Lista_cw7 laplace.pdf

(101 KB) Pobierz
TRANSFORMATA LAPLACE'A
Niech f(t) b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ dla t0. Transformata Laplace'a funkcji
f(t), któr¡ oznacza¢ b¦dziemy F (s) lub L
ff(t)g, dana jest wzorem:
Z
1
f(t) e s t dt
F (s) = L
ff(t)g=
(1)
0
gdzie caªk¦ niewªa±ciw¡ rozumie si¦ jako granic¦:
Z
Z
1
A
f(t) e s t dt = lim
A!1
f(t) e s t dt
0
0
Korzystaj¡c z denicji (1) obliczmy np. transformat¦ Laplace'a z funkcji
f(t) = 1:
Z
1
1
e s t
s
= 1
s
1 e s t dt =
F (s) = L
f1g=
dla
s > 0
0
0
Tabela 1. Przykªadowe transformaty Laplace'a wybranych funkcji f(t):
f1g= 1
s
f(t) = 1
L
s > 0
1
s 2
f(t) = t
L
ftg=
s > 0
n!
s n+1
f(t) = t n
L
ft n g=
s > 0; n2N
1
sa
f(t) = e at
fe at g=
L
s > a
a
s 2 + a 2
f(t) = sin(a t)
L
fsin(a t)g=
s > 0
s
s 2 + a 2
f(t) = cos(a t)
L
fcos(a t)g=
s > 0
a
s 2 a 2
f(t) = sinh(a t)
L
fsinh(a t)g=
s > a
s
s 2 a 2
f(t) = cosh(a t)
L
fcosh(a t)g=
s > a
g(t) = e a t f(t)
L
fe a t f(t)g= F (sa)
s > a
ft f(t)g= d
g(t) = t f(t)
L
ds F (s)
s > 0
fH c (t)g= e c s
s
H c (t) = H(tc)
L
s > 0
g(t) = H c (t) f(tc)
L
fH c (t) f(tc)g= e c s F (s)
s > 0
(tc)
L
f(tc)g= e c s
s > 0
ff(c t)g= 1
s
c
f(c t)
L
c F
s > 0
f 0 (t)
ff 0 (t)g= s F (s)f(0)
L
s > 0
f 00 (t)
L
ff 00 (t)g= s 2 F (s)s f(0)f 0 (0)
s > 0
R
R
0 f(t)g= 1
t
0 f(t) dt
t
L
f
s F (s)
s > 0
Równania ró»niczkowe zwyczajne. Lista zada« nr 7
1
988736583.015.png 988736583.016.png 988736583.017.png 988736583.018.png 988736583.001.png 988736583.002.png 988736583.003.png 988736583.004.png
 
Zad. 1. Korzystaj¡c ze wzorów podanych w Tabeli 1 oblicz transformaty
Laplace'a podanych funkcji f(t):
a) f(t) = e t+7
b) f(t) = e 2t5
c) f(t) = t e 4t
d) f(t) = sin(2t)
e) f(t) = t cos(t)
f) f(t) = t sin(3t)
g) f(t) = 2 t 4
h) f(t) = 4 t10
i) f(t) = (t + 1) 3
k) f(t) = 4 t 2 5 sin(6t)
l) f(t) = (e t e t ) 2
j) f(t) = cosh(4t)
Zad. 2. Korzystaj¡c ze wzorów podanych w Tabeli 1 oblicz odwrotne trans-
formaty Laplace'a podanych funkcji F (s)!
L 1 fF (s)g= f(t):
2
s 2 + 4
1
s + 1
s
(s3) 2 + 2
a) F (s) =
b) F (s) =
c) F (s) =
1
s 5
1
s 2
2
s
2s + 6
s 2 + 9
d) F (s) =
e) F (s) =
f) F (s) =
3
(s + 1)(s3)
1
4s + 1
0:9 s
(s0:1)(s + 0:2)
g) F (s) =
h) F (s) =
i) F (s) =
2s + 5
(s3) 2
6
(s5) 4
s + 2
(s + 2) 2 + 16
j) F (s) =
k) F (s) =
l) F (s) =
Zad. 3. Korzystaj¡c ze wzorów podanych w Tabeli 1 rozwi¡» poni»sze rów-
nania ró»niczkowe stosuj¡c transformat¦ Laplace'a:
dy
dt
b) y 00 + 5y 0 + 4y = 0 ; y(0) = 1; y 0 (0) = 0
a)
y = 1;
y(0) = 0
c) 2 dy
dt
d) y 00 4y 0 = 6e 3t 3e t ;
y(0) = 1; y 0 (0) =1
+ y = 0;
y(0) =3
p
p
e) y 0 + 6y = e 4t ;
f) y 00 + y =
y(0) = 10; y 0 (0) = 0
y(0) = 2
2 sin(
2t);
g) y 0 y = 2 cos(5t);
h) y 00 + 9y = e t ;
y(0) = 0; y 0 (0) = 0
y(0) = 0
i) y 0 3y = (t2);
j) y 00 + y = (t2);
y(0) = 0; y 0 (0) = 0
y(0) = 0
Gdy mamy doczynienia z funkcj¡, która jest tylko kawaªkami ci¡gªa, tzn.
zadana jest przedziaªami, to aby zapisa¢ tak¡ funkcj¦ w postaci jednej formu-
ªy wykorzystujemy funkcj¦ skoku jednostkowego (funkcj¦ Heaviside'a). Przy
czym stosuje si¦ nast¦puj¡ce reguªy: funkcj¦ na lewo od punktu nieci¡gªo±ci t 0
nazywa si¦ lew¡ gaª¦zi¡, natomiast funkcj¦ na prawo od punktu nieci¡gªo±ci
t 0 praw¡ gaª¦zi¡. Reguªa zapisu jest nast¦puj¡ca:
f(t) = lewa gaª¡¹ + H(tt 0 )(prawa gaª¡¹lewa gaª¡¹)
Równania ró»niczkowe zwyczajne. Lista zada« nr 7
2
988736583.005.png 988736583.006.png 988736583.007.png 988736583.008.png 988736583.009.png 988736583.010.png 988736583.011.png 988736583.012.png 988736583.013.png
Zad. 4. Korzystaj¡c ze podanej reguªy zapisz praw¡ stron¦ podanych rów-
na« ró»niczkowych w postaci jednej formuªy, naszkicuj wykres funkcji f(t) i
rozwi¡» poni»sze równania ró»niczkowe stosuj¡c transformat¦ Laplace'a:
0;
0t < 1
a) y 0 + y = f(t);
y(0) = 0;
f(t) =
5;
t1
1;
0t < 2
b) y 0 y = f(t);
y(0) = 0;
f(t) =
1;
t2
t;
0t < 1
c) y 0 + 2y = f(t);
y(0) = 0;
f(t) =
0;
t1
0;
0t < 1
d) y 00 + 4y = f(t);
y(0) = 0; y 0 (0) =1;
f(t) =
t 2 ;
t1
e) y 00 5y 0 + 6y = H 3 (t);
y(0) = 0; y 0 (0) = 1
Zad. 5. Statyczne ugi¦cie y(x) jedno-
rodnego pr¦ta o dªugo±ci L b¦d¡cego
pod jednostkowym obci¡»eniem w(x)
jest opisane liniowym równaniem ró»-
niczkowym czwartego rz¦du:
E I d 4 y
dx 4
= w(x)
gdzie E jest moduªem Younga, a I - momentem bezwªadno±ci przekroju pr¦-
ta. Pr¦t jest zamocowany na obu ko«cach do ±ciany jak pokazano na rysunku.
Znajd¹ ugi¦cie pr¦ta y(x) pod obci¡»eniem w(x):
<
1 2
0 < x < L
2
w 0
L x
;
w(x) =
:
L
2
0;
< x < L
Transformata Laplace czwartej pochodnej ma posta¢:
fy (4) g= s 4 Y (s)s 3 y(0)s 2 y 0 (0)sy 00 (0)y 000 (0)
L
Przyj¡¢ y(0) = y 0 (0) = 0 oraz y 00 (0) = 23 w 0 L 2
960 E I , y 000 (0) = 9 w 0 L
40 E I
Równania ró»niczkowe zwyczajne. Lista zada« nr 7
3
988736583.014.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin