geometria różniczkowa 2.pdf

Geometriaró»niczkowa2

Wersjawst¦pna

PawełGrzegorzWalczak

Spistre±ci

1Scena 5

1.1Przegl¡dpoj¦¢topologicznych...................... 5

1.1.1Poj¦ciapodstawowe........................ 5

1.1.2Przekształceniaci¡głe...................... 6

1.1.3Zwarto±¢iparazwarto±¢..................... 6

1.1.4Spójno±¢.............................. 7

1.1.5Przestrzeniemetryczne...................... 8

1.2Rozmaito±ciró»niczkowe......................... 9

1.3Konstrukcje................................12

1.3.1Podrozmaito±ci..........................12

1.3.2Produkt..............................13

1.3.3Dzielenie..............................13

1.3.4Sklejanie..............................14

2Akcesoria 17

2.1Odwzorowaniaifunkcjeró»niczkowalnewprzestrzeniacheuklidesowych17

2.1.1Ró»niczkaipochodnekierunkowe................17

2.1.2Regularno±¢............................18

2.2Funkcjeiodzworowaniagładkienarozmaito±ciach...........19

2.3Wektorystyczne..............................21

2.4Ró»niczkaodwzorowania.........................24

2.5Podrozmaito±ci..............................26

2.6Elementyrachunkutensorowego.....................26

2.6.1Algebratensorowa........................26

2.6.2Algebrasymetrycznaizewn¦trzna................29

2.7Polawektorowe..............................30

2.7.1Pier±cie«pólwektorowych....................30

2.7.2Krzywecałkoweipotokpolawektorowego...........32

2.7.3NawiasLiego...........................34

2.8Polatensorowe..............................36

2.9Formyzewn¦trzne.............................38

4 SPISTRECI

2.9.1Algebraformzewn¦trznych...................38

2.9.2Orientacja.............................39

2.9.3Ró»niczkowaniezewn¦trzne...................41

2.9.4Całkowanieformró»niczkowych.................42

2.10KoneksjelinioweI.............................47

2.10.1Pochodnakowariantna......................47

2.10.2Skr¦cenieikrzywizna.......................50

2.10.3Przeniesienierównoległe.....................51

2.10.4Geodezyjne............................54

2.10.5Odwzorowaniewykładnicze...................55

2.10.6Wektorypoziome.........................56

3Struktury 59

3.1GrupyLiego................................59

3.2Wi¡zkigłówne...............................63

3.3KoneksjelinioweII............................66

3.3.1Dystrybucjapozioma.......................66

3.3.2Formakoneksji..........................67

3.3.3Formykrzywiznyiskr¦cenia...................69

3.3.4Redukcjeiholonomia.......................74

4GeometriaRiemannalokalnie 79

4.1TensorRiemanna.............................79

4.2Strukturyortogonalne..........................83

4.3Koneksjeriemannowskie.........................83

4.4Operatory.................................86

4.5Krzywizny.................................90

4.6Wierno±¢..................................92

5Pierwszaglobalizacja 95

5.1Wariacjadługo±ci.............................95

5.1.1Wzorywariacyjne.........................95

5.1.2Punktysprz¦»one.........................100

5.1.3LematGaussa...........................100

5.2Odległo±¢.................................102

5.3Wypukło±¢.................................103

5.4Zupełno±¢.................................103

5.5Porównywanie...............................103

Rozdział1

Scena

1.1Przegl¡dpoj¦¢topologicznych

Podamytuskompresowanemasymalniekompendiumwiedzyzzakresutopologii

ogólnejniezb¦dnedoczytanianaszegowykładugeometriiró»niczkowej.Czytelnika

nieusatysfakcjonowanegonaszym”streszczeniem”odsyłamydopodr¦cznikówtopo-

logi,np.doksi¡»ekEngelkinga[ En1 ]czy[ En2 ].

1.1.1Poj¦ciapodstawowe

Przestrzeni¡topologiczn¡ nazywamypar¦( X, U )zło»on¡zezbioru X irodziny U

zbiorów otwartych takiej,»ezbiórpusty,całaprzestrze« X ,sumadowolnejrodziny

zbiorówotwartychoraziloczyndowolnychdwuzbiorówotwartychs¡otwarte.Ka»d¡

tak¡rodzin¦ U nazywasi¦ topologi¡ w X .Cz¦stopiszemy”przestrze«topologiczna

X ”zamiast”przestrze«topologiczna( X, U ”,zwłaszczawtedy,gdyłatwosi¦domy-

±li¢jak¡topologi¦w X mamynamy±li.Dopełnieniazbiorówotwartychnazywamy

zbiorami domkni¦tymi .Takwi¦c,iloczynydowolnychrodzinzbiorówdomkni¸etych

orazsumydowolnychdwuzbiorówdomkni¦tychs¡domkni¦te.Najwi¦kszyzbiór

otwartyzawartywzbiorze A X nazywamy wn¦trzemA ioznaczamysymbo-

lemint A .Podobnie,najmniejszyzbiórdomkni¦tyzawieraj¡cy A nazywamyjego

domkni¸eciem ioznaczamysymbolem ¯ A .Czytelnikzłatwo±ci¡skompletujeelemen-

tarnewłasno±cioperacjiwn¦trzaidomkni¦ciawykorzystywanewtychwykładach.

Podprzestrzeni¡ przestrzeni( X, U )nazywamydowolnyzbiór Y X wrazz

rodzin¡ U|Y = {A\Y ; A2U} zbiorówotwartychw Y .Podprzestrze«tajest

otwarta(odp.,domkni¦ta),gdy Y jestpodzbioremotwartym(odp.,domkni¦tym)

przestrzeni X .

Baz¡ przestrzenitopologicznej( X, U )nazywamyka»d¡rodzin¦ B zbiorówotwar-

tychtak¡,»eka»dyzbiórotwarty U 2U jestsum¡zbiorówpewnejpodrodziny

rodziny B .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: