geometria teoria.doc

Geometria wykreślna nauka o sposobach odwzorowania utworów geometrycznych na płaszczyźnie i graficznego rozwiązywania zadań odnoszących się do utworów geometrycznych.

Przestrzeń rzutowa-przestrzeń euklidesowa wzbogacona o elementy niewłaściwe.

Prosta rzutowa prosta składająca się z uporządkowanego szeregu nieskończenie wielu punktów właściwych i jednego punktu niewłaściwego.

Punkt niewłaściwy- punkt, w którym przecinają się dwie proste równoległe w nieskończoności.

Prosta niewłaściwa- prosta składająca się wyłącznie z punktów niewłaściwych; jest tylko jedna taka prosta.

Płaszczyzna niewłaściwa-zbiór punktów niewłaściwych należących do prostych rzutowych wypełniających przestrzeń rzutową

Płaszczyzna rzutowa płaszczyzna w pojęciu euklidesowym wzbogacona o prostą niewłaściwą.

Krzywizna K=1/R

Kolineacja- niektóre przypadki przekształceń rzutowych między układami płaskimi realizowane za pomocą wiązki.

Wiązka-zbiór wszystkich prostych rzutowych a,b,c.. i płaszczyzn rzutowych alfa, beta… przechodzących przez dowolny punkt właściwy S.

Kolineacja środkowa pomiędzy układami jest określona, jeśli dany jest środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowanych sobie punktów albo 3 pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji, gdyż owe elementy określają w sposób jednoznaczny położenie środka kolineacji i osi kolineacji.

Proste graniczne- to takie proste, u których odległość środka kolineacji S od jednej z prostych granicznych równa jest odległości osi kolineacji K od drugiej prostej granicznej.

Punkt Pl, w którym promień rzutujący SP=p przebija rzutnię (płaszczyznę rysunku) nazywamy rzutem środkowym punktu P na płaszczyznę. Punkt leżące na tzw. Płaszczyźnie zniknięcia, czyli płaszczyźnie przechodzącej przez środek rzutów S i równoległej do π, w rzutach środkowych odwzorowuje się jako punkty niewłaściwe.

Odwzorowanie na płaszczyźnie (rysunku) elementów przestrzeni za pomocą wiązki nazywa się rzutem. Płaszczyznę, na którą dokonujemy rzutu, nazywamy rzutnią.

Jeśli kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni to mamy rzut prostokątny, a w pozostałych przypadkach rzut ukośny.

Jeżeli będziemy rozważać przekształcenia rzutowe dwóch układów płaskich za pomocą wiązki o wierzchołku S w punkcie niewłaściwym Sl to taki szczególny przypadek kolineacji środkowej będziemy nazywać powinowactwem osiowym a prostą k osią powinowactwa.

Jeśli środek kolineacji jest punktem właściwym, a oś kolineacji k- prostą niewłaściwą k, to taki przypadek przekształcenia rzutowanego układu płaskiego nazwiemy podobieństwem.

Jeśli zarówno środek kolineacji S jak i oś kolineacji K to będą elementy niewłaściwe, to takie przekształcenie nazwiemy przystawaniem.

Rzut cechowany-przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej na układ płaski.

Rzutem cechowanym punktu P na   nazywamy zespół danych, na który składają się: rzut prostokątny tego punktu, wartość cechy i podana (ustalona) jednostka miary.

Cecha rzutu P –liczba (w nawiasach) określająca miarę odległości punktu od rzutni.

Kąt nachylenia prostej l jest zawarty między prostą l i jej rzutem prostokątnym tg  =1/u. Im mniejszy kąt nachylenia, tym większy moduł.
 

Modułem prostej nazywamy długość rzutu prostokątnego odcinka tej prostej, którego końce mają cechę różniącą się o jednostkę.

Plan warstwicowy to odwzorowanie płaszczyzny w rzutach cechowanych; linie poziome należące do danych płaszczyzn, których cechy różnią się o jednostkę; rzut cechowany linii warstwowych danej płaszczyzny.

Jeśli płaszczyznę przetniemy zbiorem równoległych do   i wzajemnie odległych o jednostkę miary płaszczyzn siecznych to otrzymamy w ten sposób krawędzie wzajemnie do siebie równoległe, poziome i przechodzące w jednakowych odległościach nazywamy liniami warstwicowymi.

Warstwica płaszczyzny nazywamy rzut cechowany linii warstwowej tej płaszczyzny, czyli linię łączącą punkty o tej samej wartości cechy.

Linie największego spadu linie prostopadłe do warstwic płaszczyzny.

Rzuty Monge’a- metoda rzutowania polega na zastosowaniu rzutów prostokątnych na dwie lub więcej parami prostopadłych płaszczyzn. Jedna z płaszczyzn zajmuje położnie poziome (rzutnia pozioma), a druga ma zazwyczaj położnie pionowe (rzutnia pionowa).Prostą która jest krawędzią obu rzutni nazywamy osią rzutów.
 

szczególne przypadki położenia prostej i płaszczyzny względem układu odniesienia:
-prosta/płaszczyzna prostopadła do π1 –P/P poziomo rzutująca
-prosta/p prostopadła do π2 p/p pionowo rzutująca

-p/p równoległa do π1 p/p poziomą

-p/p równoległa do π2 p/p czołową
 

Ślady-miejsca w których prosta/płaszczyzna przebija rzutnię

Jeśli osią obrotu figury płaskiej jest prosta równoległa do jednej z rzutni lub należąca do rzutni, kąt obrotu zaś tak dobrany, że element obracany po zakończonym obrocie znajduje się na płaszczyźnie równoległej do rzutni lub na rzutni, to taki szczególny przypadek obrotu nazywamy kładem.

Rzut prostokątny kąta prostego. Dwie proste prostopadłe w rzutach prostokątnych odwzorowują się jako proste prostopadłe tylko wówczas gdy jedna z tych prostych jest równoległa do płaszczyzny rysunku, a druga nie jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.

Transformacje- metoda polegająca na zmianie układu odniesienia przez jego przesunięcie i obrót w taki sposób by nie zmienione zostało wzajemne położenie elementów opisujących zadanie.

Linie i ich klasyfikacja: algebraiczna(mająca równanie)(płaskie/przestrzenne np.śrubowa), niealgebraiczne (graficzne)(płaskie/ przestrzenne)

Powierzchnie i ich klasyfikacja-nadajemy linii ruch w przestrzeni (linia tworząca porusza się po liniach kierujących w przestrzeni; opisane za pomoca dwóch zbiorów linii: tworzących i kierujących.
algebraiczna (o stałej tworzącej/o zmiennej tworzącej) niealgebraiczne(graficzne)(o stałej tworzącej/ o zmiennej tworzącej)
sposób tworzenia(rodzaj linii tworzących):obrotowa(powierzchnia walcowa, osie dowolne położenie; linia tworząca= linia prosta) translacyjna(utworzona przez ruch postępowy)(przecina się z osią obrotu i nadano ruch obrotowy; powierzchnia stożkowa/dwupowłokowa) Catalana(linia tworząca= linia skośna; powierzchnia hiperboidalna/obrotowa jednopowłokowa, nie da się rozwinąć na płaszczyznę) inne

Każdy punkt na powierzchni obrotowej opisuje okrąg o zmiennym promieniu; południki obrotowe; punkty to równoleżniki powierzchni obrotowej; całość siatka powierzchni obrotowej.

Nadajemy ruch obrotowy krzywym II stopnia: powierzchnia kuli-sferyczna, elipsoida obrotowa, paraboloida obrotowa, hiperboloioda jedno- i dwu- powłokowa.

Powierzchnia Catalana ruch w przestrzeni linii prostej nie rozwijalny na płaszczyznę; stale ma położenie równoległe do płaszczyzny; powierzchnia walcowa nie należy do powierzchni Catalana. 3 rodzaje powierzchni paraboloida hiperboliczna(opisuje ją tworząca stale równoległa do λ, ślizga się po dwóch prostych skośnych), konoida (3 kierujące-linia prosta i krzywe), cylindoidalne (skośne kierujące to krzywe).

Płaszczyznę, która przecina powierzchnię nazywamy płaszczyzną sieczną, a zbiór punktów leżących równocześnie na tej płaszczyźnie i powierzchni-linią przekroju powierzchni.

Jeżeli punkt S jest źródłem światła, dowolnie zaś przyjętemu punktowi przestrzeni P nadamy cechy materialne, to promień świetlny wychodzący z S i przechodzący przez P w punkcie przebicia płaszczyzny rysunku wyznacza cień rzucony Pc tego punktu na płaszczyznę π.

Ściany wielościanów dachów są zbiorem wielokątów płaskich pokrywających budynki lub inne wydzielone przestrzenie to połacie dachu. Wielokąt na którym opiera się dach, nazywamy wielokątem okapu, a boki tego wielokąta –okapami.

Punkty węzłowe-punkty wspólne krawędzi dachu.

Rzutem aksonometrycznym (perspektywą równoległą) będziemy nazywać takie odwzorowanie że na t dowolne zbiory punktów, których położenie w przestrzeni określono za pomocą rzutów prostokątnych na π1, π2 i π3.

Jeśli przyjęty kierunek S rzutowania aksonometrycznego jest prostopadły do rzutni to mamy do czynienia z aksonometria prostokątną, a w pozostałych przypadkach z aksonometrią ukośną (ukośnokątną).

W aksonometrii prostokątnej osie aksonometryczne przechodzą przez wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.

Stosunki skróceń aksjometrycznych np. rzut aksjometryczny odcinak Dy w kierunku t odmierzony na osi yn.

Rodzaje aksonometrii prostokątnej: kształt(równoboczny- nachylenie rzutni do osi jest takie samo) i wielkość(odległość rzutni od początku układu) trójkąta śladów aksonometrycznych.
Izometria (a. równomiarowa) trójkąt równoboczny λx=λy=λz
Dimetria trójkąt równoramienny dwa takie same skrócenia, a trzecie inne.

Anizometria (a. różnomiarowa) trójkąt różnoboczny- wszystkie skrócenia są różne.

Aksonometria ukośna (kawalerska(prostopadłość osi zu i xu i stosunków skróceń 1:1) i wojskowa)

Twierdzenie Pohliego. 3 dowolnej długości odcinki, niewspółliniowe, ale współpłaszczyznowe wychodzące ze wspólnego punktu (początku układu) zawsze można uważać jako rzut równoległy 3 równej długości odcinków odmierzonych na osiach układu prostokątnego od początku układu.    Wnioski praktyczne: Możemy przyjąć dowolny układ osi aksonometrycznych i dla tych osi dowolne stosunki skróceń aksonometrycznych a przez to zadajemy położenie rzutni aksonometrycznej względem ich prostokątnego kierunku rzutowania.