9 - Przestrzenie metryczne cd, odwzorowanie ciągłe i ich własności.doc

TEMAT:
Przestrzenie metryczne cd,
odwzorowanie ciągłe i ich własności

             – przestrzeń z miarą

DEFINICJA 9.1    (CIĄG CAUCHY’EGO)

 - ciąg Cauchy’ego

co można również zapisać, że

TWIERDZENIE 9.1   

W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego

Z:       

T:       
 

D:        dla  prawdziwe jest:

Wiemy że:  oraz

A więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach stwierdzamy że dla

, co kończy nasz dowód.

                 Uwaga:

Nie w każdej przestrzeni metrycznej jest prawdziwe twierdzenie odwrotne

(tzn. nie każdy ciąg Cauchy’ego jest ciągiem zbieżnym)

DEFINICJA 9.2     (PRZESTRZEŃ ZUPEŁNA)

Przestrzeń metryczna  jest zupełna każdy ciąg Cauchy’ego

elementów tej przestrzeni jest zbieżny do granicy należącej do tej przestrzeni

 – przestrzeń zupełna  

PRZYKŁAD 9.1

I.                      – przestrzeń metryczna, gdzie

               przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną

II.                   a)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość euklidesowa

          b)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość taksówkowa

          c)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną

III.                  a)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość euklidesowa

          b)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość taksówkowa

          c)  – przestrzeń metryczna, gdzie  – odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną.

DEFINICJA 9.3     (ZBIÓR ZWARTY (CIĄGOWO ZWARTY))

 – przestrzeń metryczna

To znaczy że z każdego ciągu elementów tego zbioru można

wybrać podciąg zbieżny do granicy należącej do tego zbioru.

TWIERDZENIE 9.2   

            Zbiór  jest zwarty  jest zbiorem domkniętym i ograniczonym

ODWZOROWANIA CIĄGŁE

DEFINICJA 9.4     (OBRAZ I PRZECIWOBRAZ ZBIORU)

– przestrzenie metryczne

 – odwzorowanie

Niech

 - obraz zbioru A poprzez odwzorowanie f
 

 - przeciwobraz zbioru B

PRZYKŁAD 9.2   

;

;

;

DEFINICJA 9.5     (GRANICA FUNKCJI)

 – przestrzenie metryczne

 – odwzorowanie

1o. Def. Cauchy’ego (topologiczna)

2o. Def. Cauchy’ego (w przestrzeni metrycznej)

3o. Def. Heinego

                      ...