Bud W4.pdf

(71 KB) Pobierz
IV.Szeregiliczbowe.
1.Podstawowedefinicjeifakty.
Definicja1.1.
Szeregiemliczbowym nazywamywyra»enie
a 1 +a 2 +a 3 +...
zapisanewpostaci
X
1
a n , (1)
n=1
gdziea n 2Rdlan=1,2,3,...
Definicja1.2.
Ci¡g{S n }zdefiniowanynast¦puj¡co
n X
S n :=
a k
k=1
nazywamy ci¡giemsumcz¦±ciowych szeregu(1).
Definicja1.3.
Je»elici¡g{S n }jestzbie»nydogranicywła±ciwejs,toszereg(1)nazywamy
zbie»nym,za±liczb¦snazywamysum¡tegoszereguipiszemy
1
X
a n =s=lim
n!1 S n .
n=1
Je±lilim n!1 S n =±1,tomówimy,»eszereg(1)jestrozbie»nyodpowiednio
do±1.Wpozostałychsytuacjachszereg(1)jestrozbie»ny.
Twierdzenie1.4.
Je»eliwszereguzbie»nymzmienimy,opu±cimylubdoł¡czymysko«czon¡ilo±¢
wyrazów,tootrzymanyszeregb¦dzierównie»zbie»ny.
1
Fakt1.5. (oszeregugeometrycznym)
Szereggeometryczny 1 X
q n =1+q+q 2 +...
n=0
jestzbie»nydla|q|<1,rozbie»nydo1dlaq1,arozbie»nydlaq−1.
Dlazbie»negoszeregugeometrycznegomamy
1
X
q n = 1
1−q .
n=0
Fakt1.6. (oszereguharmonicznym)
Szeregpostaci
1
X
1
n ,
n=1
zwanyszeregiemharmonicznymrz¦dujestzbie»nydla>1irozbie»ny
do1dla0<1.
Twierdzenie1.7. (warunekkoniecznyzbie»no±ci)
Je»eliszereg P 1 n=1 a n jestzbie»ny,tolim n!1 a n =0.
Uwaga.
Implikacjaodwrotnaniejestprawdziwa,np. 1 n !0,gdyn!1,za±szereg
P 1 n=1 1 n ,zwanykrótkoszeregiemharmonicznym,jestrozbie»nydo+1.
Twierdzenie1.7mo»nasformułowa¢wpostaci:
Je»elilim n!1 a n 6=0,toszereg P 1 n=1 a n jestrozbie»ny.
Przykład4.1.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=1 n+2
n+200 .Obliczamy
n+2
n+200 =16=0.
Zatemniejestspełnionywarunekkoniecznyzbie»no±ciszereguist¡dszereg
lim
n!1
P 1 n=1 n+2
n+200 jestrozbie»ny.
2
1025586234.001.png 1025586234.002.png 1025586234.003.png 1025586234.004.png
 
2.Kryteriazbie»no±ciszeregówowyrazachnieujemnych.
Twierdzenie2.1. (kryteriumd’Alamberta)
Załó»my,»ea n >0orazistniejegranica
a n+1
a n =q.
(i) Je»eliq<1,toszereg P 1 n=1 a n jestzbie»ny.
(i) Je»eliq>1,toszereg P 1 n=1 a n jestrozbie»ny.
lim
n!1
Przykład4.2.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=1 2 n n!
n n .
Twierdzenie2.2. (kryteriumCauchy’ego)
Załó»my,»ea n 0orazistniejegranica
n p a n =q.
(i) Je»eliq<1,toszereg P 1 n=1 a n jestzbie»ny.
(ii) Je»eliq>1,toszereg P 1 n=1 a n jestrozbie»ny.
lim
n!1
Przykład4.3.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=2 ln n (4+ 1 n ).
3
 
Twierdzenie2.3. (kryteriumporównawcze)
Niecha n ,b n 0.Załó»my,»enierówno±¢
a n b n
zachodzidlawszystkichnn 0 pocz¡wszyodpewnegonumerun 0 .
Wówczas
(i) Je»eliszereg P 1 n=1 b n jestzbie»ny,toszereg P 1 n=1 a n jestzbie»ny.
(ii) Je»eliszereg P 1 n=1 a n jestrozbie»ny,toszereg P 1 n=1 b n jestrozbie»ny.
Przykład4.4.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=1 2
n 2 +n .
4
3.Szeregiowyrazachnaprzemiennych.Zbie»no±¢bezwzgl¦dnaszeregów.
Definicja3.1.
Szereg P 1 n=1 (−1) n a n ,gdziea n 0,nazywamyszeregiemnaprzemiennym.
Twierdzenie3.2. (kryteriumLeibniza)
Danyjestszereg P 1 n=1 (−1) n a n .Je»elispełniones¡warunki:
(i) a n 0,
(ii) lim n!1 a n =0,
(iii) ci¡g{a n }jestnierosn¡cy,
toszeregnaprzemienny P 1 n=1 (−1) n a n jestzbie»ny.
Definicja3.3.
Szereg P 1 n=1 a n nazywamyszeregiembezwgl¦dniezbie»nym,je±lizbie»nyjest
szereg P 1 n=1 |a n |.
Twierdzenie3.4.
Szeregbezwgl¦dniezbie»nyjestzbie»ny,tzn.je±lizbie»nyjestszereg P 1 n=1 |a n |,
tozbie»nyjestszereg P 1 n=1 a n .
Definicja3.5.
Szereg,któryjestzbie»ny,aleniejestbezwgl¦dniezbie»nynazywamyszeregiem
warunkowozbie»nym.
Przykład4.5.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=1 (−1) n 1 n .
Przykład4.6.
Zbadamyzbie»no±¢szeregu P 1 n=1 (−1) n n−1
n .
2n+1
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin