Algebra 0-14 wyznaczniki.pdf

(100 KB) Pobierz
19538070 UNPDF
Wykład14
Wyznacznikmacierzycd.
Twierdzenie1 NiechAb¦dziemacierz¡kwadratow¡iniechA i ,A j b¦d¡
dwiemaró»nymijejkolumnami,wtedydladowolnegok 2 K:
det[ A 1 ,...,A i ,...,A j ,...,A n ]=det[ A 1 ,...,A i + kA j ,...,A j ,...,A n ]
Dowód Udowodnili±my,»e:
det[ A 1 ,...,A i + kA j ,...,A j ,...,A n ]=
det[ A 1 ,...,A i ,...,A j ,...,A n ]+det[ A 1 ,...,kA j ,...,A j ,...,A n ]
Ponadtodet[ A 1 ,...,kA j ,...,A j ,...,A n ]=0.
Twierdzenie2 Je±limacierzA =[ a ij ] n × n jestmacierz¡trójk¡tn¡to:
det A = a 11 · a 22 ··· a nn
Dowód Je±li 6 = i towwyra»eniu a 1 (1) a 2 (2) ··· a n ( n ) wyst¦pujeprzynaj-
mniejjednozero.Zatemdet( A )= a 11 ··· a nn .
Zadanie Obliczy¢wyznacznikmacierzy:
2
6 6 6 4
12 3 4
23 1 2
11 1 − 1
10 − 2 − 6
3
7 7 7 5
Rozwi¡zanie WTwierdzeniu1udowodnili±my,»ewyznacznikmacierzynie
zmieniasi¦gdydopewnegowierszamacierzydodamyinnypomno»onyprzez
stał¡.Mo»emywi¦cdodrugiegowierszadoda¢pierwszypomno»onyprzez
− 2:
r 2 − 2 r 1
=
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
1 1 1 − 1
1 0 − 2 − 6
r 3 − r 1
=
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 − 1 − 2 − 5
1 0 − 2 − 6
r 4 − r 1
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 − 1 − 2 − 5
0 − 2 − 5 − 10
r 3 − r 2
r 4 − 2 r 2
=
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 0 3 1
0 0 5 2
r 4 − 2 r 3
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 0 3 1
0 0 − 1 0
r 4 r 3
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 0 − 1 0
0 0 3 1
1 2 3 4
0 − 1 − 5 − 6
0 0 − 1 0
0 0 0 1
r 4 +3 r 3
=
=1
1
12 3 4
23 1 2
11 1 − 1
10 − 2 − 6
=
=
=
Twierdzenie3 Je±limacierzkwadratowaAstopnianmaposta¢:
"
#
BC
0 D
A =
gdzieBiDs¡macierzamikwadratowymistopnikin − k,a 0 jestmacierz¡
zerow¡wymiaru ( n − k ) × k,to:
det A =(det B ) · (det D )
Zadanie Napodstawiepowy»szegotwierdzeniawyznacznik:
12345
21101
32121
00041
00022
jestrówny:
123
211
321
41
22
Twierdzenie4(Cauchy) NiechAiBb¦d¡macierzamikwadratowymistop-
nianwtedy:
det( A · B )=det( A )det( B ) .
Zadanie Udowodni¢,»eje±li A jestmacierz¡odwracaln¡todet A 6 =0i
det( A − 1 )= 1
det A
Rozwi¡zanie Poniewa» A · A − 1 = I tomamydet( A · A − 1 )=det I =1.Z
twierdzeniaCauchy’egomamy:
1=det( A · A − 1 )=det( A ) · det( A − 1 )
det A .
Rozwini¦ciewyznacznikawzgl¦demkolumny(wiersza)macierzy
Niech A =[ a ij ] n × n b¦dziemacierz¡kwadratow¡,wtedyprzez A ij ozna-
cza¢b¦dziemymacierzwymiaru( n − 1) × ( n − 1)powstał¡zmacierzy A
przezwykre±lenie i -tegowierszai j -tejkolumny.
Twierdzenie5(Laplace) NiechAb¦dziemacierz¡stopnianwtedy:
det A = a 1 j ( − 1) 1+ j det A 1 j + a 2 j ( − 1) 2+ j det A 2 j + ··· + a nj ( − 1) n + j det A nj ,
det A = a i 1 ( − 1) i +1 det A i 1 + a i 2 ( − 1) i +2 det A i 2 + ··· + a in ( − 1) i + n det A in .
2
zatemdet A 6 =0iotrzymujemydet( A − 1 )= 1
 
Pierwszyzpowy»szychwzorównazywamyrozwini¦ciemwyznacznikawzgl¦-
dem j -tejkolumny,adrugiwzgl¦dem i -tegowiersza.
Zadanie Obliczy¢wyznacznik:
234
125
354
Rozwi¡zanie Rozwiniemytenwyznacznikwzgl¦demdrugiegowiersza:
=1( − 1) 2+1
34
54
+2( − 1) 2+2
24
34
+5( − 1) 2+3
23
35
Cz¦stowyznacznikiobliczasi¦ł¡cz¡cró»nemetody.Je±likorzystamyz
rozwini¦ciawyznacznikadobrzejestczasemwyzerowa¢niektóreelementyw
wierszu.
Zadanie Obliczy¢wyznacznik:
1312
3451
2410
− 1421
Rozwi¡zanie Mo»emynajpierwwyzerowa¢elementywpierwszejkolumnie
podpierwszymwierszem,anast¦pnierozwin¡¢wzgl¦dempierwszejkolumny:
1312
3451
2410
− 1421
w 2 − 3 w 1
w 3 − 2 w 1
w 4 + w 1
=
1 3 1 2
0 − 5 2 − 5
0 − 2 − 1 − 4
0 7 3 3
=1( − 1) 1+1
− 5 2 − 5
− 2 − 1 − 4
7 3 3
Niech A =[ a ij ] n × n b¦dziemacierz¡kwadratow¡,wtedy dopełnieniem
algebraicznymelementu a ij nazywa¢b¦dziemyelement b ij =( − 1) i + j det A ij ,
amacierz:
2
b 11 b 12 ...b 1 n
b 21 b 22 ...b 2 n
. . . . . . . . . . . .
b n 1 b n 2 ...b nn
3
A D =
6 6 6 6 4
7 7 7 7 5
Obliczmynast¦puj¡cyiloczyn A · ( A D ) T :
3
234
125
354
1.Iloczyn i -tegowierszai i -tejkolumnywynosi:
2
b i 1
b i 2
. . .
b in
3
[ a i 1 ,a i 2 ,...,a in ] ·
6 6 6 6 4
7 7 7 7 5
= a i 1 b i 1 + a i 2 b i 2 + ··· + a in b in =
a i 1 ( − 1) i +1 det A i 1 + a i 2 ( − 1) i +2 det A i 2 + ... + a in ( − 1) i + n det A in =det A
2.Iloczyn i -tegowierszai j -tejkolumnydla i 6 = j wynosi:
[ a i 1 ,a i 2 ,...,a in ] ·
2
6 6 6 6 4
b j 1
b j 2
. . .
b jn
3
7 7 7 7 5
= a i 1 b j 1 + a i 2 b j 2 + ··· + a in b jn =
a i 1 ( − 1) j +1 det A j 1 + a j 2 ( − 1) j +2 det A j 2 + ... + a in ( − 1) j + n det A jn =0
ostatniarówno±¢wynikazfaktu,»e a i 1 ( − 1) j +1 det A j 1 + a j 2 ( − 1) j +2 det A j 2 +
... + a in ( − 1) j + n det A jn jestwyznacznikiemmacierzy,którapowstałazma-
cierzy A przezzast¡pienie j -tegowierszawierszem i -tym,wi¦cwyznacznik
tenjestrówny0.Zatemmamy:
2
3
det A 0 0 0 0
0 det A 0 0 0
0 0 det A 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0det A
A · ( A D ) T =
6 6 6 6 6 6 6 4
7 7 7 7 7 7 7 5
cooznacza,»eje±lidet A 6 =0tomacierz A jestodwracalna.Udowodnili±my,
nast¦puj¡cetwierdzenie:
Twierdzenie6 MacierzkwadratowaAjestodwracalnewtedyitylkowtedy
gdy det A 6 =0 .
Konstrukcjamacierzyodwrotnej
Powtórzmyjeszczerazkonstrukcj¦macierzyodwrotnej.Je±li A =[ a ij ] n × n
jestmacierz¡kwadratow¡stopnia n tomamy:
det A ( A D ) T
gdzie A D =[ b ij ] n × n , b ij =( − 1) i + j det A ij ,macierz A ij jestmacierz¡kwadra-
tow¡stopnia n − 1,którapowstałazmacierzy A przezwykre±lanie i -tego
wierszai j -tejkolumny.
4
A − 1 = 1
Zadanie Wyznaczy¢macierzodwrotn¡do:
2
0111
1011
1101
1110
3
6 6 6 4
7 7 7 5
Przekształceniaelementarnewierszymacierzy
Niech A b¦dziedowoln¡macierz¡owymiarze m × n owspółczynnikachz
pewnegociała K iniech A =[ a ij ] m × n . Przekształceniemelementarnym
wierszymacierzy A nazywamyjednozponi»szychprzekształce«:
(1)zamianadwóchwybranychwierszymacierzy,
(2)dodaniedowiersza A i wiersza kA j (dla i 6 = j ).
(3)pomno»eniewybranegowierszaprzezpewienelementniezerowyele-
mentciała K .
Mo»narównie»mówi¢oprzekształceniachelementarnychkolumnmacie-
rzy.
Wniosek1 Je±limacierzAjestkwadratowatopierwszezprzekształce«ele-
mentarnychzmieniatylkoznakwyznacznika,adrugieniezmieniawyznacz-
nikamacierzyA.
Macierz A =[ a ij ] m × n nazywamy macierz¡trapezow¡ je±li:
2
a 11 a 12 a 13 ... ...a 1 n
0 a 22 a 23 ... ...a 2 n
0 0 a 33 ... ...a 3 n
0 ... 0 a kk ...a kn
0 ... ... 0 ... 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ... ... 0 ... 0
3
A =
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
przyczymwierszeodpierwszegodo k -tegos¡niezerowe
Twierdzenie7 NiechAb¦dziemacierz¡wymiarum × n,wtedyprzypo-
mocyprzekształce«elementarnychmo»namacierzAsprowadzi¢dopewnej
macierzytrapezowej.
Dowód Wdowodziewykorzystujemytzw AlgorytmGaussa
Niech A =[ a ij ] m × n b¦dziedowoln¡macierz¡.Je±li a 11 6 =0tomo»naprzypo-
mocytegoelementuwyzerowa¢wszystkieelementyle»¡cepodnimwpierw-
szejkolumniewnast¦puj¡cysposób:
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin