Zad 17. Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v1 prostopadłą do kierunku prądu rzeki. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem: v2 = v0 sin(πy/L), gdzie v0 = const, L jest szerokością rzeki. Wyznaczyć:
a) wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych brzegów,
b) kształt toru łódki.
Rozwiązanie:
Układ współrzędnych ustalamy w ten sposób, że x(0) = 0 i y(0) = 0
a) v2 = v12 + v22
b) vx = v2 = v0sin(πy/L), (1)
vy = v1 (2)
z (2) otrzymujemy: y = ∫v1dt = v1t + C1; dla t=0 y = 0, więc C1 = 0, czyli y = v1t.
Otrzymany wynik wstawiamy do (1) :
x = ∫v0sin( πv1t/L)dt = - (v0L/ v1)cos(πv1t/L) + C2, dla t=0 x = 0, więc 0 = - v0L/ πv1 + C2, skąd C2 = v0L/πv1,
zatem x = - ( v0L/ πv1)cos( πv1t/L) + v0L/ πv1 = ( v0L/ πv1 ) [1 - cos ( πv1t/L),
gdy y = L x = 2v0L/ πv1.
rako91