8.Przekształcenia liniowe.pdf
(
88 KB
)
Pobierz
116013995 UNPDF
Rozdzial 8
Przeksztalcenia liniowe
8.1 Podstawowe poj ecia i wlasnosci
NiechX
jK
iY
jK
b ed a dwiema przestrzeniami liniowymi nad tym samym
cialem K.
Denicja 8.1 Przeksztalcenie f :X!Ynazywamy przeksztalceniem linio-
wymXwYjesli8x;y2X8;2K zachodzi rownosc
f(x + y) = f(x) + f(y):
8.1.1 Obraz, j adro i rz ad przeksztalcenia
DlaX
1
X, zbior
f(X
1
) :=ff(x) : x2X
1
g
nazywamy obrazem zbioruX
1
.
JesliX
1
jest podprzestrzeni aXto f(X
1
) jest podprzestrzeni aY. Rze-
czywiscie, jesli y
1
;y
2
2f(X
1
) to dla pewnych x
1
;x
2
2X
1
mamy y
1
= f(x
1
) i
y
2
= f(x
2
). St ad dla dowolnych
1
;
2
2K mamy
y
1
1
+ y
2
2
= f(x
1
)
1
+ f(x
2
)
2
= f(x
1
1
+ x
2
2
)2f(X
1
):
W szczegolnosci, f(X) oraz f(f0g) =f0gs a podprzestrzeniami.
Latwo r"wniez sprawdzic, ze obrazem warstwy W(x
0
;X
1
))Xjest war-
stwa W(f(x
0
);f(X
1
))Y. A wi ec bycie podprzestrzeni a, elementem zero-
wym albo warstw a s a niezmiennikami przeksztalcen liniowych.
73
74
ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE
Podobnie jak dla macierzy deniujemy obraz przeksztalcenia liniowego f
im(f) := f(X) =ff(x) : x2XgY;
jego j adro
ker(f) :=fx2X: f(x) = 0gX;
oraz rz ad
rank(f) := dim(im(f)):
Oczywiscie, j adro jest tez podprzestrzeni a.
Twierdzenie 8.1 Dla dowolnego przeksztalcenai liniowego f mamy
dim (X) = dim (im(f)) + dim (ker(f)) :
Dowod. NiechX
1
b edzie tak zdeniowane, ze
X=X
1
ker(f):
Wtedy dim(X) = dim(X
1
) + dim(ker(f)). Pokazemy, ze dim(im(f)) =
dim(X
1
). W tym celu zauwazmy, ze kazdy x2Xmozna jednoznacznie
przedstawic jako x = x
1
+ x
0
, gdzie x
1
2X
1
i x
0
2ker(f). St ad
im(f) =ff(x
1
+ x
0
) : x
1
2X
1
;x
0
2ker(f)g=ff(x
1
) : x
1
2X
1
g:
Teraz wystarczy pokazac, ze dim(X
1
) = dim(f(X
1
)). Rzeczywiscie, niech
A = [x
1
;:::;x
s
]2X
1;s
b edzie baz aX
1
(s = dim(X
1
)) oraz
B = [f(x
1
);:::;f(x
s
)]2Y
1;s
:
Wtedy f(X
1
) = span(f(x
1
);:::;f(x
s
)) oraz ukladff(x
j
)g
j=1
jest liniowo
niezalezny. Jesli bowiem
B
~ = 0 to rowniez f(A
~ ) = 0. Poniewaz
~ = 0 i z liniowej niezaleznoscifx
j
g
j=1
dostajemy
~ = 0. Otrzymalismy, ze B jest baz a f(X
1
) i dim(f(X
1
)) = s = dim(X
1
).
~ =2ker(f)nf0gto A
A
8.1. PODSTAWOWE POJ ECIA I WLASNOSCI
75
8.1.2 Przyklady
Kazda macierz A2K
m;n
moze byc identykowana z przeksztalceniem
liniowym f : K
n
!K
m
danym wzorem
f(x) = Ax; x2K
n
:
Wtedy im(f) =R(A), ker(f) =N(A) oraz rank(f) = rz(A). Twier-
dzenie 8.1 sprowadza si e w tym przypadku do wniosku 5.1.
W szczegolnosci, funkcjonaly liniowe s a przeksztalceniami liniowymi.
Wtedy A2K
1;n
orazY= K.
Niech f :P
10
jR
!P
10
jR
, f(p) = p
00
(druga pochodna). Wtedy ker(f) =
P
2
jR
i im(f) =P
8
jR
.
Jesli zas w poprzednim przykladzie f(p) = p
0
p to im(f) =P
10
jR
oraz
ker(f) =P
0
jR
=f0g.
8.1.3 Roznowartosciowosc
Twierdzenie 8.2 Na to, aby przeksztalcenie liniowe f :X!Ybylo rozno-
wartosciowe potrzeba i wystarcza, ze ker(f) =f0g.
Dowod. Jesli f jest roznowartosciowe to tylko dla x = 0 mamy f(x) = 0,
czyli ker(f) =f0g. Z drugiej strony, jesli ker(f) =f0gi f(x
1
) = f(x
2
) = 0
to f(x
1
x
2
) = 0, a st ad x
1
x
2
= 0 i x
1
= x
2
, co konczy dowod.
Z ostatniego twierdzenia wynika, ze jesli ker(f) =f0gto istnieje prze-
ksztalcenie \odwrotne" f
1
: im(f)!Xtakie, ze8x2Xf
1
(f(x)) = x
oraz8y2im(f) f(f
1
(y)) = y. Ponadto f
1
jest liniowe, bo jesli y
1
;y
2
2
im(f) to deniuj ac x
1
= f
1
(y
1
) i f
1
(y
2
) mamy
f
1
(y
1
1
+ y
2
2
) = f
1
(f(x
1
)
1
+ f(x
2
)
2
)
= f
1
(f(x
1
1
+ x
2
2
))
= x
1
1
+ x
2
2
= f
1
(y
1
)
1
+ f
1
(y
2
)
2
:
Mowi ac inaczej, kazde roznowartosciowe przeksztalcenie liniowe f :X!Y
ustala izomorzm pomi edzyXi swoim obrazem im(f)Y.
76
ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE
8.1.4 Przestrzen przeksztalcen liniowych
Zbior wszystkich przeksztalcen liniowych zXwYtworzy przestrzen liniow a
nad K, jesli dzialania dodawania przeksztalcen i mnozenia przez skalar zde-
niowane s a w naturalny sposob jako:
(f)(x) = f(x); (f + g)(x) = f(x) + g(x):
Przestrzen t a oznaczamy (X!Y)
jK
alboLin(X;Y). Oczywiscie, elementem
neutralnym (zerowym) tej przestrzeni jest przeksztalcenie zerowe, a przeciw-
nym do f jest (f).
Podobnie jak dla funkcjonalow, dla wygody b edziemy cz esto stosowac
zapis
fx := f(x); 8f2Lin(X;Y)8x2X:
Uwaga. Zauwazmy, ze wobec rownosci
(f + g)x = (fx) + (gx)
kazdy wektor x2Xmoze byc traktowany jako element przestrzeni
Lin (Lin(X;Y);Y) :
Jednak w ogolnosci nie mamy rownosci pomi edzyLin (Lin(X;Y);Y) iX.
8.2 Macierz przeksztalcenia liniowego
8.2.1 Denicja
Niech dim(X) = n, dim(Y) = m. Niech
A = [x
1
;:::;x
n
]2X
1;n
;
B = [y
1
;:::;y
m
]2Y
1;m
b ed a odpowiednio bazamiXiY. Wtedy
X=f
A
a : a2K
n
g; Y=f
B
b : b2K
m
g:
Przypomnijmy, ze B
1
jest wektorem funkcjonalow,
2
4
r
1
3
B
1
=
.
r
m
5
2(Y
)
m;1
;
8.2. MACIERZ PRZEKSZTALCENIA LINIOWEGO
77
gdzie r
j
2Y
, 1jm, tworz a baz eY
sprz ezon a do B.
Niech f :X!Yb edzie przeksztalceniem liniowym i y = fx. Przyj-
muj ac x = A
b mamy
b =
B
1
y =
B
1
(fx)
=
B
1
(f(A
a)) =
B
1
f
A
a
= Fa;
gdzie F2K
m;n
,
A;
jest macierz a o wyrazach f
i;j
= r
i
(f(x
j
)), tzn. w j-tej kolumnie macierzy F
stoj a wspolczynniki rozwini ecia wektora f(x
j
) w bazie [y
1
;:::;y
m
].
F =
B
1
f
Denicja 8.2 Macierz liczbow a F =
B
1
f
A
nazywamy macierz a prze-
ksztalcenia f :X!Yw bazach
A i B odpowiednio przestrzeniXiY.
8.2.2 IzomorzmLin(X;Y) i K
m;n
Niech :Lin(X;Y)!K
m;n
,
(f) = B
f
A; 8f2Lin(X;Y):
Odwzorowanie przyporz adkowuj ace przeksztalceniu liniowemu jego ma-
cierz jest liniowe (zachowuje kombinacje liniowe). Jesli bowiem (f) = F i
(g) = G to
(f + g) =
B
1
(f + g)
A
= (B
1
f
A) + (B
1
g
A)
= (f) + (g):
Ponadto, latwo sprawdzic, ze jest wzajemnie jednoznaczne i odwzorowanie
odwrotne : K
m;n
!Lin(X;Y) wyraza si e jest wzorem
1
(F) =
B
F
A
1
; 8F2K
m;n
:
St ad jest izomorzmem a przestrzenieLin(X;Y) i K
m;n
s a izomorczne.
Poniewaz dla przestrzeni macierzy mamy dim(K
m;n
) = mn, otrzymu-
jemy w szczegolnosci wniosek, ze
dim (Lin(X;Y)) = dim(X)dim(Y):
a i y = B
Plik z chomika:
sebcio97
Inne pliki z tego folderu:
wektory2.jpg
(170 KB)
wektory1.jpg
(280 KB)
uklady rownan1.jpg
(153 KB)
uklady rownan.jpg
(197 KB)
algebra zestaw 32.jpg
(105 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Analiza Funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza Regresji
Badania Operacyjne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin