
P
1
P
4
,
P
2
P
3
maj¡punktwspólnywprzeciwnymrazie
mówimy,»ewektorymaj¡zwrotprzeciwny.
Dladowolnychpunktów
P
1
,P
2
,P
3
wektor
−−!
P
1
P
2
,
−−!
P
1
P
2
,
−−!
P
2
P
3
ipiszemy:
−−!
P
1
P
3
nazywamysum¡wektorów
P
1
P
3
=
−−!
P
1
P
2
+
−−!
P
2
P
3
OY
6
P
3
@
@
P
2
P
1
-
OX
O
P
3
P
4
nazywamy
równowa»nymi
,gdymaj¡tak¡sam¡
długo±¢,s¡kolinearneimaj¡tensamzwrot.B¦dziemytakiewektoryuwa»a¢
zarówneinazywa¢jeb¦dziemywektorami
swobodnymi
.Wektoryswobod-
neb¦dziemyoznacza¢małymiliteramialfabetuiczasemb¦dziemyu»ywa¢
strzałek.Ka»dywektorswobodnynapłaszczy¹nieuto»samia¢b¦dziemyz
par¡liczbrzeczywistych[
x,y
].Je±li
P
1
(
x
1
,x
2
)jestpocz¡tkiemwektora,a
P
2
(
x
2
,y
2
)jegoko«cemto
x
=
x
2
−
x
1
,y
=
y
2
−
y
1
.Dowolnedwawektory
swobodnemo»nadodawa¢ije±li
a
=[
x
a
,y
a
]
,b
=[
x
b
,y
b
]to:
P
1
P
2
,
−−!
a
+
b
=[
x
a
+
x
b
,y
a
,y
b
]
2
Punkt
P
1
nazywamypocz¡tkiemwektora,apunkt
P
2
ko«cem.Odległo±¢
−−!
6
@I
Wektory
−−!
Dowolnywektormo»namno»y¢przezliczb¦:
a
=
[
x
a
,y
a
]=[
x
a
,y
a
]
Zbiórwektorówswobodnychmo»nauto»samia¢zezbiorem
R
2
.
Stwierdzenie1
Struktura
(
R
2
,
+)
jestgrup¡abelow¡.
Równowa»niemo»namówi¢ogrupieabelowejwektorówswobodnychz
dodawaniemwektorów.
Własno±cimno»eniawektorówprzezliczb¦
Dlaka»dychwektorów
a,b
2
R
2
,
,
2
R
mamy:
(i)
(
a
+
b
)=
a
+
b
,
(ii)(
+
)
a
=
a
+
a
,
(iii)(
)
a
=
(
a
),
(iv)1
a
=
a
.
P
1
P
2
nazywamydługo±¢odcinka
P
1
P
2
ioznaczamyprzez
|
P
1
P
2
|
.Je±li
a
=[
x,y
]to
q
|
a
|
=
x
2
+
y
2
Własno±cidługo±ciwektora
(i)
|
a
+
b
|¬|
a
|
+
|
b
|
(ii)
|
a
|
=
|
||
a
|
Dowód
Niech
a
=[
x
1
,y
1
],
b
=[
x
2
,y
2
].Oznaczmyprzez
z
1
liczb¦zespolon¡
x
1
+
y
1
i
,aprzez
z
2
liczb¦
x
2
+
y
2
i
,wtedydługo±ci¡wektora
a
jestmodułz
liczby
z
1
,długo±ci¡wektora
b
modułz
z
2
,adługo±ci¡
a
+
b
modułz
z
1
+
z
2
i
punkt(i)wynikazodpowiedniejnierówno±cidlamodułów.Punkt(ii)mo»na
udowodni¢wprostzdefinicji.
Wektor
a
nazywamy
wersorem
je±li
|
a
|
=1.
Iloczynskalarnywektorów
Niech
a
=[
x
a
,y
a
]
,b
=[
x
b
,y
b
]wtedyiloczynemskalarnymwektorów
a
i
b
nazywamyliczb¦
x
a
x
b
+
y
a
y
b
ioznaczamygoprzez
a
b
.
Własno±ciiloczynuskalarnego
(i)
cos[^(
a,b
)]=
a
b
|
a
||
b
|
(ii)
a
b
=
b
a
,
(iii)(
a
)
b
=
(
a
b
),
(iv)(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
,
3
Długo±ci¡wektora
−−!
Mo»nazauwa»y¢,»eje±li
u
jestdowolnymwektoremto
|
u
|
=
p
u
u
.
K¡tem
mi¦dzywektoraminazywamymniejszyzdwóchk¡tów,którete
wektorywyznaczaj¡.Zatemje±li
'
jestk¡temmi¦dzywektorami
a
i
b
to
0
¬
'
¬
.Doobliczaniak¡tami¦dzywektoramiwykorzysta¢mo»nailo-
czynskalarnyiwłasno±¢(i)iloczynu.
Dwawektory
a
i
b
nazywamy
ortogonalnymi
wtedyitylkowtedygdy
a
b
=0.Jakwida¢zwłasno±ci(i)wektorys¡ortogonalnewtedyitylko
wtedygdyk¡tmi¦dzynimijestrówny
2
(czylis¡prostopadłe).
Wektory
a
=[
x
a
,y
a
]i
b
=[
x
b
,y
b
]s¡kolinearne(równoległe)wtedyi
tylkowtedygdy
x
a
x
b
=
y
a
y
b
.Rzeczywi±ciewektory
a
=[
x
a
,y
a
],
b
=[
x
b
,y
b
]s¡
równoległegdyk¡tpomi¦dzynimijestrówny0lub
,awi¦cnapodstawie
własno±ci(i)iloczynuskalarnegomamy:
a
b
|
a
||
b
|
=1lub
a
b
|
a
||
b
|
=
−
1.St¡d
q
q
x
a
x
b
+
y
a
y
b
=
x
2
a
+
y
2
a
x
2
b
+
y
2
b
lub
q
q
x
2
b
+
y
2
b
ipodnosz¡cterówno±cidokwadratuotrzymujemy:
x
a
x
b
+
y
a
y
b
=
−
x
2
a
+
y
2
a
x
2
a
x
2
b
+2
x
a
x
b
y
a
y
b
+
y
2
a
y
2
b
=
x
2
a
x
2
b
+
x
2
a
y
2
b
+
x
2
b
y
2
a
+
y
2
a
y
2
b
ast¡d:
2
x
a
x
b
y
a
y
b
=
x
2
a
y
2
b
+
x
2
b
y
2
a
wi¦c:
x
2
a
y
2
b
−
2
x
a
x
b
y
a
y
b
+
x
2
b
y
2
a
=0
(
x
a
y
b
−
x
b
y
a
)
2
=0
zatem:
x
a
y
b
=
x
b
y
a
i
x
b
=
y
a
y
b
Tooznacza,»edwawektory
a
i
b
s¡kolinerarnewtedyitylkowtedygdy
istnieje
2
R
,»e
b
=
a
.Mówimy,»ewektorykolinearne
a
i
b
maj¡tensam
zwrotgdy
>
0,agdy
<
0tomówimy,»ewektorymaj¡zwrotprzeciwny
(czasamib¦dziemymówi¢owektorachzgodnielubprzeciwnierównoległych).
4
(v)
a
a
0i
a
a
=0
()
a
=0.
x
a
Równanieprostej
Niech
P
(
x
0
,y
0
)b¦dziedowolnympunkteminiech
n
=[
A,B
]b¦dziedo-
wolnymwektorem.Zbioremwszystkichpunktów
Q
(
x,y
)takich,»ewektor
−!
PQ
jestprostopadłydo
n
jestprostanapłaszczy¹nie:
OY
6
Q
(
x,y
)
@I
n
`
P
(
x
0
,y
0
)
@
O
-
OX
Poniewa»wektory
n
i
−!
PQ
=[
x
−
x
0
,y
−
y
0
]s¡ortogonalne,wi¦cmamy
n
−!
PQ
=0,wi¦c
A
(
x
−
x
0
)+
B
(
y
−
y
0
)=0.St¡dmamy:
Ax
+
By
+
Ax
0
+
By
0
=
0,przyjmuj¡c
C
=
Ax
0
+
By
0
otrzymujemyrównanieogólneprostej:
Ax
+
By
+
C
=0
Równanietojestwyznaczoneprzezwektorprostopadłydoprostej
n
=[
A,B
]
zwanywektorem
normalnym
tejprostej.
Wzajemnepoło»eniedwóchprostych
K¡tmi¦dzyprostymirównyjestk¡towimi¦dzywektoraminormalnymi.
Wi¦cdwieprostes¡równoległegdyichwektorynormalnes¡równoległe.
Proste:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0
,A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0
s¡
(1)równoległewtedyitylkowtedygdy
A
2
=
B
1
B
2
(2)pokrywaj¡si¦gdy:
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
(3)s¡prostopadłegdy:
A
1
A
2
+
B
1
B
2
=0
5
A
1
A
1
Plik z chomika:
sebcio97
Inne pliki z tego folderu:
Algebra 0-01 pojęcia wstępne.pdf
(75 KB)
Algebra 0-02 działania.pdf
(69 KB)
Algebra 0-03 struktury algebraiczne.pdf
(69 KB)
Algebra 0-04 pierścienie.pdf
(78 KB)
Algebra 0-05 pierścienie.pdf
(69 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra liniowa
Analiza Funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza Regresji
Badania Operacyjne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin