Trójkąt Odległość sferyczną między dwoma punktami A i B leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy ά oparty na łuku koła wielkiego AB przechodzącego przez te punkty
Kąt sferyczny to kąt między stycznymi do łuków kół wielkich w punkcie ich przecięcia się.
Jeżeli 3 dane punkty leżące na sferze połączymy łukami kół wielkich, to część sfery ograniczona tymi łukami będzie my nazywać trójkątem sferycznym.Elementy trójkąta sferycznego to 3 kąty (A,B,C) i 3 boki (a,b,c) takie,że bok a leży naprzeciwko kąta A.Miarą długości boku trójk.sfer.jest odległość sferyczna danych wierzchołków.3 łuki kół wielkich tworzą na sferze 8 trój.sfer.Suma kątów trój.sfer.jest zawsze większa od 180o.
Podstawowe wzory tryg.sferycznej:
Zależności między bokami i kątami OMC`NO:
ON=OMcosc+C`Msinc
C`N=Omsinc-C`Mcosc
RYS
OM=Rcosb;ON=Rcosa
C`M=CmcosA=RsinbcosA
C`N=CncosB=RsinbcosA
Podstawiamy do poprz.zaleznosci:
Rcosa=Rcosbcosc+RsinbsinccosA;
RsinacosB=Rcosbsinc-RsinbcosccosA;dzielimy obie strony przez R:
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA;
sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA
wzory cos i sin-cos;jeżeli uwzględnimy CN=Rsina i CM=Rsinb
to otrzymamy wz sin postaci:
sinasinB=sinbsinA
Trójkąt eulerowski jego wszystkie boki i kąty mniejsz od 180o.RYS 1
Trójkąt sferyczny biegunowy RYS 2
to trój.o bokach a’,b’,c’ względem danego trój.ABC jeżeli pkt.A jest biegunem boku a’,pkt.B jest biegunem boku b’,a pkt.C biegunem boku c’.Wierzchołki tego trój.toA’,B’,C’ Każdemu trój. sfer. odpowiada 8 trój. biegunowych .Z def. trój.biegunowego wynika,że A’B=900 i A’C=900 co oznacza,że pkt.A’ jest biegunem boku a. Tak można udowodnić, że trój.ABC jest trój. biegunowym trójkąta .A’,B’,C’,więc trój. ABC i A’,B’,C’ są wzajemnie biegunowe. RYS 3
Związki między ich bokami i kątami: B’C’=B’E+DC’-DE’ ponieważ B’C’=a, B’E=900, DC’=900, DE=A to a’=1800-A, b’=1800-B, c’=1800-C,podobnie a=180o-A’, b=1800-B’, c=1800-C’.
cosa`=cosb`cosc`+sinb`sinc`cosA`
pdst.powyzsze zaleznosci:
-cosA=cosBcosC-sinBsinCcosa
cosa=(cosBcosC+cosA)/(sinBsinC)
znajdując katy można obl.boki.
Wzory ctg-sowe:
sinbcosA=cosasinc-sinacosccosB
sinbsinA=sinBsina
dzielimy przez siebie stronami:
ctgAsinB=ctgasinc-cosBcosc
i pozostałe 5 wypr. Tak samo!
Wzory połówkowe:
2sin2A/2=1-cosA
2cos2A/2=1+cosA;zatem
tg2A/2=1-cosA/1+cosA
podstawiamy do prawej strony :
cosA=(cosa-cosbcosc)/sinbsinc;po przekształceniach otrzymamy:
tg2A/2=sin(s-b)sin(s-c)/sinssin(s-a);
gdzie 2s=a+b+c;podobnie dla pozostałych kątów;
Teraz dla boków:
tg2a/2=1-cosa/1+cosa
podtstawiamy do prawej strony:
cosa=(cosA+cosBcosC)/sinBsinC
tg2a/2=-cosScos(S-A)/cos(S-B)cos(S-C);gdzie 2S=A+B+C tak samo pozos.
Analogie Nepera są to wzory tg(A+B)/2= [cos(a-b)/2] / [cos (a+b) /2]*ctgC/2 tg(A-B)/2= [sin(a-b)/2] / [sin (a+b) / 2]*ctgC/2 tg(a+b)/2= [cos(A-B)/2] / [cos (A+B) / 2]*tgc/2
tg(a-b)/2= [sin(A-B)/2] / [sin (A+B) / 2]*tgc/2 Podobne wz.można otrzymać dla pozostał. par kątów i boków
Nadmiar sferyczny to suma kątów trój. sfer. pomniejszona o 180o. ε=(A+B+C)-180o. Nadmiar sfer.zawiera się w przedz.(0;360o).Jeżeli kąty wyrażamy w radianach to wzór : ε=(A+B+C)-π
Rys.
Pole dukątów sferycznych ABA`C,BCB`A i CAC`B to odpow.:
PA=P*A/2p, PA=P*A/2p, PA=P*A/2p
PA+PB+ Pc =P/2p(A+B+C),a że P=4pR2 to wtedy: PA+PB+Pc=2R2(A+B+C)
SPi=połowa pola sferycznegopowiększonego podwójne pole S trójkąta ABCÞ PA+PB+Pc=2pR2+2S zachodzi zależ.:
2R2(A+B+C)=2pR2+2S skąd (A+B+C)-π=S/R2; ε= S/R2,do obliczania nadmiaru służą także wzory L`Huilliera:tg ε/4=Ö(tg s/2*tg s-a/2*tg s-b/2*tg s-c/2), lub wzór Cagnoli:
sin ε/2=(sin a/2*sin b/2*sin C)/cos c/2
W przypadku trój. sferycznych o bokach kilkudziesięciokilometrowych leżących na sferze o prom. R=6371 można stosować wzór uproszczony: ε=ab/2R2*sinC a,b-wyrażone w jednostkach długości. Wzór ten zapewnia dokładność 1”*10-4 dla trójkątów o bokach 30km i 1”*10-3–50km
Wzór na nadmiar sferyczny wielokąta:
Si=1nKi=(n-2)p+ Pw/R2, Pw-pole tej części sfery znajdującej się w wieloboku.
KULA Najlepiej bryłę ziemską reprezentuje kula o promieniu równym 6371 km. Osią podstawową ukł. wsp. geograficznych jest oś obrotu Ziemi. Oś ta przecina powierzchnię kuli w 2 punktach, zwanych biegunami ziemskimi. Każde połączenie biegunów ziemskich połową łuku koła wielkiego nazywamy południkiem. Południk przechodzący przez określony punkt obserwatorium w Greenwich nosi nazwę południka początkow. Każde koło małe leżące w pł. prostopadłej do osi obrotu jest nazwane równoleżnikiem. Równik jest kołem wielkim, leżącym w pł. prostopadłej do osi obrotu i przechodzącej przez środek kuli. Odległość sferyczna dowolnego punktu równika od bieguna ziemskiego wynosi Π/2. Pozycję punktu leżącego na kuli określamy, podając kąt φ i λ (szer. i długość geograficzna). Szer. geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt, jaki tworzy normalna do sfery w punkcie P z płaszczyzną równika.
Długością geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P a pł południka początkowego rys
Wsp .prostokątne prostoliniowe Układ wsp. prostokątnych jest zdefiniowany:
-początek układu pokrywa się ze środkiem kuli,
-oś z pokrywa się z osią obrotu,
-oś x pokrywa się z krawędzią przecięcia pł. równika i pł. południka początkowego,
-oś y tworzy z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.
Współrzędne x,y,z punktu leżącego na kuli określamy wzorami: x=Rcosφcosλ; y=Rcosφsinλ; z=Rsinφ. Wsp. te spełniają warunek x2+y2+z2=R2. Znając współrzędne prostokątne x, y, z punktu leżącego na kuli można obliczyć jego wsp. geograficzne φ, λ wg wzorσw :tgλ=y/x; tgφ=z/v(x2+y2)RYS 4
WSP. AZYMUTALNE Punktem głównym układu wsp. azymutaln będzie punkt G leżący na kuli i nie będący biegunem ziemskim,o znanych współrzędnych geograficznych(φo,λo) połączymy łukiem koła wielkiego punkt główny G i dowolny punkt P leżący na kuli. Pozycja pkt.P będzie jednoznacz określona względem punktu G, jeżeli podamy azymut α i odległość zenitalną ζ. Azymut α jest kątem dwuściennym między płaszczyzną południka G i płaszczyzną koła wielkiego GP, jest równy kątowi sferycznemu, którego lewym ramieniem jest styczna do południka punktu G, zaś prawym styczna do łuku koła wielkiego GP. Azymut rośnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara od północnego kierunku południka punktu G. Wertykał to każde koło wielkie przechodzące przez punkt główny G Almukantarat to koło małe, którego wszystkie pkt. są jednakowo oddalone od pkt. G RYS 5
Związek między wsp. geograficznymi i azymutalnymi Rys.
Opiszmy kąty i boki trójkąta sferycz. GBP wsp. azymutalne pkt.P (a,z) są f-cją wsp. gepgraficznych pkt. G (j0,l0) i pkt.P(j,l) cosz=sinj0sinj+cosj0*cosjcos(l-l0) sina=sin(l-l0)cosj/ sinz Wz.te nie dają dokł.wyników,gdy odl. zenitalnaz jest mała. Wtedy stosujem wz. ctgasin(l-l0)= ctg (900-j)sin(900-j0)-cos (l-l0)cos(900-j0) i otrzymujemy tga=sin(l-l0)/ tgj cosj0-cos(l-l0)sinj0 Odl.zenitalną z obl.wg. jednego z wz. sinz=sin(l-l0)cosj / sina sinz=sinjcosj0-cosjsinj0cos(l-l0)/ cosa Wsp.azymutalne a,z można zamienić na wsp.geograficzne j,l wg.wz. sinj=coszsinj0 +sinzcosj0cosa oraz sin(l-l0)=sinasinz/ cos...
Marcin3.14