analiza funkcjonalna egzamin.pdf

Prof. P. Domanski

Poznan, 09.06.2004

Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 | grupa A

Prosze sie koniecznie podpisac. Prosze pisac czytelnie!!!! Przy kazdym punkcie

w zadaniach zamknietych prosze napisac drukowanymi literami TAK lub NIE

(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha sie od 0 do 3). Zadania otwarte prosze

rozwiazywac na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie.

Zycze

Panstwu sukcesu.

ZADANIA:

1. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementow w c 0 , ktory dazy do

zera w tej przestrzeni z jej zwykla norma. Uzasadnij zbieznosc do zera.

2. 1 punkt Podaj denicje ciaglosci (dowolnej) funkcji zdeniowanej na przes-

trzeni metrycznej ( X;d ) o wartosciach rzeczywistych.

3. 1 punkt Niech X bedzie przestrzenia Banacha. Wowczas:

a) istnieje wektor x 2 X , x 6 = 0, taki, ze f ( x ) = 0 dla kazdego f 2 X

;

b) dla kazdego x 2 X istnieje f 2 X

taki, ze f ( x ) = 0;

c) istnieje f 2 X

taki, ze dla kazdego x 2 X zachodzi f ( x ) = 0.

4. 1 punkt Prosze podac przyklad niezerowego odwzorowania liniowego h :

R 2 ! R 2 ,

h ( x;y ) =

5. 1 punkt Ktora z ponizej zdeniowanych funkcji jest norma w R 2 :

a) p ( x;y ) = jx + yj ;

b) p ( x;y ) = 2 jxj + jyj ;

c) p ( x;y ) = jxjjyj .

6. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X ! Y ( X , Y przestrzenie Banacha) jest

ciagle. Wowczas zachodzi:

a) dla kazdego C > 0, x 2 X spelniona jest nierownosc kAxk Ckxk ;

b) istnieje x 2 X i istnieje C > 0 takie, ze kAxk Ckxk ;

c) Ax = cx dla kazdego x i pewnego skalara c .

7. 1 punkt Podaj przyklad normy zdeniowanej na R 6

tak aby ta przestrzen ze

zdeniowana norma byla przestrzenia Banacha.

8. 1 punkt Oblicz odleglosc funkcji f , f ( x ) := x 2 , od funkcji g , g ( x ) := x , w

przestrzeni C [0 ; 1] z jej zwykla norma.

9. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb rzeczywistych, ktory tworzy

zbior II kategorii | uzasadnij.

10. 3 punkty Niech V bedzie otwartym wieloscianem wypuklym w R 3 nie zaw-

ierajacym punktu (0 ; 0 ; 0). Udowodnij, ze istnieja liczby rzeczywiste a , b , c takie,

ze dla kazdego ( x;y;z ) 2 V zachodzi:

ax + by + cz > 0 :

11. 1 punkt Wyposazmy R 3

w iloczyn skalarny zdeniowany wzorem:

h ( x;y;z ) ; ( a;b;c ) i := x ( ac ) + y ( bc ) + z (3 cab )

i utworzmy w ten sposob przestrzen Hilberta. Ktory wektor nalezacy do pod-

przestrzeni liniowej

Y := f ( x;y; 0) : x;y 2 R g

jest najblizszy punktowi (1 ; 1 ; 1) w zdeniowanej przestrzeni:

a) (1 ; 1 ; 0);

b) (0 ; 0 ; 0);

c) (2 ; 2 ; 0).

12. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasade jednostajnej ograniczonosci.

, kfk

1, taki, ze f ( x ) = sup n2 N jx n j . Uwaga: wolno korzystac w dowodzie tylko z

tw. Baire'a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domknietym

wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczonosci,

ogolnej postaci funkcjonalow na c 0 .

14. 5 punktow Niech ( a ij ) bedzie nieskonczona macierza trojkatna, tj. a ij 2 R

dla i;j 2 N oraz a ij = 0 dla j > i . Zdeniujmy operator A mnozenia przez taka

macierz:

Ax :=

a ij x j

dla x 2 l 1 :

j =0

i2 N

Udowodnic, ze jesli A ( l 1 ) l 1 , to A : l 1 ! l 1 jest ciagly.

13. 2 punkty Niech x = ( x n ) n2 N 2 c 0 . Udowodnij, ze istnieje f 2 ( c 0 )

Prof. P. Domanski

Poznan, 09.06.2004

Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 - grupa B

Prosze sie koniecznie podpisac. Prosze pisac czytelnie!!!! Przy kazdym punkcie

w zadaniach zamknietych prosze napisac drukowanymi literami TAK lub NIE

(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha sie od 0 do 3). Zadania otwarte prosze

rozwiazywac na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie.

Zycze

Panstwu sukcesu.

ZADANIA:

1. 2 punkty Niech x = ( x n ) n2 N 2 l 1 . Udowodnij, ze istnieje f 2 ( l 1 )

, kfk

jx n j . Uwaga: wolno korzystac w dowodzie tylko z

tw. Baire'a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domknietym

wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczonosci,

ogolnej postaci funkcjonalow na l 1 .

n =0

2. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb zespolonych, ktory tworzy

zbior II kategorii | uzasadnij.

3. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasade jednostajnej ograniczonosci.

1, taki, ze f ( x ) =

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: