wyklady.pdf

(4658 KB) Pobierz
Analiza Matematyczna
Opracowanie: Jakub Wyrostek
WYKŁAD 1
Uzupełnienie rachunku różniczkowego
funkcji jednej zmiennej
LEMAT 1.1 (F ERMATA , o zerowaniu się pochodnej)
Z:
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
f
∈
C
([
a
,
b
]),
f
∈
D
(]
a
,
b
[)
∃
c
∈
]
a
,
b
[:
f
(
c
)
=
max
f
(
x
)
∨
f
(
c
)
=
min
f
(
x
)
x
∈
[
a
,
b
]
x
∈
[
a
,
b
]
T:
f
'
(
c
)
=
0
Dowód jest następujący:
( )
f
(
c
)
=
max
f
x
Niech dla przykładu:
x
∈
[
a
,
b
]
Wiemy wówczas, że:
∀
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
≤
f
(
c
)
f
(
x
)
−
f
(
c
)
f
(
x
)
−
f
(
c
)
≥
0
⇒
lim
≥
0
Stąd dla
x < :
c
.
x
−
c
x
−
c
−
x
→
c
f
(
x
)
−
f
(
c
)
f
(
x
)
−
f
(
c
)
≤
0
⇒
lim
≤
0
Natomiast dla
x > :
c
,
x
−
c
x
−
c
+
x
→
c
a wobec faktu, że granica przy
x → istnieje, wnioskujemy, że
c
f
'
(
c
)
=
0
.
(Dowód dla min jest analogiczny.)
TWIERDZENIE 1.1 (R OLLE ’ A )
Jeśli funkcja jest określona i ciągła w przedziale domkniętym
, istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym
i na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości,
wówczas między a i b można znaleźć taki punkt
f
( x
)
[ b
a
]
] b
a
[
c
, że
f
'
(
c
)
=
0
.
Z:
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
f
∈
C
([
a
,
b
]),
f
∈
D
(]
a
,
b
[)
f
(
a
)
=
f
(
b
)
T:
∃
c
∈
]
a
,
b
[:
f
'
(
c
)
=
0
775363951.009.png 775363951.010.png
Dowód obejmuje dwa przypadki:
1º Funkcja jest stała. Wówczas:
f
(
x
)
=
const
=
f
(
a
)
=
f
(
b
)
⇒
∀
x
∈
]
a
,
b
[
f
'
(
x
)
=
0
⇒
∃
c
∈
]
a
,
b
[:
f
'
(
c
)
=
0
2º Funkcja jest różnowartościowa (
f
(
x
)
≠
const
).
Dla dowodu przyjmijmy, że:
∃
x
∈
]
a
,
b
[
f
(
x
)
≥
f
(
a
)
,
a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na
krańcach przedziałów, wobec tego
()
∃
c
∈
]
a
,
b
[
f
(
c
)
=
max
f
x
. Stąd
x
∈
[
a
,
b
]
na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż
∃
c
∈
]
a
,
b
[
f
'
(
c
)
=
0
.
TWIERDZENIE 1.2 (C AUCHY ’ EGO )
Jeśli funkcje
f
( x
)
i
g
( x
)
są określone i ciągłe w przedziale domkniętym
[ b
a
]
,
istnieją pochodne skończone przynajmniej w przedziale otwartym
i
] b
a
[
a
i b można znaleźć taki
g
'
(
x
)
≠
0
w przedziale
] b
a
[
, wówczas między
f
(
b
)
−
f
(
a
)
f
'
(
c
)
c
punkt
, że:
=
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
'
(
c
)
Z:
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
,
f
,
g
∈
C
([
a
,
b
]),
f
,
g
∈
D
(]
a
,
b
[)
∀
x
∈
]
a
,
b
[
g
'
(
x
)
≠
0
f
(
b
)
−
f
(
a
)
f
'
(
c
)
T:
∃
c
∈
]
a
,
b
[:
=
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
'
(
c
)
Dowód:
Wiedząc, że
∀
x
∈
]
a
,
b
[
g
'
(
x
)
≠
0
wnioskujemy, iż
g
(
b
)
≠
g
(
a
)
. Możemy
zatem wprowadzić nową funkcję:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
.
Φ
(
x
)
=
f
(
x
)
−
[
g
(
x
)
−
g
(
a
)]
g
(
b
)
−
g
(
a
)
Możemy wyliczyć
Φ
(
a =
)
f
(
a
)
, oraz
Φ
(
b =
)
f
(
a
)
. A ponieważ z
własności
kombinacji
funkcji ciągłych wnioskujemy, że
, przeto możemy zastosować twierdzenie 1.1:
Φ
∈
C
([
a
,
b
]),
Φ
∈
D
(]
a
,
b
[)
∃
c
∈
]
a
,
b
[
Φ
'
(
c
)
=
0
.
775363951.011.png 775363951.012.png
 
Wyliczając pochodną
Φ , przyrównując ją do zera i przekształcając,
otrzymujemy tezę.
TWIERDZENIE 1.3 (L AGRANGE ’ A , szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego)
Z:
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
f
∈
C
([
a
,
b
]),
f
∈
D
(]
a
,
b
[)
f
(
b
)
−
f
(
a
)
T:
∃
c
∈
]
a
,
b
[:
=
f
'
(
c
)
b
−
a
Dowód:
Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego, dla
g
(
x
)
=
x
.
Inne postacie twierdzenia Lagrange’a.
Jeśli przyjmiemy
a =
x
i
b =
x
, wówczas możemy zauważyć, że wyrażenie
0
f
(
x
)
−
f
(
x
)
0
=
f
'
(
c
)
da się przekształcić (przez wymnożenie licznika
x
−
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
)
i mianownika ułamka przez (
− )) w:
0
=
f
'
(
c
)
x
−
x
0
a = i
a
gdzie
b = . Czyli twierdzenie nie zależy od “kolejności”
x
i
b
.
x
0
Twierdzenie możemy więc zapisać w następujący sposób:
Z:
f
:
U
→
R
,
f
∈
C
(
U
),
f
∈
D
(
U
)
, gdzie
U ∈
ot
( 0
x
)
oraz
x
,
x
∈
U
.
0
f
(
x
)
−
f
(
x
)
T:
∃
c
∈
]
min{
x
,
x
},
max{
x
,
x
}[:
0
=
f
'
(
c
)
0
0
x
−
x
0
Wyliczanie wartości przybliżonej funkcji.
0
<
Θ
<
1
Jeśli przyjmiemy
x
=
x
+
h
, wtedy:
c
=
x
+
Θ
h
, gdzie
0
0
wówczas teza twierdzenia Lagrange’a przyjmie postać:
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
0
0
,
∃
Θ
∈
]
[:
=
f
'
(
x
+
Θ
h
)
0
h
skąd wyliczyć możemy
f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)
+
f
'
(
x
+
Θ
h
)
⋅
h
.
0
0
0
Możemy więc wysnuć wniosek 1.1
775363951.001.png 775363951.002.png 775363951.003.png 775363951.004.png
 
WNIOSEK 1.1
1 U
f
:
U
→
R
,
f
∈
C
(
)
Z:
, gdzie
oraz
.
U ∈
ot
(
x
)
(
x
+ )
h
∈
U
0
0
T:
f
(
x
+
h
)
≅
f
(
x
)
+
f
'
(
x
)
⋅
h
0
0
0
PRZYKŁAD 1.1
Obliczymy
.
ln(
1
2
)
Przyjmujemy
,
x
0 =
1
,
i obliczamy:
f
(
x
)
=
ln(
x
)
h
=
0
2
f
( 0
x
)
=
0
1
f
'
(
x
)
=
=
1
x
x
=
1
A więc:
.
ln(
1
2
)
≅
0
+
1
⋅
(
0
2
)
=
0
2
TWIERDZENIE 1.4 (W ZÓR T AYLORA )
Z:
n +
1
U
∈
ot
(
x
),
x
∈
U
,
x
≠
x
,
f
∈
D
(
U
)
0
0
T:
∃ξ
∈
]
min{
x
,
x
},
max{
x
,
x
}[:
0
0
(
n
)
f
'
(
x
)
f
'
'
(
x
)
f
(
x
)
2
n
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
0
(
x
−
x
)
+
0
(
x
−
x
)
+
+
0
(
x
−
x
)
+
R
K
,
0
0
0
0
n
1
2
n
!
(
n
+
1
f
(
ξ
)
n
+
1
R
=
(
x
−
x
)
gdzie
nazywamy resztą Lagrange’a .
n
0
(
n
+
1
)!
Dowód:
Przyjmiemy
x >
x
. Wprowadzimy nowe funkcje:
0
(
k
)
n
f
(
t
)
∑ =
h
(
t
)
=
f
(
x
)
−
(
x
−
t
)
k
, gdzie
t ∈
[
x
,
x
]
,
k
!
0
k
0
n
+
1
(
x
−
t
)
Ψ
(
t
)
=
.
n
+
1
(
x
−
x
)
0
Na podstawie swoich własności obie te funkcje spełniają założenia
twierdzenia Cauchy’ego. Obliczmy ich pochodne:
775363951.005.png 775363951.006.png 775363951.007.png 775363951.008.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin